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第2课时空间向量长度与夹角的坐标表示

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［教材要点］

要点空间向量长度与夹角的坐标表示

设向量a=(xi，y\,zi),6=(x2，yiiZ2),

则(1)同=Vaa-；

(2)cos〈a,b}=e7=.(aWO,b^O)

Ia11b|

［基础自测］

1.已知向量a=(l,3,3),6=(5,0,1),则|0一b|等于()

A.7B.V29

C.3D.V3

2.已知空间向量a=(l,0,1),6=(1,1,〃),且“乃=3,则向量。与劝(，/0)的夹角

为()

3.已知a=(2,1,3),b=(~4,2,x),且aJ_b,则|。-6|=.

4.已知”(2,—5,1),8(2,-2,4),C(l,-4,1),则向量屈与戢的夹角为

“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川“川川"国圆陶国・|课I堂解I透I巾加加加伽加川”州"伽川加川川加川川川川肺

题型一给定坐标求长度与夹角

例1(1)长方体中，/8=44=2,/。=1,E为CG的中点，则向量竭

与丽所成角的余弦值为()

VioV30c2V15D,还

AA・-----oD.------C.--------

10101010

(2)已知△N8C的顶点分别为4(1,-1,2),5(5,-6,2),C(l,3,-1),则ZC边上

的高BD等于()

A.3B.4C.5D.6

方注归他

解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应

向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.

跟踪训练1已知向量a=(0,—1,1),6=(2,2,1),计算：

(1)|2«-*|;

(2)cos(a,h).

题型二建系求长度与夹角

例2在棱长为1的正方体中，E,F,G分别是BD,881的中

⑴求证：EF±CF；

(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值;

(3)求CE的长.

方/羽佃

通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便

写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，

把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.

跟踪训练2已知向量。=(1,—3,2),6=(—2,1,1),点/(—3,-1,4),5(—2,

-2,2).

(1)求|2。+2|；

(2)在直线Z8上，是否存在一点E,使得通JL6?(。为原点)

易错辨析忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误例3已知«=(5,3,-1),b

=(2,f,-|),若“与6的夹角为锐角，求实数f的取值范围.

解析：因为%b的夹角为锐角，所以a力>0,即10+3/+|>0,则介一H，又当夹角为

0。时,存在拉0,使〃=痴，

'2=54,

即(2,/,—|)=2(5,3,—1),所以"t=34,解得/=/

、一3=一九

综上，实数f的取值范围是(一||,沙备+8).

【易错警示】

易错原因纠错心得

空间向量a,夹角为锐角的充要条件是

由“与6的夹角为锐角，得至IJ”力＞0,但当

“ab＞0,且a,b不同向"；a,〃夹角为钝

a力＞0时，”与〃的夹角不一定为锐角，还可

角的充要条件是“”力＜0,且。,6不反向”.如

能是共线同向，夹角为0。，解题时容易忽视

果在求解过程中，忽视两个向量共线的情况,

这个条件，导致扩大了参数的范围.

就有可能扩大参数的取值范围，导致错误.

［课堂十分钟］

1.已知a=(l,0,I),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|I+2c|等于()

A.3V10B.2V10C.VTOD.5

2.若向量a=(l,九2),Z>=(—2,1,1),a,6夹角的余弦值为；，则2=()

6

A.1B.-1C.±1D.2

3.已知a=(2,—1,2),b=Q,2,1),则以a,力为邻边的平行四边形的面积为()

A.V65B.亭C.4D.8

4.若△48C的三个顶点坐标分别为4(0,0,V2),V2),C(T,0,VI),

则角A的大小为.

5.在RtZ\48C中，NC=3C=1,/8C4=90。.现将△45C沿着与平面N8C垂直的方向

平移到△481G的位置，已知/小=2,分别取48”4,的中点尸，Q.

(1)求丽的模;

(2)求cos(BQ,CB\i,cos(BA\,CB\).

第2课时空间向量长度与夹角的坐标表示

新知初探•课前预习

要点

+%段+2逐2

⑴+资+Z工(2)

同+W+*宿+犬+Z：

［基础自测］

1.解析：\a-b\=\(\,3,3)-(5,0,1)|=|(-4,3,2)|=V16+9+4=内.故选B.

