2024年高中数学专题5-5重难点题型培优精讲导数在研究函数中的应用教师版新人教A版选择性必修第二册

专题5.5导数在探讨函数中的应用1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，假如f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，假如f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③假如在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变更快慢与导数的关系

一般地，假如一个函数在某一范围内导数的确定值较大，那么在这个范围内函数值变更得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；假如一个函数在某一范围内导数的确定值较小，那么在这个范围内函数值变更得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应状况如下表所示.2．函数的极值极值的相关概念

(1)微小值点与微小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a旁边其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a旁边的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的微小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b旁边其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b旁边的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)微小值点、极大值点统称为极值点，微小值和极大值统称为极值.3．函数的最大值与最小值(1)一般地，假如在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连绵起伏的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连绵起伏且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区分

①极值是对某一点旁边(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.4．导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时，经常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时须要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最终经过检验得到实际问题的解.

②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】（2024·吉林·高三阶段练习（理））函数fx=2xA．0,3 B．3,+∞ C．52【解题思路】确定函数定义域，求出函数的导数，依据导数小于0，即可求得答案.【解答过程】由题意函数fx=2xf'x=2-5故函数fx=2x故选：D.【变式1-1】（2024·广西·高二期末（文））函数y=12A．-1,1 B．0,1 C．1,+∞【解题思路】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间.【解答过程】解：由题意，x在y=1当y'=0时，解得x当y'<0即∴单调递减区间为0,1故选：B.【变式1-2】（2024·宁夏·高二期中（文））函数f(x)=(A．(-∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2【解题思路】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式f'【解答过程】函数的导数f由f'x<0即x-2<0得即函数的单调递减区间为(-∞,故选：A.【变式1-3】（2024·云南·模拟预料（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(aA．(0,2) B．(-3,3【解题思路】求导，结合f'(x)是偶函数得到f'【解答过程】因为f(x)=又因为f'(x即3-x2-2所以f'(x)=3x所以f(x)故选：C．【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2024·江苏·高二期末）设函数fx=12ax2A．-1，C．0，+【解题思路】函数fx在1,  +∞上单调递增等价于【解答过程】由题意f'x=ax+1x≥0在1,  +故选：C．【变式2-1】（2024·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=1-xlnx+A．0,+∞ B．-∞,0 C．