高中数学-向量的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

向量的物理背景，向量的概念教学设计

山东省泰安第三中学，张圣国

教学过程

导入新课

思路1.（情境导入）如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C

处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马

上得出结论:追不上，猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设

问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.

BAD

图1

思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的

路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定

“马”走日豫走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一

个不错的选择.

新知探究

提出问题

①在物理课中，我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还

有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用

你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？

②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量

呢？

③数量与向量的区别在哪里?

活动:教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨

论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的，物体的质

量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,

物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是

既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；

物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量.

教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科

中对这些量加以抽象，形成一种新的量.至此时机成熟，引入向量，并把

那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质

量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向

问题.

讨论结果：

①略.

②我们把既有大小，又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.

③略.

提出问题

①如何表示向量？

②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

⑤有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定

义平行向量？

⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量?

这时各向量的终点之间有什么关系？

⑦数量与向量有什么区别？

⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别？

活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.

特别是有向线段，是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段，有

向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的

区别.向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关,但有向

线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB

的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点、B为终点，我们就说线段

AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点

处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作魂.

起点要写在终点的前面.

已知魂，线段AB的长度也叫做有向线段还的长度，记作询］

有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

B（终点）

/

A（起点）

图2

知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定.

用有向线段表示向量的方法是：

1。起点是A,终点是B的有向线段，对应的向量记作:筋.

这里要提醒学生注意筋的方向是由点A指向点B,点A是向量的起

点.

2。用字母a,b,c,…表示.（一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用Z）

3。向量而（或a）的大小，就是向量而（或a）的长度（或称模），记作|而|（或

|a|）.

教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有

方向,其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小;向量的模是

正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小，像a>b就没有意义,

而|a|>|b|有意义.

讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示（ER刷用粗黑体表示）,手写用

a-来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如获、

CD.

注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.

②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素:起点、方

向、长度.

向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素，与起点无关,

只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起

点、大小和方向三个要素，起点不同,尽管大小和方向相同，也是不同的

有向线段.

图3

③长度为0的向量叫零向量,长度为I个单位长度的向量,叫单位向量.

但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向

量叫做零向量，记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位

的向量，叫做单位向量.

④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一，方向相同或相反的非零向

量叫平行向量;第二，我们规定0与任一向量平行即o〃a.综合第一、第

二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行，记作a〃b〃c.如图3.

COBA

c

图4

又如图4,a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线0平行的

直线1,在1上任取一点O,则可在1上分别作出※=a,5i=b,55=c.这

就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也

叫做共线向量.

说明:平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关

系.

⑥是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这

是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无

关）.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线

向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

⑦数量只有大小，是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量

有方向、大小双重性质，不能比较大小.

⑧力有大小、方向、作用点三个要素，而数学中的向量是由物理中的

力抽象出来的，只有大小与方向两个要素，与起点的位置无关.

反馈评价

判断正误

L向量不能比较大小，模能比较大小

2.零向量没有方向

3.所有的单位向量都相等

4.两个向量模相等，方向相同，称为相等向量，与起点位置

无关

5.物理学上的作用力与反作用力是一对共线向量

6.两向量共线，则两向量所在的直线就平行量

7.C向量A8与CD是共线向量，则A、B、C、。四点必在一条直线

上

实际应用

1已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B

地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞

行1000km到达D地.

画图表示向量

2如图，四边形ABCD为正方形，4BCE为等腰直角三角形.以图中各

点为起点和终点，写出与向量相等的向量.相反的向量

DC

课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法,

介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示，几何表示为用向量

处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍

了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念

是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好.

向量的物理背景，向量的概念学情分析

山东省泰安第三中学，张圣国

学生通过学习物理必修一，对标量，矢量已经有了了解，知道了，

有的量只有大小，没有方向。如路程，时间，温度等。有的量既有

大小也有方向。如。速度。加速度。位移等。在此基础上进一步研究

数学上的向量。从而做到相互联系，提高能力。

向量的物理背景，向量的概念效果分析

山东省泰安第三中学，张圣国

本节课学生掌握较好，完成了教学任务，达到了教学目的。

在教学过程中，以采用学生讨论让全班学生纠正等方式，更好的考察

学生掌握情况，在讲授过程中还要注意到说话语速，语言组织等讲授

技巧，应该用平缓的语气讲授,语言描述要简练易懂，不能拖泥带水。

向量的物理背景，向量的概念教材分析

山东省泰安第三中学，张圣国

本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据原有的位移、

力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等

向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的

特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子

说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.

几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.

位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理

模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向

的量.物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目

的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,

以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础.

重点难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向

量的概念,会表示向量.

教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

课时安排

1课时

向量的物理背景，向量的概念评测练习

山东省泰安第三中学，张圣国

L判断下列呼法.正确，若不正确请改正：

(1)向量而和。力是共线向量，则A、B、a。四点必在一直线上；

(2)单位向量都相等；

(3)任意一向量与它的相反向量都不想等；

(4)四边形ABCO是平行四边形当且仅当通=函；

(5)共线向量，若起点不同，则终£定不同；

2.平面直角坐标系xOy中，已知|丽|=2,则A点构成的图形是

3.四边形ABC。中，AB=-DC,\ADHBC\,则四边形ABCO的形状

是2

4.设则与£方向相同的单位向量是

5.若£、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中

点。

求证：EF//NM

6.已知飞机从甲地北偏东30的方向飞行2000批到达乙地，再从乙地

按南偏东30。的方向飞行2000hx到达丙地，再从丙地按西南方向飞行

100()正批到达丁地，问：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？

7.判断下列命题是否正确

⑴若百|=|二|则丁=E

(2)两向量相等是他们的起点相同，终点相同

(3)若AB=CD则四边形ABCD平行四边形

(4)若四边形ABCD为平行四边形，则AB=CD

(5)若m=3,33则3=三

(6)若了〃。讨〃T则丁//~c

8.判断下列说法是否正确，并说明理由.

(1)向量油与向量丽的模相等；

(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

(3)数轴是向量；

(4)零向量没有方向；

(5)若向量。与人同向，且|”|＞依，则。＞江

9.如图所示，ZiABC的三边均不相等，E,F,。分别是AC,AB,BC

的中点.

(1)写出与前共线的向量；

(2)写出与份的模大小相等的向量；

(3)写出与前相等的向量.

向量的物理背景，向量的概念课后反思

山东省泰安第三中学，张圣国

本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点,

但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,

经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法

都明了了不少，应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能

是由于一些概念性问题没有