2024年中考复习查缺补漏02 几何最值类综合压轴（解析版）

查补培优冲刺02几何最值类综合压轴题型一：几何最值模型--将军饮马（遛马、造桥）模型题型二：几何最值模型--费马点模型题型三：几何最值模型--胡不归模型题型四：几何最值模型--瓜豆模型（原理）题型五：几何最值模型--阿氏圆模型题型六：几何最值工具--二次函数求最值题型七：几何最值工具--三边关系求最值题型一：几何最值模型--将军饮马（遛马、造桥）模型1.将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短。2.在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！例1．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为．

【答案】【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接交于一点F，连接，

∵四边形是正方形，∴点A与点C关于对称，∴，∴，此时最小，∵正方形的边长为4，∴，∵点E在上，且，∴，即的最小值为故答案为：．【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．变式1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

【答案】/【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．【详解】解：∵为高上的动点．∴∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，∴∴∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则在中，，则，则当三点共线时，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．

【答案】【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，∴，∴，当在同一条直线上时，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等边三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．例2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．【答案】【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值为．故答案为：【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．变式1．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是．

【答案】/【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.【详解】解：过点作，令

∵⊙O的周长为，∴⊙O的半径为∴∵且∴四边形为平行四边形∴由正方形的对称性可得：∴∴故：当时，周长有最小值此时：∴周长的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键．变式2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．题型二：几何最值模型--费马点模型结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。费马点最值模型的辅助线作法：如图，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．当E、N、M、C四点共线时，MA+MB+MC的值最小，即为EC的长度。例1．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为①三角形，故，又，故，由②可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有③；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．【详解】（1）解：∵，∴为等边三角形；∴，，又，故，由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，∴，又∵∴，由旋转性质可知：，∴，∴最小值为，（3）∵总的铺设成本∴当最小时，总的铺设成本最低，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由旋转性质可知：，，，，∴，∴，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，过点作，垂足为，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为总的铺设成本（元）故答案为：【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．变式1．（2023·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里．【答案】15+10【分析】将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM共线，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高为5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）．【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．变式2．（2023·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．【答案】【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等边三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．题型三：几何最值模型--胡不归模型【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。（注意与阿氏圆模型的区分）。1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．【答案】【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．变式1.（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．【答案】0【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．【详解】解：如图，作于，∵四边形是正方形，，，的最小值为0，∵，∴的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．变式2．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为．

【答案】【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上，∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．

．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．题型四：几何最值模型--瓜豆模型（动态轨迹问题）瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。例1．（2024·江苏无锡·一模）如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，，下列结论：①的最小值为；

②的最小值是；③当时，；

④当时，．其中正确的有()

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】①由垂线段最短可知时，最小，最小，②寻找到点F在固定直线上运动即可判断；③点D可以在延长线上，不平行；④先证明是等边三角形，进而确定结果．【详解】解：∵是边长为6的等边三角形，点E在上且，∴.∵，，∴，∵时，最小，最小，当时，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴；故①正确；作于M，作，且使，作于G，连接，

∴，∴四边形是矩形，∴矩形是正方形，∵，∴，∵，∴，∴，∴点F在上，作，∴最小值是，延长交于H，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，故②正确；当时，D可以在的延长线上，故③不正确；当时，，∵，∴是等边三角形，∴，故④正确；综上，正确的有①②④，共3个，故选：B．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是找出点F的运动轨迹．变式1．（2023·江苏镇江·一模）如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】连接交于点，连接并延长交于点，由正方形的性质得，，，则，得，由，，证明，则，变形为，而，则，可推导出，则，所以，，可知点在的垂直平分线上运动，当点与点重合时，长的值最小，此时，于是得到问题的答案．【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，点在的垂直平分线上运动，，当点与点重合时，的值最小，此时，长的最小值为1，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是．【答案】2【分析】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为，，，，，，，点是的中点，，，由旋转得：，，，，，，，，当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为2，长的最小值是2，故答案为：2例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，

∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，∴，∴，∴，∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；在中，，∴，∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．另解：取BO的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定，故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．变式1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为．

【答案】【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，

的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，如图，当、、三点共线时，的值最小，四边形是正方形，，，是的中点，，，由旋转得：，，，的值最小为．故答案：．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．变式2．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．【答案】80/【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是．【答案】/【分析】据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【详解】解：∵点、分别是边、的中点，连接MN，则四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∴∴当点E与点A重合时，则NF=，∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴是等腰直角三角形，∴∵BP⊥AF，∴由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，∴∠PON=90°，又∴，∴，∴的长为=故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．题型五：几何最值模型--阿氏圆模型【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．【答案】