【解题思路】因为f(x)在1,+∞上不单调，故利用f'x在1,+∞上必有零点，利用a【解答过程】依题意f'x=-lnx+1x+a-1则z'(x)=1x+1x2，由故a=z(x故选：A.【变式2-2】（2024·全国·高三专题练习）若函数fx=x2-ax+A．3,+∞ B．-∞,3 C．【解题思路】依据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【解答过程】依题意f'x=2x-a+令gx=2x+1x1<x<e，则g'故选:B.【变式2-3】（2024·四川·高二期中（文））已知函数fx=x3+x2A．-∞,-13 B．【解题思路】由题设可得f'(x)≥【解答过程】f'因为f(x)在R上为单调递增函数，故f所以Δ=4+12a≤故选：A.【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格依据步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，留意推断使导数值为0的点是否在定义域内.假如不在定义域内，须要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.【例3】（2024·贵州·高三阶段练习（文））函数fx=xA．-43 B．1 C．-【解题思路】依据函数求微小值的过程求解：先求f'(x)=0的解【解答过程】因为fx=x令f'x=0当x∈-∞,-43故fx的单调递增区间为-∞,-4则当x=1时，fx取得微小值，且微小值为故选：C.【变式3-1】（2024·山东济南·模拟预料）若x=-4是函数fx=A．-3 B．7e-5【解题思路】依据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数微小值作答.【解答过程】函数f(x)=(因x=-4是函数fx的极值点，即f'(x)=(x2+3x-4)e即x=-4是函数fx的极值点，函数fx故选：A.【变式3-2】（2024·安徽省高三阶段练习）已知函数fx=xA．当x=1时，fx取得微小值1 B．当x=C．当x=3时，fx取得极大值33 D．当x=-【解题思路】求导可得f'(x)解析式，令f'(x【解答过程】由题意得f'令f'(x)=0，解得当x变更时，f'(xx--1-11f+0-0+f↗极大值↘微小值↗所以当x=-1当x=13故选：B.【变式3-3】（2024·陕西·高三阶段练习（文））记函数fx=sinx+cosxexx≥0的极大值从大到小依次为x1、A．e3π B．e4π C．e【解题思路】利用导数分析函数fx的单调性，求出函数fx的极大值点，利用极值的单调性可求出x2【解答过程】因为fx=sinx+cos令f'x=0可得x=nπ当x∈2k-2π,2k当x∈2k-1π,2kπ当x∈2kπ,2k+1π所以，函数fx的微小值点为x=2k所以，函数fx的极大值为f因为函数gk=1e2k因此，x2故选：C.【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【例4】（2024·宁夏·高二期中（文））函数y=xex在A．2e2 B．1e C．【解题思路】利用导数探讨函数f(【解答过程】∵y=∴y'当x∈2,4∴函数y=xe∴当x=2时，函数y=x∴函数y=xex在故选：A.【变式4-1】（2024·河南·高三阶段练习（文））函数f(x)=13A．563 B．203 C．4【解题思路】依据f(x)【解答过程】由f(x)=令f'(x当-1<x<1，f'(x)<0，f所以f(x)故选：C.【变式4-2】（2024·江西·高三阶段练习（理））已知函数fx=a-3x-axA．-∞,-1 B．12,+【解题思路】取a=0可解除AB；取a【解答过程】当a=0时，fx=且最小值为f1当a=-32时，x∈-1,1时，f'x所以最小值为f1故选：D.【变式4-3】（2024·广东·高二开学考试）若函数f(x)=lnx+1-axA．(-∞C．1e,+【解题思路】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应当包含在x＜0时的值域内，转化为a≥ln(x+1)x+1在【解答过程】当x＜0时，fx当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，由题意可得x＞0时，fx=lnx+1-ax-即ln(x+1)-即a≥ln(x+1)x+1即a≥设g(∴g当0<x<e-1当x>e-1时，∴g∴a故选：C．【题型5导数中的零点（方程根）问题】【方法点拨】利用导数探讨含参函数的零点主要有两种方法：(1)利用导数探讨函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类探讨思想解决.(2)分别参变量，即由f(x)=0分别参变量，得a=g(x)，探讨y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】（2024·河南·高三阶段练习（理））已知函数fx=lnx-A．0,+∞ B．0,e C．e【解题思路】先求函数定义域，进而转化为gx=lnx+2x，x【解答过程】fx=ln故lnx+2x=a有两个不同的根，即gx其中g'当x>1e时，g'x故gx=lnx+2x从而gx=lngx且当x>1e当0<x<1画出gx明显要想gx=lnx+2x须要满足a∈综上：实数a的取值范围是0,e故选：B.