高中数学课堂讲义：导数的概念教学设计

高中数学课堂讲义：导数的概念教学设计

目录

1.教学内容解析................................................................1

2.教学目标....................................................................2

3.学生学情分析...............................................................2

4.教学策略分析...............................................................3

1.教学内容解析

《导数的概念》是《选修2-2》第一章第1.1节中第1.1.2小结的内容，是

高中数学的一节概念课.数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一

切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学。

纵观《导数及其应用》这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法

简化了中学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发

展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.但我们又

不能将导数作为一种规则和步骤来学习，否则，学生很难体会导数的思想及其

内涵，这样导数概念的学习就至关重要。

一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他

们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用

形象直观的“逼近”方法定义导数。

我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将

瞬时速度一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念。

第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学

生在观察实验的同时，体会当|加|变小，趋于0时，生趋于一个定值，这个定

△t

值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，第一次体会逼近的数学

思想。

第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学

问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均

变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概

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念。

因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历

导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵。

2.教学目标

1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感

受、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成。

2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一

步理解导数的概念。

3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴

趣。

3.学生学情分析

1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化

率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化

率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的

认知基础，他们不会对新知识感到无所适从。

2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，

需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有

的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时

变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速

度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体

在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但

又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程

中，充分感知当|4|趋于0时，丝趋于一个定值；当|以|趋于0时，包趋于

ArAx

一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即

把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变

化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表

达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可

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能会导致学生的不适应而产生困难。

因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过

“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节

课的难点。

4.教学策略分析

根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引

导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有：

1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出

发，历经平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函

数，从而得到瞬时变化率的概念。

2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道，=2是的瞬时速度以后，直观地

理解运动员在任意时刻/的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一

点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率。

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3.几何直观1讲授：上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的组织

回顾复习

感受.通过几何画实例，建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高学生思考。学生讨

实例研究

学生思考.找不到

板的演示让学生台跳水运动员在0Wt＜奂这段时间里的平均速度。论、交流

形象的感知“逼49好的方法来求运动过计算结

经过计算，大家发现运动员在Owr〈竺这段时间里的平

近”。程中的瞬时速度。果，激发

/1Q

根据已有的物理

4.利用计算学生的求

均速度是0.难道说运动员在这段时间是静止的？

知识，学生回答仪器

器进行分组合显然，运动员在这段时间里不是静止的.由此可知欲.明确

是通过测量气轨上滑

作，取不同的见，用平均速度描述运动员的运动状态是有一定的局限本节课的

块在4时间内滑过的

△t,Ax,计算性.所以我们说“平均速度”只能粗略地描述运动员的教学内

距离加，用竺计算

竺以及包的运动状态.还有一种速度，它能更精确地刻画运动员在容。

△

ZArt

每个时刻的运动状态，我们称之为：瞬时速度。平均

侑。而得。

速度为

那如何求运动员的瞬时速度呢？比如，高台跳水运动员在学生回答不是。

预计时间15分钟

0?通过计

f=2s时的瞬时速度是多少呢？大家有没有好的想法？

答：时间间隔越算结果与

小越好.使得加变小。学生的认

学生利用计算知产生冲

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器，分小组合作.每个突。

小组随意选择几个加

在实

的值，计算包的值。

例观察

答：当人趋近于中，感受

0时，从2的右边接逼近的思

讲授：我们来看物理中测瞬时速度的小视频。近2时，平均速度趋想，为求

问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理是于一个确定的值瞬时速度

什么？-13.1o奠定基

问：这里所得的真是瞬时速度吗？为什么？

答：当&趋近于础。

问：对，也就是我们很难测量到真正的瞬时速度，我们测

0时，从2的左边接让学

量到的是千分之一，万分之一秒，以致更短时间间隔内的平均速

近2时，平均速度趋生熟悉符

度.那如何使得平均速度更接近瞬时速度呢？

于一个确定的值号，在亲

讲授：对.那如果我们想求高台跳水运动员在

—13.1o自计算的

f=2s时的瞬时速度，就考察f=2s附近的情况，在

学生回答。过程中感

f=2之前或者之后，任意取一个时刻2+&.加可以是

学生分组合作，受逼近的

正直，也可以是负值，但不为。当4取不同值时，计

思考、计算、讨论。思想。

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算平均速度下=竺=奴2±△，）二"⑵。学生总结计算结果.从特殊