答案：B

2.解析：,.,。力=1+〃=3,...〃=2,

又|a尸伉8=(1，1,2),Acos储，b)=端=最后=当

又〈。，b>G[0,7U],

；・向量•与方的夹角为三.

6

若2大于0,则向量。与AAQW0)的夹角为£

6

若见小于0,则向量〃与〃</LW0)的夹角为兀一三=斗，故选B.

66

答案：B

3.解析：由题，因为a_L6,所以“力=-8+2+3x=0,即x=2,

所以6=(—4,2,2),则。一。=(6,—1,1),

所以I"一臼=J62+(-1)2+1=事.

答案：V38

4.解析：VAB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),

A|AB|=3V2,|AC|=V2,

AB-AC=0X(-l)+3X14-3X0=3,

又：<AB,AC)e[0,n],二(AB,AC>=1

答案：三

题型探究•课堂解透

例1解析:

(1)建立坐标系如图，则4(1,0,0),£(0,2,1),5(1,2,0),C1(O,2,2).所以阿=

(-1,0,2),AE=(-1,2,1),

故cos时熊〉=热£患唔

所以向量BC1与谶所成角的余弦值为^.故选B.

(2)设前=2近，又狂=(0,4,-3).

则前=(0,42,-3A).AB=(4,-5,0),BD=(-4,4入+5,—37),

由近.丽=0,得.•.丽=(-4,py),

丽=5.故选C.

答案：(1)B(2)C

跟踪训练1解析：(1)V«=(O,-1,1),b=(2,2,1),

***2a—b=2(0,—1,1)—(2,2,1)=(—2,—4,1),

：.\la-b\=V(-2)2+(-4)2+l2=V21.

(2)：a=(0,-1,1),b=Q,2,1),

/.aZ>=(0,—1,1)(2,2,1)=—2+1=—1,

同=&,|/>|=V22+22+l2=V9=3,

・

..cos/\a,b)=-a-b-=—-1尸二—y——/2.

|a||b|3xV26

例2解析：(1)证明：以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则0(0,0,0),£(0,0,i),C(0,1,0),FQ,I，0),G(l,1,0.

所以乐=G，p

CF=(p0)，CG=(1，0,I),CE-(0,-1,i).

因为乐•序=[x；+3x(-m+(-JxO=O,所以钟_L而，即E/UCK

(2)因为品•CG=ixi+lxO+(-|)x|=p

筋力丁+比+卜小冬

西=小2+。2+似=苧,

所以cos〈EF,CG)=赢箴|=或逅=普.

22

又因为异面直线所成角的范围是(0。，90°],

所以异面直线勿'与CG所成角的余弦值为等.

(3)|侬=|函=]()2+(-1)2+(1=,.

跟踪训练2解析:(1)由已知可得2“+力=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

故|24+8尸102+-5)2+52=5V2.

(2)存在.设熊=区|由已知可得靠=(-3,-1,4),AB=(1,-1,-2),则通=位+丽

=鼐+湘=(-3,-1,4)+f(l,-1,-2)=(—3+/,-1-z,4-2f),若丽-Lb,则瓦•6

=0,所以一2(—3+/)+(—1—。+(4—2。=0,解得f=[,因此存在点E,使得近，儿且£

点坐标为(一J,—y,|).

|课堂十分钟|

1.解析：因为“-6+2c=(l,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(3,1,0)+(6,2,

0)=(9,3,0),所以|。-6+2&=3同.故选A.

答案：A

2.解析：：a=(l,九2),A=(—2,1,1),a,b夹角的余弦值为;，又“力=同网-cos(a,

b),

：.-2+2+2=Vl2+A2+22-V(-2)2+l2+l2Xi.-./l=±l.VaZ»=2>0,.,〃=1.故选

A.

答案：A

3.解析：设向量”，力的夹角为a|a|=V22+(-l)2+22=3,

|/>|=V22+22+l2=3,

于是cos=：.由此可得sin9=孚.

3x399

所以以a,b为邻边的平行四边形的面积为S