；

．【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可．【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，∵CP=2，BC=4∴，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值为．故答案为：在AC上取CE=，连接CP，PE∵∴又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，∴BP+AP的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．变式1．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案．解法2：如图：连接、、，在上做点，使，连接，证明，在上做点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解．【详解】解法1：如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，∴，，四边形正方形，又，在与中，故答案为：2．解法2如图：连接、、根据题意正方形的边长为4，的半径为2，在上做点，使，则，连接在与中，，则在上做点，使，则，连接在与中，，则如图所示连接在与中，，故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．变式2．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．【详解】解：延长到，使得，连接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．题型六：几何最值工具--二次函数求最值构造二次函数来确定几何图形中的有关的长度、面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质求解即可。例1．（2024·江苏扬州·一模）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点，．(1)当时，的度数为______°；(2)连接，当P为中点时，求证：；(3)若，是否存在最小值?如果存在，求此最小值：如果不存在，说明理由．【答案】(1)65(2)见解析(3)存在，【分析】（1）由旋转的性质得出，，求出和的度数，则可得出答案；（2）过点作交延长线于，于，则，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出答案；（3）连接，设，，则，由（2）可知，，证明，得出，可得出答案．【详解】（1）解：四边形是正方形，，将逆时针旋转得到，，，，，，，，故答案为：；（2）过点作交延长线于，于，连接，则，四边形是正方形，，，，，四边形为矩形，将逆时针旋转得到，，，，，，，，为的中点，，，四边形为正方形，，，是等腰直角三角形，；（3）存在．理由如下：连接，四边形是正方形，，，由勾股定理可知，当取最小值时，有最小值，而，当取最大值时，有最小值时，即：当取最大值时，有最小值，设，，则，由（2）可知，，，，，，时，有最大值，此时，，则，，即：当时，存在最小值，此时取得最小值为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．变式1．（2023年湖南省常德市三模数学试题）如图，在中，，，D为边上一动点（B点除外），以为一边在边上方作正方形，连接，则的面积的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，利用三角函数的定义求得，解直角三角形求出，的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得函数关系式，根据二次函数的性质即可求得答案．【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，

，，，，∵，∴，∴，在中，，，∴，，∵四边形是正方形，，，，，又，，，设，则，

，，的最大值为，故答案为：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．变式2．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)(3)平行四边形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，根据角角边证明．（2）当，证得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形．（3）利用正方形的性质证得为平行四边形，过点作，垂足为点，交于点，由平行线分线段成比例，设，，，则可表示出，从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．【详解】（1）∵四边形为正方形，∴，∴．∵四边形为正方形，∴，，∴，∴．在和中，∵，，，∴．∴．∴；（2）；证明如下：∵四边形为正方形，∴，AB=BC=AD=CD，∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，∴AH=CG，∴，∴EH=FG．∵AE=CF，∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴是等腰直角三角形，∴∠BEF=∠BFE=45°，∵AE=AH，CF=CG，∴∠AEH=∠CFG=45°，∴∠HEF=∠EFG=90°，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是矩形．（3）∵四边形为正方形，∴．∵，，∴四边形为平行四边形．∴．∴．过点作，垂足为点，交于点，∴．∵，设，，，则，∴．∴．∴当时，的面积最大，∴，，∴四边形是平行四边形．【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．题型七：几何最值工具--三边关系求最值动点最值问题一直是中考数学中的难题，解题的关键在于化动为静，将问题进行合理转化，利用与之相关的知识点进行分析和解答，在运用三角形三边关系解决最值问题中，解题的关键在于构造三角形，一般情况下，需要找出两条固定线段，与需要求的线段构造三角形，然后利用三角形三边关系进行分析和解答即可。例1．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为．【答案】/【分析】本题主要考查勾股定理，斜边的中线等于斜边的一半和三角形三边之间的关系，取的中点为O，连接，先证明，进一步求出和，再根据，求出的最小值．【详解】解：如图：取的中点为O，连接∵，∴，∵，∴，∴，∵O是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．变式1．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质可知，∵，∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；故答案为．另解：该题也可以确点的轨迹（圆弧），在用点与圆的最值问题解决即可。【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．变式2.（2023·四川南充·校考二模）如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解．【详解】设交于，连接、、，过作于，连接，，，，是等边三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，的最小值是，故选：D．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键．课后训练1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A．【点睛】本题考查轴对称--最短路径问题，根据轴对称定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题关键．2．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，，点，∴，，∴∴△CDB是等边三角形∴∵点是的中点，∴,且BE⊥CD，∴故选：A．【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．3．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为()A．6 B．4 C．4 D．6【答案】A【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH四边形ABCD是正方形，，，即又，即由三角形的三边关系定理得：由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为，在中，由勾股定理得即的最小值为故选：A．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．4．（2023年江苏二模数学试卷）如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（

