高中数学三角恒等式变形解题常用方法

高中数学三角恒等式变形解题常用方法

一.知识分析

1.三角函数恒等变形公式

(1)两角和与差公式

(2)二倍角公式

(3)三倍角公式

(4)半角公式

(5)万能公式

l-tan^2-

22

sma=cosa----------------tana=-----------

.~2a

1+t3X)1+tan-,1-tan—

222

⑹积化和差

smaco$B=p)+sm(a-朗

cosasin=-[sm(a+©-sm(a-P)]

cosacosP=-[cos(a+p)+cos(a-朗

2

(7)和差化积

a+0a-0

sma+sm0=2$m-------cos

2~2~

a+p,a-6

sma-sm0=2co$--------5m--------

22

a+6a-0

co$a+cos|3=2cos--------cos--------

22

2.网络构造

3.根基知识疑点辨析

(1)正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式

实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，。是一个任意角,

可正可负。另外，公式0声、见邹虽然形式不同，构造不同，但本质一样：

cos(a+p)>cos(a-囱---------->«n(a+的>ftn(a-勒。

(2)若何正确理解正切的和差角公式

正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：

tan(a+P)=------------

①推导正切和角公式的关键步骤是把公式cos(a+仇，右边的“分子〃、“分母”

都除以co$aco$0,从而“化弦为切”，导出了几邛。

②公式邑邹都适用于a,0为任意角，但运用公式7#时，必须限定Q0,a土R都不

等于2'\

③用代替°,可把1邛转化为7-B,其限制条件同②。

(3)正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用

①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角(例如15°,75°,105°角等)的三角函

数值。

②能由两个单角aP'的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角③口的

三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小(注意这两个条件缺一不可)。

③能运用这些和(差)角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函

数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最

小值。

(4)利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么

.21-cosa2a_l+co«a

先用二倍角公式导出5"-2-2=一~,再把两式的左边、右边分别相除，得

a1-cosaaa/1+cosa

2tan—=----------sm—=±J----------cos—=x.J----------

到21+cosa,由此得到的三个公式：2n2,172,

a,h-cosaa

2Fl+cosa分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由2所在

的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易

asina1-cosa

tan—=-----------=------------

证明21+cosasma。

4.三角函数变换的方法总结

三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三

角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中

涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，假设能熟练掌握三角

恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对开展数学逻辑思维

能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换

的解题技巧作初步的探讨研究。

(1)变换函数名

对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切

割化弦”，"切割互化〃，“正余互化〃等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，

这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现

解题途径。

【例1】。同时满足asec2e-bcos9=2a和6cos2§_a$ec6=乃,且a、b均不为0,求a、b

的关系。

asec2G-6cos0=2a①

解析.bcos2Q-astcQ-2b②

显然有：cos6^0

由①Xcos29+②Xcos0,得：2acos2。+2bcos。=0

即有：acos9+b=0

又aWO

所以，cos0=­b/a③

将③代入①得：a(―a/b)2—b(―b/a)=2a

即a4+b4=2a2b2

/.(a2—b2)2=0即IaI=IbI

点评：本例是“化弦〃方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关

系式。

(2)变换角的形式

对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原

角的形式，从而运用有关的公式进展变形，这种方法主要是角的拆变.它应用广泛，方式灵活,

如a可变为(a+B)—B；2a可变为(a+B)+(a—B)；2a—B可变为(a—B)

+a；a/2可看作a/4的倍角；(45°+a)可看成(90°+2a)的半角等等。

【例2】求sin(9+75°)+cos(0+45°)—Acos(9+15°)的值。

解析：设0+15°=a,则

原式=sin(a+60°)+cos(a+30。)—7cosa

=(sinacos60°+cosasin60°)+(cosacos30°—sinasin30°)3cosa

工迫且工

=2sina+二cosa+2cosa—2sina—\-•cosa

=0

点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本

量〃的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。

sinfl

【例3】sina=Asin(a+B)(其中cosBWA),试证明：tan(a+B)=cos产-A

证明：条件可变为：sin[(a+p)-0]=Asin(a+0)

所以有：sin(a+P)cosP—cos(a+B)sinB=Asin(a+B)

sin(a+B)(cosB—A)=cos(a+3)sinB

sinfl

tan(a+B)=cosJ3-A

点评：在变换中通常用到视"复角”为"单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破

的关键。

(3)以式代值

利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换,

往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是

sin2x+cos2x,sec2x—tan2x,csc2x—cot2x,tanxcotx,secxcosx,tan450等，根据解题的需要，适时

地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

1-sm6x-cos*x

【例4】化简：1-sm*x-cos*x

(smJx+cos2x),-sm6x-cos6x

解析：原式=(sin*x+cos。)-sm'x-co”x

3sin*xcos2x+3$m2xcos*x

=2sm2xcos2x

35tn2xcos2x(sm2x+cos2x)