【变式5-1】（2024·四川·模拟预料（理））已知函数f(x)=1+ex(alnxA．(-∞,-e2【解题思路】依据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程lnxa-xa=lne-x-e-x有2个不同的解，构造函数【解答过程】函数f(则方程1+e方程aln设函数f(x)=所以函数f(x)在(1,+得xa=e-x，即1a=设函数g(x)=令g'(x所以函数g(x)在(1,故g(x)所以a<01a>故选：D.【变式5-2】（2024·陕西·一模（理））若函数f(x)=keA．0,6e3 B．-2【解题思路】运用分别变量法将k与x分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合简洁得到答案.【解答过程】由f(x)=0，得k=x2-3ex，设g(x)=x2-3若使得函数f(x)故选：A.【变式5-3】（2024·贵州·高三阶段练习）已知函数fx满足fx=f'x，且f0A．-∞,C．0,1e【解题思路】依据题意，构造并求出函数fx的表达式，则函数gx有两个零点转化为hx=x【解答过程】由fx=f'x，可设fx=所以fx=2e令hx=x当x<1时，h'x>0，所以函数当x>1时，h'x<0，所以函数故hx又h0=0，当x>1时，h视察图象可知a∈0,1故选：C．【题型6利用导数解（证明）不等式】【方法点拨】(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造帮助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【例6】（2024·吉林·高三阶段练习（文））已知函数fx=x(1)若a=-1，求曲线y(2)当a∈-1【解题思路】（1）利用导数求切线斜率，然后可得；（2）利用二次导数求导函数的零点，从而可得函数的最值，然后可证.【解答过程】（1）因为a=-1，所以fx=又f1=-2，所以曲线y=fx（2）f'x设函数gx=x所以gx在1因为a∈-1e,0所以gx在1e,+∞上存在唯一零点x0当x∈1e,x0时，gx<0，因此fx设函数φx=-xln所以φx在1e,1即fxmin=【变式6-1】（2024·河北·高三期中）已知a>0，函数f(1)当a=1时，求f(2)证明：fx【解题思路】（1）代入a=1，求出f'x=ex-（2）原题可转化为证明ex+lna-x【解答过程】（1）当a=1时，fx=则f'x=所以f'x在-1,+所以当x∈-1,0时，f'x故fx在-1,0上单调递减，在（2）证明：因为a>0，由ax+a>0可得x>要证aex-只需证aex-令gx=ex-x，则g'x=ex-1，所以当x∈-∞,0令hx=lnx+1-x+1，则h'x=1x+1-1=-xx+1，所以当x故ex+lna【变式6-2】（2024·北京高三阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=f(2)当a≥1时，探讨函数(3)当a≥2时，证明：【解题思路】（1）依据导数的几何意义求出切线的斜率，再依据点斜式求出切线方程；（2）求导后依据导数的符号可得函数f(（3）依据（2）中函数f(x)的单调性求出函数f【解答过程】（1）当a=1时，f(xf'(x所以曲线y=fx在点1,f（2）因为fx=ln所以f'因为a≥1，所以当0<x<1a时，所以f(x)在(0,（3）当a≥2时，由（2）知，f(x)所以f(x)令g(a)=则g'(a)=-所以g(所以f(x)max=【变式6-3】（2024·四川自贡·一模（理））设函数fx=ln(1)若b=1，求函数f(2)证明：当0<b≤1【解题思路】（1）代入b，求出f(x)，再求出f（2）设h(b)=再设s(b)=ebb(0<b≤1)，t(x)=(1-x)ex(【解答过程】（1）b=1，f(x∵g∴g(x)在∴x∈(0,1)，f'(∴f(x（2）当0<b≤1h'设s(b)=s(b)在b设t(x)=(1t(x)∴t∴s∴h'(h(∴h∴ln∴f【题型7导数中的恒成立（存在性）问题】【方法点拨】解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分别参数法解决恒（能）成立问题，依据不等式的性质将参数分别出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，干脆把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类探讨法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并推断是否满足题意，据此进行求解即可.【例7】（2024·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f((1)若a=-1(2)若fx>0对随意的x∈【解题思路】(1)证明不等式f(x)(2)对a的正负分类探讨，当a<0时，可以干脆去确定值.