平面向量的减法及几何意义

向量减法运算及其几何意义以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机从台北到香港，再从香港到上海，若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？1．相反向量定义如果两个向量长度__相等__，而方向__相反__那么称这两个向量是相反向量性质①对于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a、b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量2．向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__作法在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量[知识点拨]1.向量减法的三角形法则中，eq\o(BA,\s\up6(→))表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．2．由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐．3．如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛．1．△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(D)A．a－b B．b－aC．a＋b D．－a－b[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b．2．如图所示，已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(EF,\s\up6(→))等于(D)A．a＋b B．b－aC．c－b D．b－c[解析]如图eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))．3．化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))的结果是eq\o(AB,\s\up6(→))．[解析]将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的放在一起运算，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．4．四边形ABCD是边长为1的正方形，则|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)．[解析]|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)．命题方向1⇨三角形法则下的向量加减法运算典例1化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[思路分析][解析]方法一(统一成加法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．方法二(利用eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)))(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0．方法三(利用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))设O是平面内任意一点，则(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0．『规律总结』掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算时，常用的变形如下：(1)运用eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))化减为加；(2)运用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))化繁为简；(3)运用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))转化为共起点的两个向量的差．〔跟踪练习1〕化简：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．[解析](1)方法一eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0．方法二eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．命题方向2⇨利用已知向量表示其他向量典例2如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OE,\s\up6(→))＝b，用向量a、b表示向量eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))和eq\o(OD,\s\up6(→))．[思路分析]eq\x(观察图形)→eq\x(\a\al(找已知向量与所,求向量的关系))→eq\x(\a\al(利用法则,写出结果))[解析]解法一：在▱OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE起点相同，应用平行四边形法则，得eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝a＋b．∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a－b．而eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OE,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a－b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a．解法二：由正六边形的几何性质，得eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a．在△OBC中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a－b．解法三：由正六边形的几何性质，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a．在▱OBCD中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－a－b．『规律总结』解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．〔跟踪练习2〕如图所示，解答下列各题：(1)用a、d、e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b、c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a、b、e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用c、d表示eq\o(EC,\s\up6(→))．[解析](1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a＝a＋d＋e．(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c．(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e．(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d．向量加减法的综合运用典例3已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为__平行四边形__．[思路分析]向量a＋b，a－b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简、转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解．[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．〔跟踪练习3〕在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则必有(C)A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝0或eq\o(AD,\s\up6(→))＝0C．四边形ABCD为矩形 D．四边形ABCD为正方形错误使用向量的减法法则典例4如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，求eq\o(OD,\s\up6(→))．[错解]因为eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝r3＋r2－r1．[错因分析]错误地使用了向量的减法法则．[正解]因为eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝r3＋r1－r2．[误区警示]已知平面向量的起点与终点的多个向量的加减运算，可以灵活运用向量加法的运算律，遵循“首尾相接”的原则即可．〔跟踪练习4〕如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求eq\o(OD,\s\up6(→))．[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝c－b，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝c－b，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋c－b．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0．正确的个数是(C)A．3 B．4C．5 D．62．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))等于(B)A．a＋b B．－a－bC．a－b D．b－a[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a－b，故选B．3．化简eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得(D)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0[解析]原式＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0．4．在▱ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))等于(A)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(DB,\s\up6(→))[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，在▱ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．5．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(B)A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0[解析]如图，a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，又四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B．A级基础巩固一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(C)A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0[解析]A项显然正确，由平行四边形法知B正确；C项中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，故C错误eq\o(；,\s\up6(→))项中eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故选C．2．化简以下各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))．结果为零向量的个数是(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0．3．四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(A)A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c[解析]eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c．4．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(B)A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) B．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))C．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))5．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是(C)A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)[解析]由于eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，则有|eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AC,\s\up6(→))|≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|，即3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13．6．O是四边形ABCD所在平面上任一点，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD一定为(D)A．菱形 B．任意四边形C．矩形 D．平行四边形[解析]由|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))|知|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))故四边形ABCD是平行四边形．二、填空题7．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.其中所有正确命题的序号为__①②④__．[解析]非零向量a、b互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．8．若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝__2__．三、解答题9．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4，∠BAC＝90°，求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，∠BAC＝90°，∴|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝5，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5．10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a．[解析]作法：作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b．如图所示；作向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋a．B级素养提升一、选择题1．下列说法错误的是(D)A．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))C．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))D．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))[解析]由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A，B，C都正确．由相反向量定量知，共eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝－(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))，故D错误．2．在平面上有A、B、C，三点，设m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有(C)A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形[解析]以eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形，则m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C．3．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))，则化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))的结果为(A)A．0 B．eq\o(BP,\s\up6(→))C．eq\o(PQ,\s\up6(→)) D．eq\o(PC,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0．4．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝(C)A．7 B．17C．13 D．8[解析]如图，∵a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(52＋122)＝13．故选C．二、填空题5．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))相等的向量有__①__．①eq\o(CF,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(DA,\s\up6(→))；④eq\o(BE,\s\up6(→))；⑤eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；⑥eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；⑦eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))．[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))．6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__5或9__．[解析]当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9．三、解答题7．已知点B是▱ACDE内一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq