人教版高中数学必修五学案1：不等式 章末复习与测试

章末复习与测试

知识结构

学习过程：

要点回放

1.不等式的基本性质

⑴比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有〃一»；a-b=O^a=b；

〃一/?<0=〃</?.另外，若b>0,贝哈>1=4>Z?；*=l=a=b；余10。</?.

⑵不等式的性质

①对称性：a>bob<a；

②传递性：a>b,b>cna>c；

③加法法则：a>b^a-\~c>b~\-c；

④移项法则：a+b>c^a>c—b；

⑤同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

⑥乘法法贝！J：a>b,c>O^ac>bca>b,c<O=>ac<bc；

⑦同向正数不等式可乘性：

a>b>0,c>d>a=ac>bd；

⑧乘方法则：a>b>0,

⑨开方法则：a>b>0,的.

2.不等式的解法

⑴一元一次不等式的解法

一元一次不等式cix+b>Q((#0)的解集为

①当a>0时，卜|x>一那；

②当a<0时，卜|x<一胃.

⑵一元二次不等式的一般形式为

cix2+bx+c>0,或ax1+bx+c<0(o#0).

一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系

判别式

A>0A=0A<0

一

有两不等实根修，

方程ax1-\-bx-\-c=0有两相等实根Xi=X2无实根

X2(X1<X2)

□□

二次函数y=ax-\~bx

+C(Q>0)的图象

不等式“d+bx+c〉。b

{x\x<Xi,或兀>必}｛尤冲一五｝R

3>0)的解集

不等式«x2+/?x+c<0

{x\X\<X<X2]00

3>0）的解集

3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

(1)二兀一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某一侧的平

面区域(半平面)且不含边界直线；不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域(半平面)包含边界

直线.

⑵对于直线及+8y+C=0同一侧的所有点(x,y),使得质+By+C的值的符号相同，也就

是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax+2y+C>0(或Ax+2y+C<0),而位

于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax+2y+C<0(或Ar+By+C>0).

(3)判断不等式Ar+By+C>0所表示的平面区域，可在直线Ax+By+C=0的某一侧的半平

面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax+By+C的符号的正负.当C#)

时，常选用原点(0,0);当C=0时，选用点(1,0)或(0,1).这种方法概括为“直线定边界，特殊

点定区域

4.基本不等式及常用变形

⑴对于任意实数a、b,都有/+/之2浦，当且仅当a=b时，等号成立.

⑵如果〃K),Z?>0,那么，耳当且仅当〃=Z?时，等号成立.

⑶设小匕为正实数，则有:

2/—〃+/?7+P

min{〃，。}与~~j<后一y:2__<max{tz,b}.

a

(4)若ab>09则孑+刍2.

...(〃+/7)2"2+/

(5)〃，Z?eR,都有他会4成立・

(6)〃，b,c£R,都有a2+b2+cI>ab-\-bc-\-ca.

例题讲解：

一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用

例1：解关于x的不等式ax—{a~\-l)x+1<0.

二、数形结合思想在线性规划中的应用

x+y-3>0,

例2：已知实数x,y满足<X—y+1>0,

、立2,

(1)若z=2x+y,求z的最大值和最小值;

(2)若z=d+y2,求z的最大值和最小值;

(3)若z=?求z的最大值和最小值.

三、分离参数在恒成立问题中的应用

1+2X+3X~\----\~(n-lY+rf-a

例3：设函数人x)=lg------------------—------------------，其中aGR,wGN*且论2,如果当x

d(—8,1］时，有意义，求。的取值范围.

例4：若关于龙的方程4,+。2工+。+1=0有实数解，求实数。的取值范围.

四、函数单调性在求最值中的应用

例5：已知a,b为正实数，且a+b=l,求尸(。+为+力的最小值.

例6：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如

果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为

80元/n?,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水池的长和宽，使总造价最

低，并求出最低总造价.

五、放缩法在证明不等式中的应用

例7：已知0<a<l,f+y=0,求证：loga(/+/)Wlog“2+/.

六、比较法在证明不等式中的应用

例8：如果42+62+02=1,0,b,c是实数，试证：—^ab-\-bc-\-ca<l.

课堂检测:

/+5

1.求函数,==九2+4的最小值，

卡F135991

2.求证：2*?6-W10-

3.设同<1,|Z?|<L|c|<L求证：ab-\-bc-\-ca~\-1>0.

参考答案

例题讲解：

例1：解：原不等式可化为（X—1）（亦-1）<0.

（1）当。=0时，原不等式化为一x+l<0,

所以原不等式的解集为｛x|x>l｝；

（2）当。<0时，原不等式化为（x—1）Q—：）>0,

又,<0,；.苫工或工>1,

所以原不等式的解集为尤或x>l］；

（3）当a>0时，原不等式化为（无一1）口一!）<0,

对应方程（无一1）口一：）=0的两根为1和、

①当0<。<1时，］>1,1<%<十；

②当。=1时，原不等式可化为（X—1）2<0,无解；

③当4>1时，［<1,

综上所述，当时0时，原不等式的解集为，小<5或尤>11；

当〃=0时，原不等式的解集为｛x|x>l｝；

当0<4<1时，原不等式的解集为*|14噂；

当〃=1时，原不等式的解集为0;

当a>l时，原不等式的解集为，出令<“

x+y-3>0

例2：解：不等式组上一y+GO表示的平面区域如图所示.

