2024届陕西省西安市长安区高三上学期10月月考数学试题文（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市长安区2024届高三上学期10月月考数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选：D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，故选：B.3.若函数在处取得极小值，则（）A.4 B.2 C.-2 D.-4〖答案〗A〖解析〗由题意可得，则，解得.当时，，当或时，，则在，单调递增，当时，，则在单调递减，所以，函数在处取得极小值，此时.故选：A.4.已知函数，则（）A.2 B.4 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗令，得，所以.故选：C.5.已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减〖答案〗C〖解析〗由题意及图得，在上单调递增，在上单调递减，∴有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.6.已知甲年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗设甲､乙､丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得.若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立.若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄.故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件.故选：B.

7.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（）参考数据：，，，A.元千克 B.元千克C.元千克 D.元千克〖答案〗C〖解析〗由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克故选：C.8.已知函数，且，则（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗设，定义域为，则，故是奇函数，从而，即，即.故选：A.9.已知命题p：，；命题q：若，则，.下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，从而在上的最小值为，故命题p是假命题.由，，得，则命题q是假命题，故只有是真命题.故选：B.

10.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，，因为，所以.故选：B.11.已知函数的定义域为，，且，则（）A.0 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗C〖解析〗令，解得，然后逐项带入，解得：，故选：C.12.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，则，所以，即.设，则0，可知在上为增函数，所以，则，即.令，则，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题13.函数的定义域是__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，解得，即函数的定义域是.故〖答案〗为：14.某校有62名同学参加数学､物理､化学竞赛，若同时参加数学､物理竞赛的同学有21名.同时参加数学､化学竞赛的同学有16名，同时参加物理､化学竞赛的同学有18名.且没有同学同时参加数学､物理､化学竞赛，则该校只参加一项竞赛的同学有___________名.〖答案〗7〖解析〗如图，设该校只参加一项竞赛的同学有x名，则，解得.故〖答案〗为：15.若命题“，”是真命题，则a的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗由，得.当时，.当时，，则.因为“，”是真命题，所以.因为,当单调递减，时取最小值7，所以.故〖答案〗为：.16.已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是___________.〖答案〗〖解析〗设，则.因为，所以，则是上的增函数.不等式等价于，，即，则解得.故〖答案〗为：三、解答题17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由题意可得.当时，，则.（2）若，则，当时，，解得.∴当时，解得综上，a的取值范围是.18.已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因为，所以.因为是奇函数，所以，即，即，解得.（2）由（1）可知，易知在上单调递增且，在上单调递减，所以是上的减函数.因为，，所以在上的值域为.19.已知函数.（1）求的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数.解：（1）由题意可得，则.因为，所以所求切线方程为，即；（2）由题意可得.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.当时，，当时，，且，.当，即时，有且仅有1个零点；当，即时，有2个零点；当时，即时，有3个零点；当，即时，有2个零点；当，即时，有且仅有1个零点.综上，当或时，有且仅有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.20.某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.（1）求的〖解析〗式.（2）试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.解：（1）由题意可得，解得.当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得故.（2）设，.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.21.已知函数.（1）求的定义域；（2）证明：在区间上存在最大值的充要条件是（1）解：由得，所以的定义域为.（2）证明：，因为，所以.当时，单调递增；当时，单调递减.先证明充分性.①若，则，所以在区间上存在最大值，且最大值为；②若，则，所以在区间上存在最大值，且最大值为；所以充分性成立.再证明必要性.若在区间上存在最大值，则在区间上可能先增后减，还可能单调递减，若先增后减，则最大值为，即若单调递减，则最大值为，即，又，所以，所以必要性成立.综上，在区间上存在最大值的充要条件是.22.已知函数（1）求的单调区间；（2）若，，证明：（1）解：的定义域为，则，令得，当时，；当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由，得，则，所以，令，则，若，则当时，，而，所以对不可能恒成立，所以令函数，则，令得，当时，，当时，，所以，所以，所以，令函数，则，令得，当时，，当时，，所以，所以，即陕西省西安市长安区2024届高三上学期10月月考数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗因为命题“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选：D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，故选：B.3.若函数在处取得极小值，则（）A.4 B.2 C.-2 D.-4〖答案〗A〖解析〗由题意可得，则，解得.当时，，当或时，，则在，单调递增，当时，，则在单调递减，所以，函数在处取得极小值，此时.故选：A.4.已知函数，则（）A.2 B.4 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗令，得，所以.故选：C.5.已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减〖答案〗C〖解析〗由题意及图得，在上单调递增，在上单调递减，∴有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.6.已知甲年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗设甲､乙､丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得.若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立.若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄.故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件.故选：B.

7.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（）参考数据：，，，A.元千克 B.元千克C.元千克 D.元千克〖答案〗C〖解析〗由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克故选：C.8.已知函数，且，则（）A. B. C.1 D.4〖答案〗A〖解析〗设，定义域为，则，故是奇函数，从而，即，即.故选：A.9.已知命题p：，；命题q：若，则，.下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，从而在上的最小值为，故命题p是假命题.由，，得，则命题q是假命题，故只有是真命题.故选：B.

10.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，，因为，所以.故选：B.11.已知函数的定义域为，，且，则（）A.0 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗C〖解析〗令，解得，然后逐项带入，解得：，故选：C.12.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，则，所以，即.设，则0，可知在上为增函数，所以，则，即.令，则，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题13.函数的定义域是__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，解得，即函数的定义域是.故〖答案〗为：14.某校有62名同学参加数学､物理､化学竞赛，若同时参加数学､物理竞赛的同学有21名.同时参加数学､化学竞赛的同学有16名，同时参加物理､化学竞赛的同学有18名.且没有同学同时参加数学､物理､化学竞赛，则该校只参加一项竞赛的同学有___________名.〖答案〗7〖解析〗如图，设该校只参加一项竞赛的同学有x名，则，解得.故〖答案〗为：15.若命题“，”是真命题，则a的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗由，得.当时，.当时，，则.因为“，”是真命题，所以.因为,当单调递减，时取最小值7，所以.故〖答案〗为：.16.已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是___________.〖答案〗〖解析〗设，则.因为，所以，则是上的增函数.不等式等价于，，即，则解得.故〖答案〗为：三、解答题17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.解：（1）由题意可得.当时，，则.（2）若，则，当时，，解得.∴当时，解得综上，a的取值范围是.18.已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因为，所以.因为是奇函数，所以，即，即，解得.（2）由（1）可知，易知在上单调递增且，在上单调递减，所以是上的减函数.因为，，所以在上的值域为.19.已知函数.（1）求的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数.解：（1）由题意可得，则.因为，所以所求切线方程为，即；（2）由题意可得.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.当时，，当时，，且，.当，即时，有且仅有1个零点；当，即时，有2个零点；当时，即时，有3个零点；当，即时，有2个零点；当，即时，有且仅有1个零点.综上，当或时，有且仅有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.20.某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.（