2024年中考复习-数学（深圳专用）（解析版）

2024年中考数学终极押题猜想（深圳专用）（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一圆的性质（选择填空） 1押题猜想二反比例函数与三角形综合（选择填空） 9押题猜想三三角形综合（选择填空） 18押题猜想四特殊四边形的多结论问题（选择填空） 27押题猜想五一次函数与反比例函数综合（解答题） 39押题猜想六二次函数的实际应用与图形相结合（解答题） 50押题猜想七圆与三角形的综合题型（解答题） 68押题猜想八四边形的综合压轴（解答题） 82押题猜想一圆的性质（选择填空）1．如图，四边形内接于，连接、，是的直径，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．2．如图，在平行四边形中，点在上，连接，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接，与交于点，如图：∵点在上，∵在平行四边形中，∴四边形为菱形，又∵即为等边三角形，同理∴，∴在中，，，故选：B．3．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（

）．A． B．13 C． D．14【答案】C【详解】解：如图，连接，∵是的直径，∴∵的半径为5，，则∴∴∵是过点的切线，则∵∴∴∴，即∴故选：C．押题解读本考点为高频考点，多在单选题考查，属中等题。在备考中应掌握圆的相关概念与计算，包括圆周角，圆心角的角度计算，圆的关系性质，圆的面积，扇形面积及周长，切线的判定定理和性质定理等知识点。1．如图，AB是的直径，弦交于点E，且，，则的长为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】解：如图，连接，

则，又∵，∴，∴，∴，∴，设的半径为，则，，在中，，即，解得：，∴．故答案为：C．2．如图，以的顶点为圆心作一个圆，与相交于点，与相切于点，与相交于点，点是优弧的一点，连接与，若的半径为3，，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接，如图所示：

与相切于点，，，,，，，，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，点A，B，C在⊙O上，，连接BO并延长，交于点D，连接，．若，则的长为（

）

A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【详解】解：如图，延长交于点，

为的直径，点在上，，，，平分，，为中点，，，，，设的半径为，则，，，，解得，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理推论，垂径定理，平行线的性质，勾股定理的应用，三角形中位线定理，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求出圆的半径．4．如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】：因为，且，所以．由折叠可知，，则．设长为，则，在中，，解得，所以．又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等，则，所以．故选：C．5．如图，正方形内接于，点为上一点，连接．若，，则的长为．【答案】【详解】解：连接，过点作于，则，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴为的直径，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．押题猜想二反比例函数与三角形综合（选择填空）1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，，，若函数的图象经过点，则的值为．【答案】【详解】过点B作轴，垂足为D，∵A、C的坐标分别为，，∴，，又∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，代入得，故答案为：11．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点C在x轴负半轴上，轴，点B在反比例函数的图象上，，若，则的值为，k的值为【答案】3【详解】解：轴，，，，设，，∵和，，，，，，，，点在反比例函数的图象上，，，，即，．故答案为：3，．3．如图所示，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接，若的面积为1，则k的值为【答案】【详解】解：如图，过点作与点，、在反比例函数的图象上，，，，，为的中点，：：，的面积为，,．故答案为：．押题解读本考点为高频考点，多在填空考查，属中等题。在备考中熟练掌握反比例函数的图形和性质是解题的基础，其次还需要掌握直角三角形，等腰三角形，全等三角形及相似三角形等知识点。1．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为．【答案】【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：则，∴四边形是矩形，，把代入反比例函数的解析式得，，双曲线图像在第一象限，，，，，，，双曲线经过B，整理得：，解得：（舍），故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键；2．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，延长交轴负半轴于点，则的面积为．

【答案】1【详解】解：如图，作轴，垂足为点，连接，反比例函数解析式，，，轴，，又，，，，，，．故答案为：1．3．如图，过原点的直线交双曲线于A、B，以为边的等边三角形交x轴于D，D是中点，则C点坐标为．【答案】【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，令与轴的交点为，是等边三角形，，，过原点的直线交双曲线于A、B，，，，D是中点，是的中位线，，，，，，，或（舍），，，，在中，，，点坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，反比例函数的图象和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．4．如图，已知为反比例函数图象上两点，连接，线段经过原点，为反比例函数在第四象限内图象上一点，当是以为底的等腰三角形，且时，的值为．【答案】【详解】解：如图：作轴于，轴于．连接．∵关于原点对称，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴＝，即∵，∴，故答案为：．押题猜想三三角形综合（选择填空）1．在中；．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点在内，当时，过点作于点．若，，则的长为．【答案】【详解】解：由旋转可得，，，，，，，，，，设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，即，，，，，，即，解得：，故答案为：．2．如图，在中，为内的一点，且，且，若点为的中点，，则的长．【答案】10【详解】解：如图，取的中点，连接，，交于，延长交于，，，，是的中点，是的中点，是的中位线，，，，，，，，，中，是的中点，，．故答案为：10．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造直角三角形和三角形的中位线．3．已知，是等边三角形，点D，E分别是，上的点，将沿着折叠得到，点F落在边上．