当a【解答过程】（1）证明：因为fx的定义域为0,+∞，所以若a=要证f(x)≥x令h(x)=lnx+1x-1，所以h'(x)=1所以h(x)（2）若fx>0对随意的即xex-令g(若a≤0，则由（1）知lnx+1x-1≥又ex>0，所以若a>0，令u(x)=x所以ux在0,+∞上单调递增，又u(0)=所以存在唯一的x0∈0,a，使得u所以gx=ax-所以g'(x)=-当x>x0时，g当x>x0时，y=e所以当x>x0时，g'(所以g(x)min=设y=xex，x∈所以y=xex在0,1综上所述，a的取值范围为-∞【变式7-1】（2024·四川高三期中）已知函数f((1)若f(x)在R(2)若对随意的x∈(0,+∞)，不等式【解题思路】（1）转化为f'x=x-me（2）代入fx并分别参数得m<-x2+x(ln【解答过程】（1）由题意得f'x=∴m≥xexmax，设解得x=1，当x<1时，h'x>0当x>1时，h'x<0，此时故hxmax=（2）f(x)>即12x2即m<-x设gx=-令g'x=0，∵明显有一根为1，当x-2-则φ'x=x-1x当x>1时，φ'x故当x=1时，φxmin故存在x1∈e-2故存在x2∈1,而当x>x2时，φx>0，且单调递增，故在x同理0<x<x1时，φx>0x1<x<x2时，故在x1<x<故g'x=0只存在3个根x当x∈0,x1时，当x∈x1,1时，当x∈1,x2时，x∈x2,+∞故gx存在两个微小值，gx1x1,xx1-2-lng==-e同理可得gx故gxmin=-【变式7-2】（2024·北京·高三阶段练习）已知函数f((1)a=3时，y=f(2)求函数的单调区间；(3)若函数对随意x∈[1,+∞)都有f【解题思路】（1）将a=3代入函数解析式，求出f1的值，再依据函数（2）求出导函数，对参数a进行分类探讨即可得到答案；（3）若函数对随意x∈[1,+∞)都有f【解答过程】（1）依据题意，当a=3时，fx=所以f'x=x-2x所以y=f(x)在点1,f(1)（2）因为函数f(x)=f'x=x-a-1x当a-1<0即a<1时，x因为f'x=所以函数f(x)当a-1>0即令f'x>0，即x2-a-1>0令f'x<0，即x2-a-1<0综上，当a<1时，函数f(x当a>1时，函数f(x)的单调增区间为（3）由（2）得，当a<1时，函数f(x所以当x∈[1,+∞)时，函数f所以f(x)可得对随意x∈[1,+∞)都有f当a>1，函数f(x)的单调增区间为所以对于x∈[1,+∞)，当a-1≤1，即1<a所以f(x)可得对随意x∈[1,+∞)都有f当a-1>1时，即a>2，此时函数f(x)所以f(x)又因为f1依据函数f(x)所以存在x0∈[1,+∞)有综上，a的取值范围为-∞【变式7-3】（2024·广东·高三阶段练习）已知f((1)若x∈0,2π，求函数(2)若对∀x1,x2【解题思路】（1）干脆求导计算即可．（2）将问题转化为fx2+ax【解答过程】（1）f令f'x=0，因为x∈0,2πx03π37π7f+0-0+f↑极大值↓微小值↑所以f(x)的单调增区间为0，3f(x)极大值为f(3（2）对∀x1,f(设g(x)=f(故g'(x方法一：（含参探讨）设hx则h0=1>0，hπh'x=2ex①当a≥eπ故，当x∈0,π4时，当x∈π4,π时，此时，h'x≥minh'0②当eπ2π≤a<eπ时，同①，当x∵h'π4∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，∃x0∈于是，当x∈0,x0时，当x∈x0,π时，∵h0=1>0，hπ=-综上，实数a的取值范围是eπ方法二：（参变分别）由对称性，不妨设0≤x则fx1-f设gx=fx+故g'x=∵g'0=1>0，∴,⇔-2a≤e设hx=exsinx+cos设φx=2x则φ'x=2-由φ'x>0，x∈0,π2由φ'x<0，x∈0,π2故x∈0,πx∈π2从而，φxcosx又x=π2时，2xcoshx=ehxmin=h于是，-2综上，实数a的取值范围是eπ【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时，首先要依据实际状况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，然后利用导数探讨，进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形态的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1【解题思路】设出长方体的宽为xm，表达出长方体的长和高，从而体积V=-6x3+9x【解答过程】设长方体的宽为xm，则长方体的长为2xm，故长方体的高为18-12x由x>02x>092设长方体的体积为V，故V=2x则V'令V'=-18x令V'=-18x故V=-6x3+9x故V=-6x3+9x此时长为2x=2m，宽为1m，高为【变式8-1】（2024·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB,AD的长分别为a厘米和b厘米，其中（1）当a=80（2）试确定a,【解题思路】（1）当a=80时，b（2）表示出体积，利用基本不等式，导数学问，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.【解答过程】解：（1）当a=80时，b=80，纸盒的底面是正