△t加到一般，让

学生直观地

我们先看运动员在［2+Ar,2］内的平均速度.请看表格

理解运动员

在任意时刻

[2+At,2]△t<0平均速度

t的瞬时速

[1.9,2]-0.1-13.051度.

[1.99,2]-0.01-13.0951

[1.999,2]-0.001-13.09951

[1.9999,2]-0.0001-13.099951

[1,99999,2]-0.00001-13.0999951

[1.999999,2]-0.000001-13.09999951

[1,9999999,2]-0.0000001-13.09999995

大家发现了什么特点？

再看运动员在内在［2,2+△，］的平均速度.请看表格：

[2,2+At]△t>0平均速度

[2,2.1]0.1-13.149

[2,2.01]0.01-13.1049

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教学内容教师活动学生活动教学评价

[2,2.001]0.001-13.10049

[2,2.0001]0.0001-13.100049

[2,2.00001]0.00001-13.1000049

[2,2.000001]0.000001-13.10000049

[2,2.0000001]0.0000001-13.10000005

大家有发现了什么特点？

通过这两个表格的对比，你们发现了什么？

对，当山趋近于0时，即无论从2的左边，还是右边，趋

近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.我们就把

-13.1

讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在r=2s附

近，平均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢？比如

f=2.5s、r=3s等？

请大家按照刚才我们探究，=2s时的过程，用你手

中的计算器，分别计算t=2.5s、r=3s这两个时刻附近

的平均速度.请两个同学把小组计算出来的数据输入

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Excel表格。

，=2.5s附近的平均速度变化：

(2.5+At,2.5]△t<0平均速度[2.5,2.5+At]△t>0平均速度

[2.4,2.5]-0.1-17.951[2.5,2.6]0.1-18.049

[2.49,2.5]-0.01-17.9951[2.5,2.51]0.01-18.0049

[2,499,2.5]-0.001-17.99951[2.5,2.501]0.001-18.00049

[2.4999,2.5]-0.0001-17.999951[2,5,2.5001]0.0001-18.000049

[2.49999,2.5]-0.00001-17.9999951[2.5,2.50001]0.00001-18.0000049

[2.499999,2.5]-0.000001-17.99999951[2.5,2.500001]0.000001-18.00000049

[2.4999999,2.5]-0.0000001-17.99999995[2.5,2.5000001]0.0000001-18.00000005

t=3s，附近的¥三均速度变彳匕

[3+At,3]△t<0平均速度[3,3+At]△t>0平均速度

[2.9,3]-0.1-22.851[3,3.1]0.1-22.949

[2.99,3]-0.01-22.8951[3,3.01]0.01-22.9049

[2.999,3]-0.001-22.89951[3,3.001]0.001-22.90049

[2.9999,3]-0.0001-22.899951[3,3.0001]0.0001-22.900049

[2.99999,3]-0.00001-22.8999951[3,3.00001]0.00001-22.9000049

[2.999999,3]-0.000001-22.89999951[3,3.000001]0.000001-22.90000049

[2.9999999,3]-0.0000001-22.89999995[3,3.0000001]0.0000001-22.90000005

讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时

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间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，就

逼近了一个时刻，我们就把平均速度用为瞬时速度的近

似值。

之前我们在学习函数零点的时候，利用“二分法”逼近函数

零点.今天，根据上面的讨论，我们又用平均速度逼近了瞬时速

度，这都体现了我们数学中无限逼近的思想.