图1

图2（1）如图1，当时，°；（2）如图2，当，时，的长为．【答案】【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵折叠，∴；故答案为：；（2）∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∵折叠，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，设，得到，，∴，∴，∵，∴，解得：，经检验是原方程的解，∴，故答案为：．押题解读本考点多在填空题考查，难度属中等或中等偏上。本题一般会考查旋转折叠性质、等腰三角形、勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．1．如图，在边长为6的等边中，点E，F分别是边上，且，连接交于点P，则的长为．【答案】【详解】解：∵是等边三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴，过F作于G，则：，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．2．如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为．【答案】或【详解】解：∵在中，，∴，，如图，当时，设与交于点，，设，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴；如图，当时，，∵把沿直线折叠，点落在同一平面内的点处，∴，，，∵，∴，∴，∴．综上所述，的长为或，故答案为：或．3．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最小值是．【答案】【详解】解：如图，连接，在中，∵，，，∴，∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∵是的中点，∴，∵是的中点，∴，∵将绕点逆时针旋转得到，∴，即，∴的最小值为（此时、、共线）．故答案为：．4．如图，在中，，D是的中点，把沿所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么．【答案】【详解】解：∵D为的中点，，∴，∴；∵，，∴，∴；由折叠的性质得，∴，∴，∴，∵∴，，∴，∵，∴是等边三角形，∴．在中，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角三角函数．5．如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则．【答案】【详解】解：如图，连接，，由勾股定理得，，∵点G为的中点，，的锐角顶点D恰好落在的斜边上，，，，，，，，，，设，则，，解得，经检验，是方程的解，，，故答案为：．押题猜想四特殊四边形的多结论问题（选择填空）1．如图，在矩形中，，于点F．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有．（填写序号）【答案】①③④【详解】解：四边形是矩形，，，，，于点，，，故①正确；，，，，，，故②错误；设，则，，，，，，，，故③正确；，，，，，，，，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．2．如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，，有以下四个结论：①；②；③；④，你认为其中正确的是．（填序号）【答案】①②④【详解】解：①正方形和正方形，∴和都是等腰直角三角形，，；①正确，符合题意；②∵和都是等腰直角三角形，，又，，②正确，符合题意；③，，；则，∵∴，则，∵，∴③错误，不符合题意；④，，，，，，，④正确，符合题意；故选：①②④．3．如图，在正方形中，点是对角线的交点，点在边上，连接，交于点，过点作，垂足为点，连接．现给出以下结论：①；②平分；③；④若，则点是的中点．其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，故①正确，符合题意；，，，故③正确，符合题意；点是上任意一点，不一定是的角平分线，故②错误，不符合题意；，，，，，，，，，，，，，，，点是的中点，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④．押题解读本考点可能会在填空题考查，难度属中等或中等偏上.一般情况下，结论以由浅入深的形式呈现，考查的知识面广，对学生的思维的深刻性由较高的要求，要学会添加常用辅助线，能构造特殊三角形或全等三角形加以解决.1．如图，点在边长为2正方形的边上（且点不与点重合），线段是线段绕着点顺时针旋转得到，连接，有下列结论：①；②；③；其中正确结论的序号是．【答案】①③【详解】解：如图，连接、，作交于，线段是线段绕着点顺时针旋转得到，，，四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，故①正确，符合题意；，，，，故③正确，符合题意；，∴当时，，故②错误，不符合题意；综上所述，正确的有①③，故答案为：①③．2．如图，在正方形中，点E为边上一点，交对角线于点G，过点G作交于点F，连接交对角线于点H，，有下列结论：①点A，B，F，G在同一个圆上；②；③；④其中，正确的结论是（填序号）．【答案】①②③【详解】解：①四边形是正方形，，，四边形的对角互补，则四边形是圆内接四边形，点A，B，F，G在同一个圆上，故①正确；②点A，B，F，G在同一个圆上，根据同弧所对的圆周角相等，得，故②正确；③如图，将以点A为旋转中心，顺时针旋转得到，，，，，，．，．，∴，设，则，根据列方程，解得，即，故③正确；④由③可得，，，，，，，，∴,，又，，，解得，故④错误．【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，证明三角形全等，三角形相似是解题的关键．3．如图，点，在菱形的对角线上，，，与的延长线交于点则对于以下结论：；；；其中正确结论的序号是只填序号