=2sin2xcos3x

3

=2

点评：1="$m'x+cos"x”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。

(4)和积互化

积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幕和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

【例5】解三角方程：sin2x+sin22x=sin23x

解析：原方程变形为：

222

2(1—cos2x)+2(1—cos4x)=2(1—cos6x)

即：1+cos6x=cos2x+cos4x

2COS23X=2COS3XCOSX

得：cos3xsin2xsinx=0

£n_

解得：x=3A-/T+7或x=2^(keZ)

，原方程的解集为{X|X=3A7T+石或X=5A7T#WZ}

点评：题中先降次后升累，这种交织使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了

提取公因式。

(5)添补法

与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问

题很便利地得以解决。将原式“配〃上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情

形。

sin2x1+cosx

【例6】求证：(而x+8sx-l)(sinx-cosx+1)=而”

(sinx+cosx)J-1

证明：左边=(沏x+co$x-co$x+l)

(sinx+cosx+1)sinx

=(stnx-cosx+1)stnx

(1-cos2x)+smx(l+cosx)

=(stnx-cosxI)sinx

(1+cosx)C-cosx+smx)

=(stnx-cosx+l)stnx

1+COSX

=smx=右边

，原式成立。

点评：本例中采用“加一项再减去一项〃，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强,

目的都是为了便于分解因式进展约分化简。

(6)代数方法

三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，

从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。

$m4acos4a.

—5-+—5-=1

【例7】锐角a、B满足条件8Sfi胸’力，则以下结论中正确的选项是()

匹£

A.a+BW2B.a+3<2

nn

C.a+0>2D,a+B=5

解析：令sina=a,co$£=b,则有台\.b

整理得：(a-b)即a=b

即：sin2a=cos2P(a,B同为锐角)

.".sina=cosB

7T

...a+B=5,故应选D。

点评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛,

往往能收到简捷解题的效果.

(7)数形结合

有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时假设能以数思形，数形渗透，两者交融，

则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的

思想。

sma+smpQ=-1cosa+cosp。=—1.,.

【例9】：4,3,求tan(a+向的值。

解析：•••点A(3$a,s«na),B(cos即£l均在单位圆上。

由条件知：AB的中点坐标为C(1/6,1/8),即直线AB过

定点C

如以以以下列图所示

tan(a+0=—

•••据万能公式得：7

点评：此题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法。

数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。从六、七两种方

法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精

巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，

提高和开展学生的创造性思维能力。

以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起

的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变形运用，

同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以上七个方面外，

还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进展边角转换，利用辅助角，借用复数表示等方法

我们以后有时机再介绍。

5.非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究

非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到

的三角公式及其变形灵活多样，因而若何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重

点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。

【题目】求)'=1即20°+4勺1)2「的值。

分析1：这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子中有

一项为哪一项正切函数、一项为哪一项正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简,

使其化为特殊的三角函数值。

解法1:

点评：通分以后，要将和式转化为积式，需将2sin400拆项为s1n400+sin400,这是将和式

转化为积式中常用的变形手段，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值，这样才有可能

使化简得以进展下去。

分析2：运用切割化弦，通过通分化简后，假设不考虑将和式转化为积式，而是对角进展

变换,观察到运算的式子中出现的两角为20°,40°,与特殊角比较则会有60°-40°=20°,

变角后再应用两角差的正弦公式展开进展化简。

解法2：

,sin6

tan9=----

分析3：我们在运用“切割化弦”时，假设不利用商数关系COS0,而是将tan20°

01-co$0

利用半角公式,丽5=sine进展化弦,也能进展求值。

解法3：

分析4：从以上路径可以看出而出是一个特殊的三角函数值，考

虑它等于什么呢t孤60°=君，因而考虑可否会有tanZ^+dsinZTranGO。，这样问题就转化

为等式的验证。

解法4：

/.有tan200+4sin200=tan60°=也

点评：本路径采用了综合法，只进展等式tanZtr+dsinZrEanGO。的验证，问题就得以解

决。

分析5：利用倍角公式可得到sm400=2sin2kcos200,能否再对角进展适当的变换，出现

特殊角，我们发现40°=60°-20°,这样变角后利用两角差的正弦公式展开化简，也能求

值。

解法5：

将等式可写成$in(60°-20°)=2s>n20°cos200

两边同除以cos20：得

点评：此题利用综合法求得了tan200+4sin200的值，在这里首先进展角的变换，然后利用

两角差的正弦公式展开，合并同类项后，再进展弦化切割，从而得到所要求的值。

以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题，对于这类问题，要从多方面考

虑解决的方法，在这里我们是从三角函数的“变名〃”变角〃”变式〃“切割化弦〃弦化切割〃

等方面而进展了三角恒等变形，这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。

【典型例题】

■+1强-1

例1.化简cos(3刀+a)+cos(3几一。)，其中kGZ。

解析：解法一：

XXX

原式=cos[%"+(3+a)]+cos[k几一(3+a)]=cosk"cos(3+a)—sin%

XXKX

"sin(3+a)+cosk〃cos(3+a)+sin攵"sin(3+a)=2cos左力cos(3+。)，[k

ez)

z

当k为偶数时，原式=2cos(3+。)=cosa—J3sina

x

当上为奇数时，原式=-2cos(3+。)=sin-coso

总之，原式=(-1)〃(cos。一J^sin。)，kGZ

XX

解法二：由(左力+3+。)+(k九一3—a)=2k兀,知

XXX

cos口"―3—Q)=cos\_2k乃一(3+〃+左/)]=cos]一口乃+3+。)]=cos

X

口"+7+。)

XX

二・原式=2cos(左开+3+。)=2X(—1)Qos(3+。)=(―1)k(cos。一bsinQ),

其中kRZ

XXH

点评：原式=(2。$(kn+3+a)+cos(kn-3-a)=cos\_kn+[3+a)]+cos\_kn

z

—(3]这就启发我们用余弦的和(差)角公式。

21tana

例2.sin(a+£)=3,cos(a—£)=5,求13np的值。

解析：解法一：由条件及正弦的和(差)角公式,

tana

解法二：（设未知数）令x=户

tana13

，，=n=___

解之得tan,

,.sinJ4+COS^=.AC=-2.AB=3.

例3.在AA皮7中，2求tanH的值和AA5C的面积。

,72$m-4=-----------

,smJ4+COSJ4=—<4

2*^/2-5/6

解析：解法一：解方程组lsm,/+cM4=l得cosA=-----------

4,故

tan=-2--\/3o

==3无;"=\低+病)

向44=之

解法二：由",鼠及($m/+cos/)’=1+25m/co”得

[3

2smAcosA=—(Sm4-cosAf=—

2,可得''2

因为smH+cos4<1,所以90°<4<180°,故sm4-co$4>0,即

夜

一V2+yfc

2$m,4=-----------

百4

AV2-A/6

2得cosA=-----------

解方程组4故tan/=-2-招。

（以下同解法一）

smA+cosAs5/2cosM-450)=

解法三：因为2,

1

86(4-450)=

所以2o

又0°<<<180°,

故4一45°=60°,/=105°,血力=-2-后

（以下同解法一）

例4,sm3200+cos3500+sin200cos500

解析：解法一：此题可利用降累、积化和差、和差化积等公式进展恒等变形化简。

原式=(stn20°+co$50°y-sm200cos50°

解法二：利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题

设乂=sm3200+cos500+sin200cos500

则H+5=2+sin700

两式相加得4

3

$m320°+cos350°+sm200cos500=-

即4

n,3^r1

cos一—cos—+cos—=一

例5.(第5届IMO试题)证明7772

A=cos-cos—+cos—

解析：设777

△a万,"升上a3/r_开万斩c2开切

则777777777

玩

竺

玩

”

开

22开

疝

2血2

十•

B2=$mn----

SW7Is277sin7stn7

c7

4C”5

(

一

炉7一OS7

.•.2/=3-5/

，2或4=-3［舍去）

【模拟试题】

一、选择题：

sin2a=-,?r<a<—.KOsina+cosa^,

1.42的值为0

_1士立

A.2B.2C.2D.2

2.cos24,cos36*-cos66"cos54*的值为()

J也_1

A.OB.2C.2D.2

3.tan20'+tan40'+由tan20'tan40"的值为（）

也

D,上

A.1B.3C.—也,

4.AASC的两内角A,B满足sinRsm8〈cosRcosB,则此三角形的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

5tan(or+=3,tan(a->5)=5

则tan2a的值为（）

41

A.7B.7C.8D.8

2=吏心.」」—.3开627r

n（a+

6.222＜则制向的值为（）

一直1

A.2B.-1C.2D.2

7.假设彳＜5,则"l-sm26的值为U

A.cos8-sin8B.s】n8-cos8

C.72sinD.72cos

8.函数尸=sm'x+co/x的值域是（）

13D.即

c

A.MUB」-U]七节

4

9.等腰三角形顶角的余弦值等于弓，则这个三角形底角的正弦值为（）

Tic损3而3闻

A,而B.10C.10D.