10分钟2讲授：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有答：根据平均变化率这个

的公式

自这样的结论，那其他运动会吗？如果我们把运动员的运计算与学

主△y=■/~。2)一"芍)

动变化抽象为一个函数，也有这样的结论吗？其实，物生的认知

探Axx2-x1

究

体的运动变化量可以抽象成一个函数y=/(x),这样我计算得这三个函数在发生了冲

形成概念

们用到的丝就可以用一个跟为一般烦人表达式包来同一个变化区间上平突。同时

ArAv

均变化率都是1。也让学生

表达，而竺就是我们上节课所学的平均变化率.我们可

但根据图像发现认识到平

Ax

这三个函数在0到1均变化率

以用它来刻画一个函数在某个区间的变化趋势。

的变化趋势是不一样只能粗略

问：那如何更好地刻画一个函数的变化趋势呢？

的。的描述函

为了探讨这个问题，我们来做这样的两个实验活动：

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Q/%答：瞬时变化数的变

1//率。化。

答：把区间Ax缩由上

短。面从平均

、/f速度到瞬

01X学生分组合作，时速度的

计算结果，得出结论.过渡，由

实验活动1：求函数v=x,y=》2,y=J7从0至打的平

要求一个小组展示成对瞬时速

均变化率？

果，表达对结果的看

问：是不是这三个函数在0到1的变化趋势是一样的呢？度的形成

讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物体在某个时法。和理解，

间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时刻的运经过计算，学生学生很容

动状态，我们只能通过瞬时速度.由此类比，对于函数来说，平会发现当两个区间的易联想到

端点无限靠近，即心

均变化率也只能粗略的描述函数的变化趋势，那如何精确的描可以用一

逼近0时，平均变化

述函数的变化呢？个词，叫

率都逼近一个确定的

问：那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢？做“瞬时

讲授：下面我们就做另一个实验活动，看一下，值2,即瞬时变化变化

率。

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当Ar缩短时，平均变化率发生了什么样的变化？请大自己尝试来写。率”。用

家分组合作。它可以精

学生自己归纳总结.体

区间[1,1+Ax]区间确的描述

会由特殊到一般的思想方

（0[1,1.1]（5）[0.9,1]法函数在某

（2）[1,1.01]（6）[0,99,1]一个点的

变化趋势.

（3）[1,1.001]（7）[0,999,1]

这体现了

（4）[1,1.0001]（8）[0,9999,1]

类比的思

实验活动2：已知函数/C0=x2,分别1才算人灯在下列区

想方法。

间上的平均变化率:

结论：

学生在

区间[1」+Ax]平均变化率区间”心』平均变化率上一个问题

2.1

用几（0[1.1.1]（5）[09,1]19何画中遇到了认

板演⑵口」叫2.01（6）[099,1]1.99知冲突，希

⑶[1,1,001]2.001（7）[0,999,1]1999望寻求新的

（4）[1,1.0001]2.0001（8）[0.9999,1]1.9999认知来解决

这个冲突。

老师提出的

这个实验活

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教学内容教师活动学生活动教学评价

动引导学生

通过计算，

自主探究，

使得获得新

知的过程自

l/T!1

然而然。

引导学

生舍弃具体

讲授：我们就把2记作是/(x)=d在x=l处的瞬问题的实际

意义，完全

时变化率，用数学语言表达就是

抽象为数学

lim/(l+Ax)-/(l)=2o问题.在函数

Ax

AT知识的迁移

下，学生能

讲授：这样，我们就实现了从平均变化率到瞬时变化率的过

顺利地表示

渡.得到了一个具体函数/(X)=/在x=l处的瞬时变化率.问：

出一般函

那对于任意一个函数/(X)在x=/处的瞬时变化率该怎么表

数：

示？

y=/(x)

讲授：一般地，函数y=/(x)在x=/处的瞬时变化率是：

在龙=尤0处

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教学内容