【答案】【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，在和中，，≌，，，，故正确；在和中，，≌，故正确；，，在和中，，≌，，，故正确；连接交于，如图所示：

四边形是菱形，，，，，，，，，，，故正确，故答案为：．4．为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是．【答案】②③【详解】四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，故正确；又，，，，，故正确；点不一定是的中点，不一定等于，不一定等于，故错误，，，，，，故错误，故答案为：．5．如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】①②③【详解】解：如图2中，过点D作于点E，由旋转的性质，得，∴，，∵，∴，∴，∴．同理，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴，∴四边形是矩形，∴；；故①②正确；∵，∴，∵，∴，∴；故③正确，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，故④错误，∴正确的有①②③，故答案为①②③．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．押题猜想五一次函数与反比例函数综合（解答题）1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式的解集；(3)一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或(3)或【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，∴，得，即；把代入得，，∴；把、代入中得，解得：；∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）根据函数图象可得：不等式的解集是：或；（3）设直线与轴交于点，

把代入可得：，即；，轴，垂足为，，设点坐标为，解得：或；因此，存在在点使得，点的坐标为或．2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，且，．(1)点的坐标为______；(2)求一次函数的解析式及的值；(3)直接写出当时，关于的不等式的解集．【答案】(1)(2)一次函数解析式为，(3)【详解】（1）解：在中，令，得，∴点D的坐标为，故答案为：；（2）解：，，，，，∵，，，，解得，由，可得：，解得，，，把分别代入与，即，，解得：，一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（3）解：，一次函数的图象要在反比例函数图象的上方（不包含临界点），则由图可知，x的取值范围为．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及到相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点并理清题意是解决本题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)直接写出不等式的解集；(3)点P在x轴上，求的最大值．【答案】(1)，(2)或(3)【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上，，，解得：，，∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；（2）把代入得：，∴，∴，由函数图象得，不等式的解集为：或；（3）如图，作点B关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，由对称性可知，∴，在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则，∵，∴的最大值为，∵，∴∴的最大值．押题解读该考点难度中等或中等偏上，在备考中熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的基础，其次还需要掌握一次函数的图像与性质和相似三角形，能适当的添加辅助线构造相似三角形，有时还需要将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比，分类讨论也是解决问题的关键.1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)请直接写出时，x的取值范围；(3)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为为(2)或(3)点C的坐标为或【详解】（1）将点代入反比例函数，得，，将点代入，解得，，将，点坐标代入一次函数，得，解得，一次函数的解析式为．（2）不等式的解集是：或．（3）根据，，得到，设，则，，∵，∴，解得，故点C的坐标为或．2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，

(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)请直接写出关于x的不等式的解集；(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数的表达式为：(2)或(3)【详解】（1）解：将代入双曲线，∴，∴双曲线的解析式为，将点代入，∴，∴，将代入，，解得，∴直线解析式为；（2）解：观察函数图象知，不等式的解集为：或；（3）解：设直线交轴于点，设点，