I。tan7炉cosl()[>/5tan20'-1)等于()

A.-IB.1C.2D.12

二、填空题

11.在A45c中,tanA,tanB是方程3x?-7x+2=0的两个实根，则tanC=

3sin2x+2co$2x

12.tanx=2,贝ijcot2x-3$in2x的值为

sin320#+cos350'+sin20'cos50*=-

13.观察以下各等式

23

s>na15，+co?45*+sinl5,cos45*=-s>n3120*+cosa150*+sin120*cos150+=-

4,4,根据其共同特

点，写出能反映一般规律的等式。

14.直线,14,A是之间的一定点，并且A点到44的距离分别为仁济，B是直线4上

一动点，作ACLAB,且使AC与直线4交于点C,则面积的最小值为

三、解答题：

1+刖26-cos20

15.化简l+$in26+cos%

16一m+小卜代⑼1，求呢㈤0的值

2-2sinfa+-lcos(a+—1

I4J(l+tana

17.证明：cos4a-sin4a1-tana

18.知函数，=sin」x+$s2x+38$'x,求

(1)函数的最小值及此时的x的集合

(2)函数的单调减区间

(3)此函数的图像可以由函数y=点现n2x的图像经过若何变换而得到

一.[-[

w=(a-sm&--)n-(―,cos0)

19.向量2,2。

(1)当a=0,且情〃行时，求sm%的值

(2)当〃=孚

且州_L力时，求cos20的值

【试题答案】

一、选择题:

1.C2.B3.D4.C5.A

6.C7.B8.D9.C10.A

二、填空题:

2$m3a+cosJ(a+300)+smacos(a+30°)=-

11.-712.513.4

14.g

三、解答题:

"矶口加/生/同2sinGeos6+2

1+sin28+(2cos38-】)25in0cos6+2coJ6

15.解:原式

co$(a+⑶=co$aco$尸7masin尸=1

.3C1)

cos(a-£)=cosacos尸+sinasm尸=二(<>)

16.M：

nA4

OLp=—/

⑵+⑴得/COSCOS5⑶

c•a2q1

2sinasmp-—(tanatanp--

⑵-(1)得5⑹A\⑷+⑶得2

17.略

18.解:由

y-sm2x+sin2x+3cosax-1+sm2x+Zcos^x-l+sin2x*(1+co$2x)-J7sm(2x+g)+

2

⑴

sinj2x+—j=-1_'一/2x+—=2k^r--.x=kfr-—

当I4；时，为+-2V2,此时，由42得8

>汽.5”

2fer+—<2x+—<2ATT+—,、xek7r+—,kn+一

(2)由242得减区间为88

(3)其图像可由了=.s1n2x的图像向左平移£个单位，再向上平移2个单位而得到。

•cC111

>wu-$mycos9-----—

19.(1)由。=上用"t/为，得224,

ry/2q(应11qc

——-sin0一一卜—,cosaj\=——-sin1a---cos6=0

⑵由［22八2J(2)22

S3n8+cos8=£,即8+2)=?

得214/2

关于简单三角变换的问题

1、同角的三角函数有三种关系：

平方关系：sin;a+cos2a=1；

商式关系：“n。▲tana；

cosa

倒数关系：tanacota=1.

它们的主要应用有：

(1)某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个；

12)化简三角函数式；

[3)证明简单三角恒等式等.

同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意各种变换技巧，如“1”可以用"sin，

a+cos:a"代换等.

2、诱导公式有两组，可概括为对k・90。±a(a@Z)的各三角函数值满足规律“奇变偶不变,

符号看象限"，即当k为偶数时，得a的同名函数；当k为奇数时，得a的余名函数；然后

在前面加一个把a看成锐角时原函数的符号.在利用诱导公式求任意角的三角函数值时，不

必拘泥于课本上列出的几个步骤，可以结合三角函数的性质，灵活使用.

3、三角函数的恒等变换中最基本、最常见的变换有：

(1)公式变换：要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中角、函数、构

造的特点，灵活地对公式进展正向、逆向及变形使用；

(2)角度变换：要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生特殊

角，正确使用诱导公式及辅助角公式；

[3)函数变换：弦切互化;

,、上，—,1-sin--cosO-tan—

(4)1的变换：1=sin,a+COS-a,1=tanacota,24等；

2l+co£2a=.21-cos2a

,cos'-----------和血，a------------

(5)基的变换：用公式22来升、降事.