、后2

图中阴影部分即为可行域.

由产厂3=0,

〔%—y+l=0,

\x=\,

得c，A(1,2);

3=2,

[x=2,[x=2,

由得."(2,1)；

〔x+y—3=0,卜=1,

%=2,x—2,

由,得

X—y+l=0,)=3,

(l)：z=2x+»•'•y——2x+z,

当直线y=—2x+z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大,

Zmax=2x2+3=7.

当直线y=~2x+z经过可行域内点A(l,2)时，

直线在y轴上的截距最小，此时Z也最小，Zmin=2xl+2=4.

所以z的最大值为7,最小值为4.

⑵过原点(0,0)作直线I垂直直线尤+厂3=0,垂足为N,

则直线/的方程为y=尤，

+尸'

〔x+y—3=0,

点在线段A3上，也在可行域内.

此时可行域内点”到原点的距离最大，点N到原点的距离最小.

又OM=打,ON

即

9

所以，z的最大值为13,最小值为索

(3):MQA=2,koB=2f

所以z的最大值为2,最小值为;.

例3：解：由题意知，当工£（—8,1］时，1+2*+3*+...+（〃-恒成立（〃£N*且n>2）.

所以公一［（款+（金+…+（曰］

令ga尸—［《>+（!}+…+（一■）］,

因为函数y=—（；/（lW尽1）在（一co,1］上递增，所以g（无）在（-8,1］上递增，

所以g（x）<g（l）=-Q+|+...+^-^=-1（n-l）,所以心一米一1）即为所求.

例4：解：令2工=»0,换元后转化为一元二次方程在（0,+oo）上有实数解.求。的范围，另

外若将参数。分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用基本不等式很容易求解.

令2"=/>0,原方程化为*+〃+〃+1=0

?+1_(?~1)+22

(LD+7TT

\~\~tt~\~1

~2-|

=—0+1)+所—2卜—2也+2=2—2也.

的取值范围是a<—2\f2.

例5：解：尸G+RG+3

=ab+-j-+~+T

abab

1a+b*2

=ab+^b+^T

1(a+b)?—2ab

="+茄+标

2

=ab+~r—2.

ab

..(a+bf1

令ab=t,•.•〃+/?=1,ab<——=不

<in22

.,・/£((),a，'•'y=ab+-^—2=t+~—2

在(o,1上单调递减，・・・ymin=2+8—2=当

当且仅当ab=9,即时取“=”.

例6：解：设污水处理池的长为无m,则宽为瞪m,再设总造价为y元，则有

(1)y=2尤x400+平><2'400+248x2><拶+80x200

259200/259200

=800x+----------+16000>2A/800x-----------+16000=2x800x18+16000=44800,

当且仅当800尤=25会92产00，即无=18m时，y取得最小值.

...当污水池的长为18m,宽为*m时总造价最低，为44800元.

⑵：0小16,0<弓*16,

；.12.526,环18,

；•不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间［12.5,16］上是减

函数，从而利用单调性求得最小值.

由(1)知，y=9(x)=80()G+W)+16000(12.5W烂16).

对任意即、X2e［12.5,16］,设

则夕(尤1)—9(X2)=800(X「X2)+324(U］

800(彳］一尤2)(々尤2-324)

—尤1尤2'

：.(P(X1)><P(X2),

故>=矶劝在口2.5,16］上为减函数.

从而有贝尤)20(16)=45000,

，当污水池的长度为16m,宽为12.5m时有最低总造价，最低总造价为45000元.

例7：证明：

左边nOgad+aBWlogaQgE)

2

=logfl2+logfltz=logfl2+2（x+j）

]r\

=loga2+^X—X）

勺08。2+豆=右边

Xy

/.log«（6Z+a）＜loga2+g.

例8：证明：先证：ab+bc+ca<\

1—{ab-\-bc-\-ca）

=(a-\-b+c)—{ab-\~beared)

=][(〃2+/一2ab)+(Z?2+c2—2bc)+(c2+/—2ca)]

=%(a-bf+(b—c)2+(c-a)2]>0

X>ab-\-bc-\~caBPab-\-bc-\-ca<\.

再证：ab+bc+cd>~2-

a'+b^+c1

=ab~\~bc~\~ca-[2

—2(^2+/+d+2ab+2bc~\-2ca)=/a+Z?+c)2>0.

ab+bc+ca>BP——声〃Z?-\-bc-\-ca

综上所述，~^ab+bc+ca<1.

课堂检测：

y2_|_4-____1

L解：产后1=W^十了=

:衍+启尹W=4.

当且仅当\欠2+4=[=^^,即x=o时，取到最小值4.

3—3

因为一后