由直线的表达式知，点，则面积，解得：，即点的坐标为：．3．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数（）的图象交于点．(1)求m的值；(2)过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数（）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段的中点时，求b的值；②当时，直接写出b的取值范围．【答案】(1)(2)①②【详解】（1）把代入函数，得：．∴；（2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E．由题意，得：轴，∴点纵坐标为2，∵直线与x轴交于点D，∴点纵坐标为0，当点C是线段的中点时，则：点C的纵坐标为1，由（1）知：反比例函数的解析式为，把代入函数中，得．∴点C的坐标为，把C代入函数中得：，解得；②∵，∴点在点的上方，当时，此时点为的中点，同①法可得：点的纵坐标为，当时：，∴，∴，把代入，得：，∴，∵，∴．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点，过作轴于点，已知，．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)将线段沿直线向下平移得到线段，使得平移后的的中点恰好落在双曲线上，求线段平移的距离．【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)线段平移的距离为【详解】（1）解：∵在中，，，即，∴设，∴，即，解得，（负值舍去），∴，∴，，，把点，代入一次函数得，，解得，，∴一次函数解析式为：，把点代入反比例函数得，，解得，，∴反比例函数解析式为：；（2）解：已知，，∴线段的中点坐标为，，∴，∴，设线段沿直线方向平移个单位得到，即项右平移个单位，向下平移个单位，∴点的坐标为，∴，解得，，（舍去），∴，∴线段平移的距离为．【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，角的正切值的计算，图形的平移，掌握待定系数法求解析式，正切值的计算，平移的性质是解题的关键．押题猜想六二次函数的实际应用与图形相结合（解答题）1．如图1所示为某公司生产的型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米．(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．(2)现将型活动板房改为型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户框架，点、在上，点、在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设，且满足，当窗户框架的周长最大时，每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架成本）(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)每个型活动板房的成本是450元(3)销售单价（元）定为550元时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大，最大利润是20000元【详解】（1）解：由题意，设该抛物线的解析式为，∵长方形的长米，宽米，抛物线的最高点到的距离为4米，∴OH=AB=3，OD=OA=2，OE=EH-OH=1，∴E（0，1），D（2，0），将E（0，1），D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）解：∵M（m，0），∴N（m，），由题意，MN=FG=，GM=FN=2OM=2m，∴窗户框架的周长为2（2m+）=，∵＜0，，∴当m=1时，周长最大，最大值为5.5，此时，每个型活动板房的成本是395+5.5×10=450元．（3）解：根据题意，得：W=（==，∵-2＜0，∴当n=550时，W最大，最大值为20000，故销售单价（元）定为550元时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大，最大利润是20000元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，正确列出二次函数的解析式并熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．2．如图①是我区的某蔬菜基地的种植棚，它一定意义上带动了我区的经济发展．其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以点O为顶点的抛物线上，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的坐标系，抛物线过点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点O到地面距离为5米，记，当p最大时，求棚的跨度长．(3)在（2）的条件下，E点纵坐标为，，为了使该棚更加牢固，需要把直线向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离．【答案】(1)(2)当p最大时，棚的跨度长为8米；(3)向下平移的距离为米【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把代入中得：，解得，∴抛物线解析式为（2）解：设，则，∵点O到地面距离为5米，∴，∴，∵，∴当时，最大，∴当最大时，米；（3）解：由（2）可知，点E的坐标为，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，设直线向下平移n个单位长度与抛物线相切，∴直线与抛物线只有一个交点，联立得，∴，∴，∴向下平移的距离为米．3．火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目．如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

(1)直接写出抛物线的函数关系式；(2)在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；(3)现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求．已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？【答案】(1)抛物线的函数关系式为(2)OH的距离为米(3)当时，造价最低，最低造价为元．【详解】（1）解：，，，由图像可设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线的函数关系式为；（2）解：当时，，解得，，，，即，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，，抛物线的形状与抛物线完全相同，如图所示：

，，即在G到Q的运动过程中，求OH的距离15米；（3）解：设，则，，，，，，开口向上，当时，最短，最短为，（元，当时，造价最低，最低造价为元．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、函数求值及求二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．押题解读本考点为去年深圳卷中考中出现，难度中等偏上。这要求学生读懂题意，掌握各种几何图形的性质，求出相应点的坐标，然后解出二次函数的解析式，然后要善于将题目中的其他信息转化为数学知识进行解答。1．一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为，水杯高度为，杯口直径为且，以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．（1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为：；（2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图当倾斜角时，水面宽度为【答案】；．【详解】（）由题意可知，，，设抛物线的解析式为，将点、坐标代入得，解得，∴解析式为；（）如图，易知，设、分别与轴交于点、，在中，，∴，即，，设直线解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，令，解得，，将代入，得，∴，∴．2．（1）在等边三角形中，点分别在上，，当______时，为等边三角形．（2）如图1，在中，，求面积的最大值．（3）如图2，在一块四边形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两个区域，为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，已知基地外围栏，，点在的中点上，，两点为汇流箱接口，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域（即的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）

【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，∴当时，为等边三角形，又∵，∴，∴当时，为等边三角形，故答案为：；

（2）如图所示，过点C作交延长线于D，则，∵，∴，∴，设，则，，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为；