4、三角恒等变换的基此题型有三种.

(1)求值：

①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将

非特殊角的三角函数值相约或相消；

②给值求值，其关键是分析和待求式之间的角、函数、构造的差异，有目的地消化；

③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解.

⑵化简：

①未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；

②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种

性质.

⑶证明:

主要有两种：无条件恒等式证明和条件恒等式证明.

5、在求值、化简、证明中应注意的问题有：

(1)三角式化简的目标.

①项数尽可能少；

②三角函数种类尽可能少；

③角尽可能少、小;

④次数尽可能低;

⑤分母尽可能不含三角式；

⑥尽可能不带根号；

⑦能求出值的要求出值.

[2)三角运算的基本原则.

③异角化同角；(角分析法)

⑦常数的处理〔特别注意“1"的代换).

(3)几个重要的三角变换思想

①sina•cosa—凑倍角公式；

②1±cosa升累公式；

③1土sina—配方或化为l±cos(n/2—a)再升幕；

④asina+bcosa-*辅助角公式；

⑤tga±lgBf两角和与差的正切公式逆用.

三、例题讲解：

例1、求证：tan3A—tan2A—tanA=tan3A,tan2A•tanA.

证明：欲证等式即为tan3A(1—tan2A,tanA)=tan2A+tanA,

tan24tanX

tan3Aa

即

根据正切的和角公式,

tan2A+tanA

tan34-tan(24+A)

1-tan2A・tanA结论成立.

小结：1、分析法“执果索因”，便于寻找解题途径，也是三角恒等式证明中的一种常用

方法；

2、此题可以推广如下：假设a=B+丫，则tana-tanB—tan丫=tana・tanB«tany.#

殊地，假设aABC是非直角三角形，则

(1)tanA+tanB+tanC=tanA,tanB,tanC,

⑵tan/?A+tan??B+tan/7C=tan/7A,tan〃B•tan/^C.

例2、/(力=2。的21-2/0加18$"。+》G£0)的定义域为[o,T],值域为[-5,1],求常

数a、b的值.

分析：观察函数的特征，需将它化归为形如y=Asin(3x+小)+B型三角函数求值域，特

*

别注意此时x£[0,2],故首先要求出3x+6的范围并进而求出sin(o)x+6)的取值范围，

同时注意系数A的符号.

/(x)-―

解：2、

⑴当a>0时，B^sin(2x+I)--lw,

求得a=2,b=—5.

当。<Olf.sin(2x+—)-IW,

⑵6

求得a=—2,b=l.

例3、sina是sin。和cos8的等差中项，sinB是sin。和cos。的等比中项，求证：cos4B

—4cos4a=3.

证明：由条件得:

2sina=sin0+cos0,①

sin2B=sin0•cos9.②

①式平方得：4sin2a=l+2sin9cos0,③

②式代入③得：4sin2a=l+2sin2P,

艮|J2cos2a=cos2B.④

④式平方得：4COS22a=COS22B,

£

再降幕：2(l+cos4a)=2(l+cos4B),

/.cos4B—4cos4a=3.

小结：在三角变换中，为了到达化繁为简的目的，降哥应该是最主要的手段，但在某些情

况下，升塞也是必要的.

二+乙

例4、169,求：

(1)x：+2xy+y，的最大值与最小值；

(2)求3x+4y的最大值与最小值.

分析：由条件的构造特征：两数的平方和为1,联想到sir?。+cos20=l,由此可作三角

代换，将上述问题转化成三角函数的最值问题.因而此题考察三角函数作为工具被应用的能力.

,—+—=I,设x=4cos6,y=3sin&

解：169,

⑵3x+4y-12sin6+12cos^»12&sm（5+；）.

例5、如以以下列图，一条河宽1千米，两岸各有一座城市A和B,A和B的直线距离是4千

米，今需铺设一条电缆线连结A与B.地下电缆的修建费是2万元/千米，水下电缆的修建费

是4万元/千米.假定河两岸是平行直线，问应若何铺设电缆方可使总施工费用最少.

分析：解决实际应用问题，关键是建设数学模型.此处有两种选择：一是建设函数模型，

可以考虑以AD或DB为自变量，函数式易立，但最值难求；二是建设三角模型，转化为求三角

函数最值，处理稍容易些.

解:设NCAD=O,由AC=LAB=4,则

GO-tanftAD»——.CB=用,&£>■«5-land

co$&

依题意，设由A到B铺设电缆的总费用为y,则

答：水下电缆应从距B城（〜T）千米处向A城铺设.

8.基本初等函数（II）及三角恒等变换

同角三角函数关系式：

（1）平方关系：sin2a