新教材2024版高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1.1条件概率的概念学生用书北师大版选择性必修第一册

条件概率的概念[教材要点]要点一条件概率的概念一般地，设A，B为两个事务，且P(A)＞0，称P(B|A)＝________为在________发生的条件下，事务B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．状元随笔(1)0≤P(A|B)≤1；(2)几何说明：P(A|B)＝nABnB＝n(3)概率P(B|A)与P(AB)的区分与联系P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中计算B发生的概率．用古典概率公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA要点二互斥事务的条件概率假如B与C是两个互斥事务，则P(B∪C状元随笔(1)前提条件：P(A)>0.(2)P(B∪C[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若事务A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)事务A发生的条件下，事务B发生，相当于A，B同时发生.()(3)P(B|A)≠P(AB)．()2．[多选题]下列式子成立的是()A．P(A|B)＝P(B|A)B．0≤P(A|B)≤1C．P(AB)＝P(A)·P(B|A)D．P(AB|A)＝P(B)3．下面几种概率是条件概率的是()A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是254．若P(AB)＝35，P(A)＝34，则P(B|题型一利用定义求条件概率例1甲、乙两城市都位于长江下游，依据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：(1)乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；(2)甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.方法归纳1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝PAB2．在例1题中，首先结合古典概型分别求出了事务A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．跟踪训练1(1)袋子中有5个球(3个白色、2个黑色)，现每次取一个，无放回地抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，其次次抽到白球的概率为()A．35B．C．12D．(2)设某动物由诞生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．题型二缩小样本空间求条件概率例2一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求其次只也是好的的概率．方法归纳P(B|A)表示事务B在“事务A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上确定的条件，求另一事务在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事务A所含的基本领件定义为新的样本空间，明显待求事务B便缩小为事务AB，如图所示，从而P(B|A)＝nAB跟踪训练2现有6个节目打算参与竞赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，假如不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．题型三求互斥事务的条件概率例3在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，其次个球是黄球或黑球的概率.方法归纳条件概率的解题策略(1)应用概率加法公式的前提是事务互斥．(2)分解计算，代入求值：为了求比较困难事务的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简洁的事务之和，求出这些简洁事务的概率，再利用加法公式即得所求的困难事务的概率．跟踪训练3有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．易错辨析混淆条件概率P(B|A)与积事务的概率P(AB)致错例4袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取两次，求：(1)其次次才取到黄球的概率；(2)取出的两个球的其中之一是黄球时，另一个也是黄球的概率．解析：(1)设A表示“第一次取到白球”，B表示“其次次取到黄球”，C表示“其次次才取到黄球”．则P(C)＝P(AB)＝410×6(2)记D表示“其中之一是黄球”，E表示“两个都是黄球”，F表示“其中之一是黄球时，另一个也是黄球”．则P(F)＝P(E|D)＝PEDPD＝610×【易错警示】易错缘由纠错心得求解第(1)小题时易误认为P(C)＝P(B|A)＝69＝23.求解第(2)小题时易误认为P(F)＝P(E)＝610产生以上错解的缘由是不理解P(AB)与P(B|A)的含义．解题时，先要正确理解并区分条件概率与积事务的概率，P(B|A)表示在已知事务A发生的条件下，事务B发生的概率，而P(AB)表示事务A与事务B同时发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可．[课堂特殊钟]1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事务A，“其次次出现反面”为事务B，则P(B|A)等于()A．12B．C．16D．2．有一匹叫Harry的马，参与了100场赛马竞赛，赢了20场，输了80场．在这100场竞赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的竞赛中，Harry赢了15场．假如明天下雨，Harry参与赛马的赢率是()A．15B．C．34D．3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事务A＝“取到的2个数之和为偶数”，事务B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A．18B．C．25D．4．设A，B为两个事务，且P(A)＞0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，则P(B|5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮三级以上风的概率为215，既刮三级以上的风又下雨的概率为110，设A求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)．1．1条件概率的概念新知初探·课前预习要点一PABP要点二P(B|A)＋P(C|A)[基础自测]1．(1)×(2)×(3)√2．解析：A不正确，B正确，由P(B|A)＝PABPA得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，C正确，D选项应是P(AB|A)＝P(B答案：BC3．解析：由条件概率的定义知B为条件概率．答案：B4．解析：由公式得P(B|A)＝PABPA＝3答案：4题型探究·课堂解透例1解析：设A＝{甲市是雨天}，B＝{乙市是雨天}，P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则(1)P(A|B)＝PABPB＝0.120.18＝23，(2)P(B|A)＝P跟踪训练1解析：(1)记第一次取到白球为事务A，其次次取到白球为事务B，则P(B|A)＝PABPA＝3(2)依据条件概率公式知P＝0.40.8答案：(1)C(2)0.5例2解析：方法一(定义法)设Ai＝{第i只是好的}(i＝1，2)．由题意知要求出P(A2|A1)．因为P(A1)＝610＝35，P(A1A2)＝6×所以P(A2|A1)＝P（A1方法二(干脆法)因事务A1已发生(已知)，故我们只探讨事务A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝AB发生的可能数A发生的可能数跟踪训练2解析：设第1次抽到舞蹈节目为事务A，第2次抽到舞蹈节目为事务B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事务AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事务数为n(Ω)＝A6依据分步乘法计数原理n(A)＝A4于是P(A)＝nAnΩ＝20(2)因为n(AB)＝A42＝12，所以P(AB)＝nABnΩ(3)方法一由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝PABPA＝2方法二因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nABnA＝12例3解析：方法一(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事务A，“摸出其次个球为黄球”为事务B，“摸出第三个球为黑球”为事务C.则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P所以P(B|A)＝PABPA＝145÷P(C|A)＝PACPA＝130÷所以P(B∪CA＝P(B|A)＋P(C|A)＝29所以所求的条件概率为59方法二(干脆法)因为n(A)＝1×C91＝9，n(B所以P(B∪CA＝59跟踪训练3解析：设事务A为“其中一瓶是蓝色”，事务B为“另一瓶是红色”，事务C为“另一瓶是黑色”，事务D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与又P(A)＝C21CP(AB)＝C21·P(AC)＝C21C故P(D|A)＝P(B∪＝P(B|A)＋P(C|A)＝PABPA[课堂特殊钟]1．解析：由题意，P(A)＝24＝12，P(AB)＝由条件概率公