（3）∵，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∴是等边三角形，∴，∵为的中点，∴，，∴，如图所示，过点N作于F，设，则，∴，∴，∴，∵，∴当时，面积最大，最大为，∴，∴光伏太阳能板的占地面积的最小值为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，等边三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线通过构造直角三角形，把求面积的最大值转换成求二次函数的最大值是解题的关键．3．如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中，都在矩形的边界上．已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米．

(1)如图1，已知，设百米．①若，求的大小；②求的最大值；(2)若，点在边上，点在边上，求的取值范围．【答案】(1)①；②(2)【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，，∴，∴在中，，∵，，∴，∴，∴的大小为；②∵（当时取等号），∴，当时，，∴的最大值为．（2）如图，过点作于点，∵四边形是矩形，∴，∵四边形是矩形，∴，，在矩形中，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，取最小值，当或时，取最大值，∴的取值范围是．

【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，矩形的面积和三角形的面积，完全平方公式的应用等知识点．掌握（当时取等号）是解题的关键．4．滹沱河岸边盛开的粉黛乱子草吸引了很多市民前来观赏，如图1是其中一处美景的俯视图，漂亮的粉黛乱子草（扇形中的阴影部分）花开灿烂，已知扇形半径米，米，点P为的中点，上有一座供游人休息的亭子（矩形），点H，G分别在上，在上．(1)求粉黛乱子草的种植面积；(2)爱思考的嘉嘉想：“这个矩形亭子的占地面积能否再大一些呢？”请你通过计算回答嘉嘉的问题；(3)在点P处垂直于地面向上竖着一根高为米的柱子，在A处安装有一个自动喷水装置．水流在各个方向上沿抛物线路径落下，喷出的水流在距离的水平距离为米时达到最高点．当喷头A旋转时，整个粉黛乱子草刚好都能被喷出的水流覆盖．建立如图2的坐标系，求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式．【答案】(1)平方米(2)矩形亭子的占地面积不能再大了，见解析(3)【详解】（1）解：由题意得：扇形的周长为米，，则（米）；连接交于点Q，延长交圆O于点R，由题意得：，则，则，则，则，∵，，∴，∴，∴，∵，则，则粉黛乱子草的种植面积（平方米）；（2）解：设，则，则，则，则矩形亭子的占地面积，∵，则矩形亭子的占地面积有最大值，此时，则，∴矩形亭子的占地面积不能再大了；（3）解：设抛物线交x轴正半轴于点C，则，∵喷出的水流在距离PA的水平距离为米时达到最高点，则顶点的纵坐标为，则设抛物线的表达式为：，则，解得：，故抛物线的表达式为：．．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，涉及到一次函数的有关知识，矩形的性质，解直角三角形等，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式．5．如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．(1)求杯体所在抛物线的解析式；(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围；(3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3．①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．【答案】(1)(2)(3)①，见解析；②【详解】（1）∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．∴，，设抛物线的解析式为，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）∵抛物线的解析式为，∴平移后的解析式为．∴抛物线的对称轴为直线，，∴的对称点为，∵，∴平移后，设直线的解析式为，∴，解得；∴；设直线的解析式为，∴，解得；∴，根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，∴．（3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为M，直线与轴的交点为S，∵，杯子的高度（即，之间的距离）为．∴，，∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，∴，∵，∴，∴，∴，∴．②∵抛物线的解析式为，设点N是抛物线上的一点，且，；过点N作轴，交于点G，∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，∴，∵，∴，过点G作轴于点E，∵轴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴时，取得最大值，且最大值为，过点N作于点H，则，故的最大值为，故液体的最大深度为．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．押题猜想七圆与三角形的综合题型（解答题）1．已知：如图，在中，，E为上一点，，长为半径作．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，且，求的长．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【详解】（1）证明：如图，过点D作于F；为的切线，，，平分，，，与相切；（2）证明：在和中，，（），，为的切线，与相切，，，即；（3）解：由（2）可知，，，，，设，，，，解得：，，，，，，，，，，，．2．如图，已知D为上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且．