）A．16 B．8 C．32 D．10【答案】B【分析】过点作于，作于点，由勾股定理可求，由旋转的性质可求，，由可证，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】解：如图，过点作于，作于点，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，∴，，∴，且，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴∵面积，∴当时，面积的最大值为8，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，已知四边形中，，，点分别是边上的两个动点，且，过点B作于G，连接，则的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点C作，交延长线于M，连接，交于O，则构造的四边形为正方形，由可证，得出，则O是正方形的中心，由正方形的性质得出，取中点N，连接，过点N作于H，由勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得出，由三角形三边关系得，则当C、G、N三点共线时，最小，即可得出结果．【详解】解：过点C作，交延长线于M，连接，交于O，如图所示：∴，

∵，，∴，∴．∵，∴四边形为矩形．∵，∴四边形为正方形，∴．∵，∴，，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴O是正方形的中心．∵，∴，取中点N，连接，过点N作于H，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，在中，N是的中点，∴．∵，当C、G、N三点共线时，最小为：．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．6．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，已知．，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点为，连接，，先证明，进一步求出和，再根据，求出的最小值．【详解】解：如图：取的中点为，连接，，，，

，，，是的中点，，，，，，的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确分析出的取值范围是解题关键．7．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．【详解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．8．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；如图，点不是中点，所以点不是重心；①正确

②当，如图时最大，，，，，，，②错误；

③如图5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③错误；④如图6，，∴，即，在中，，∴，∴，当时，最大为5，∴④正确．故选：A．【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．9．（2023·江苏盐城·一模）已知，其中，，，M、N分别为、的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，根据勾股定理和全等三角形性质推出，判定四边形是矩形，，，得到，的最小值为1；当点A、F重合时，判定是等腰直角三角形，得到；当点C、E重合时，判定是等腰直角三角形，得到；得到最大为，即得的取值范围．【详解】分别过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，则，∵，，，∴，∵，∴，，，，，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∵M是中点，∴，∴，∴，同理，，∴，当时，，最小；当点A、F重合时，∵，∴，∵，，∴；当点C、E重合时，连接、，∵，，∴，，∴，∴，∴当点A、F重合或点C、E重合时，最大，为，∴的取值范围是．故选：D．【点睛】本题主要考查了直角三角形与平移综合．熟练掌握勾股定理解直角三角形，平移性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键．10．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴当时，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．11．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在菱形中，，点P是菱形内或边上的一点，且，连接，则面积的最小值为()A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，得到，求得，当面积的最小时，到的距离最小，即到的距离最大，当是等腰直角三角形时，即到的距离最大，推出点边上，且，过作于，于，于是得到距离．【详解】解：过点C作过点P作，如图所示：在菱形中，，，，，，当面积的最小时，到的距离最小，即到的距离最大，当是等腰直角三角形时，即到的距离最大，，点在边上，且，过作于，于，，，到的距离，面积的最小值为，故选：A．12．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．【详解】解：四边形是矩形，，，点M，N分别是的中点，，，，，，，，又，四边形是平行四边形，，，如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，则，

当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，在中，，，，的最小值，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．13．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．【答案】【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．14．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______．【答案】【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接、，然后即可得为等边三角形，同理为等边三角形，接着证明当、、三条线段在同一直线上，的值最小，即的值最小，过点作于点E，即最小值为：，问题随之得解．【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，根据旋转的性质有：，，，为等边三角形，同理为等边三角形，，，，当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F，最小值为：，在矩形中，于点E，即可知四边形是矩形，，即，为等边三角形，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．15.（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为．

【答案】【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解．【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动，∵点绕点逆时针旋转到点，∴，，∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小，

在中，∵，，∴，∴，过点O作于E，交延长线于F，∴，∵，，∴∵矩形∴∴∴四边形正方形，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键．16．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解．【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，则

∵，∴又∵∴∴∴∴如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值，∴的最小值为：故答案为：【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把转化为是解决此题的关键．17．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为．【答案】/【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．【详解】解：如图，作，使得，，则，，，，，，，，，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，，的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为．

【答案】/【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形中，，∴，，如图所示，当点在上时，∵∴在为圆心，为半径的弧上运动，

当三点共线时，最短，此时，当点在上时，如图所示，此时当在上时，如图所示，此时综上所述，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．19．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．【答案