(1)证明：是的切线；(2)若，，①求的半径；②求的长．【答案】(1)证明见解析(2)①1；②【详解】（1）证明：如图，连接．

∵，∴，∵是的切线，是半径，∴，∴，∴，∴，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：①设，∵，∴，∴，∴，∴的半径为1；②在中，，∵是直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，，∵，∴，∴（负根已经舍去），∴．3．如图，已知以为直径的与锐角的边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接，．(1)求证：；(2)若．①求证：是的切线；②若，，求，和弧围成的阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【详解】（1）证明：，，为的直径，，，，，．（2）解：连接，①，，，，，，，为半径，是的切线．②，，∴，，∴，∴，，，是等边三角形，，∴，∴阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定，切线的判定，圆内接四边形的性质，扇形面积计算，解直角三角形等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．押题解读该考点都会是以压轴题的形式出现，难度也不会低。在备考中，熟练掌握各图形的基本性质是解题的关键。包括等腰三角形的性质，直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的运用与计算，图形相似与全等的判定与性质，圆的相关定理和性质等，需加强压轴题型的总结和归纳。1．如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F．

(1)求证：直线为的切线；(2)当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，

，，，，，，，是的半径，直线为的切线；（2）解：，，设，则，，，，，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）证明：∵是的切线，为的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如图，连接，∵为的直径，，∴，，∵半径为5∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，∴，∴，∴．3．如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，，，，，．4．如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，．(1)求证：；(2)求证：是切线；(3)连接交于点F，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）证明：以为直径的交于点，，；（2）证明：连接，如图，为直径，，为的斜边的中点，，，，，而，，，为的切线；（3）解：在中，根据勾股定理得，为中点，为中点，为的中位线，，．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求半径的长．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：为的切线，．．为的直径，．．，．．又，．．（2）连接．为的切线，．，．，．．．设，则．在中，，，．为直径，．，，．．在中，，．，．解得．．半径的长为．【点睛】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键．押题猜想八四边形的综合压轴（解答题）1．【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系．【问题初探】（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是；【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为．【答案】（1），见解析；（2）；（3）4或2【详解】解：（1）结论：．理由：如图1中，正方形的对角线，交于点，，，，，在和中，，，；（2）（1）中的结论变为，理由如下：如图2中，取的中点，连接，四边形为的菱形，，，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，故答案为：；（3）如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于．是等边三角形，，，，在中，，，由（2）可知，，．如图中，当点靠近点时，同法可得，，，综上所述，满足条件的的值为4或2．故答案为：4或2．2．问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，，(1)求证：；(2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，求的长．(3)联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．【答案】(1)见解析(2)2(3)，证明见解析【详解】（1）证明：延长到点使，连接，正方形，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）如图2，过点作交于，交于，连接，，，，，，，，，，由（1）知，，设，，，，在中，，，，，在中，根据勾股定理得，；（3），证明：如图3，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接，，，，四边形是正方形，，设，，矩形是正方形，，由（1）知，，，设，，在中，，，，，，．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本题的关键．3．如图，四边形是边长为的菱形，，点是射线上一动点（点与、不重合），交于点，连结．(1)求证：；(2)当时，①求线段的长，②求的面积；(3)设，求使得为直角三角形时的值．【答案】(1)见解析(2)①；②(3)为直角三角形时的值为或35或或【详解】（1）证明：四边形是菱形，，，在与中，，；（2）解：①如图1，连接交于点，四边形是边长为5的菱形，，，，，，，，，，，，，，解得：；②如图2，过点作于点，，，解得：，，由①得：，；（3）解：①当时，点在线段上时，如图3，过点作于点，，，，，由（1）得：，，，，，，由（2）得：，由勾股定理得：，，，，，解得：；当时，点在线段的延长线上时，连接交于点，如图4，则，由（1）得：，，与都是等腰直角三角形，，，，，，，，解得：；②当时，过点作于点，如图5，点与点重合，此时，，；③当时，过点作于点，如图6，由（1）得：，，，，，；综上所述，为直角三角形时的值为或35或或．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．押题解读深圳中考近几年将四边形的综合题型放在最后一道大题，难度系数大。解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算。1．【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点．【问题解决】（1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）：【拓展变式】（2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明；（3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积．【答案】（1）（答案不唯一）；（2）选择①，见解析；选择②，见解析；（3）【详解】解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上，，，，故答案为：（答案不唯一）；（2）选择①：垂直平分线段，，，，由折叠的性质可知，，，，由折叠性质可知，，，在中，，，；选择②：，四边形是矩形，垂直平分线段，，，由折叠的性质可知，，为等边三角形；（3）连接，由折叠的性质得，，为等边三角形，，，为的中点，，延长至点，使得，连接，在中，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，三点共线，，，，．【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及正方形，矩形，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的特征，折叠的性质，熟练掌握正方形，矩形，平行四边形的性质是解题的关键．2．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，