2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程综合测试题新人教A版选择性必修第一册

其次章综合测试题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－eq\f(1,2)，则|MN|＝(D)A．10 B．180C．6eq\r(3) D．6eq\r(5)[解析]由kMN＝eq\f(a－4,－2－a)＝－eq\f(1,2)，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝eq\r(－2－102＋10－42)＝6eq\r(5).2．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(C)A．外离 B．外切C．相交 D．内含[解析]将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，所以C1(－1，－4)，C2(2,2)，r1＝5，r2＝3.从而|C1C2|＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)，所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2.因此两圆的位置关系为相交．3．已知直线l经过点(2,1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为(A)A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y－3＝0 D．4x－y＝0[解析]因为直线l与直线2x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k满足：k×2＝－1，即k＝－eq\f(1,2)，又直线l经过点(2,1)，由直线方程的点斜式得y－1＝－eq\f(1,2)×(x－2)，即x＋2y－4＝0，故选A.4．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是(B)A．6eq\r(2)－2 B.8C．4eq\r(6) D.10[解析]易知点A关于x轴对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为eq\r(5＋12＋7＋12)＝10.故所求最短路程为10－2＝8.5．若三条直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0相交于同一点，则实数a＝(A)A．－12 B．－10C．10 D．12[解析]由l2：x＋y－4＝0，l3：2x－y＋1＝0，可得交点坐标为(1,3)，代入直线l1：ax＋2y＋6＝0，可得a＋6＋6＝0，所以a＝－12.故选A.6．过直线y＝2x－3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(D)A.eq\r(21) B．eq\r(19)C．2eq\r(5) D．eq\f(\r(55),5)[解析]在直线y＝2x－3上任取一点P(x，y)，过点P作圆C的切线，设切点为A.圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圆心为C(2，－3)，半径为r＝1.切线长|PA|＝eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))2－r2)＝eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))2－1)，又|PC|min＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×2＋3－3)),\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2))＝eq\f(4\r(5),5)，所以切线长的最小值为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)))2－1)＝eq\f(\r(55),5).7．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝(D)A．14 B．34C．14或45 D．34或14[解析]设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆C2的方程可化为(x－7)2＋(y－1)2＝50－a.由两圆相切得，|C1C2|＝r1＋r2或|C1C2|＝|r1－r2|，∵|C1C2|＝eq\r(42＋32)＝5，∴r2＋1＝5或|1－r2|＝5⇒r2＝4或r2＝6或r2＝－4(舍去)．因此，50－a＝16或50－a＝36⇒a＝34或a＝14，故选D.8．(2024·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(B)A．1 B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)[解析]如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(5)，所以圆心到点(0，－2)的距离为eq\r(2－02＋0＋22)＝2eq\r(2)，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sineq\f(α,2)＝eq\f(r,2\r(2))＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，所以coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),4)，所以sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4).故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线l：eq\r(3)x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(CD)A．直线l的倾斜角是eq\f(π,6)B．若直线m：x－eq\r(3)y＋1＝0，则l⊥mC．点(eq\r(3)，0)到直线l的距离是2D．过点(2eq\r(3)，2)与直线l平行的直线方程是eq\r(3)x－y－4＝0[解析]直线l：eq\r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，故直线l的倾斜角是eq\f(π,3)，故A错误；因为直线m：x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率k′＝eq\f(\r(3),3)，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；点(eq\r(3)，0)到直线l的距离d＝eq\f(|\r(3)×\r(3)－0＋1|,\r(\r(3)2＋－12))＝2，故C正确；过点(2eq\r(3)，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝eq\r(3)(x－2eq\r(3))，整理得eq\r(3)x－y－4＝0，故D正确．综上所述，正确的选项为CD.10．已知ab≠0，点M(a，b)为圆x2＋y2＝r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(AD)A．m∥l B．l⊥mC．l与圆相交 D．l与圆相离[解析]因为kMO＝eq\f(b,a)，∴直线m的方程为y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－a2－b2＝0，∵M在圆内，∴a2＋b2<r2，∴m∥l.又圆心到l距离为d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>r，∴l与圆相离．11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(ACD)A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)[解析]圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为eq\f(|5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq\f(11,\r(5))＝eq\f(11\r(5),5)>4，∴直线AB与圆相离，所以，点P到直线AB的距离的最小值为eq\f(11\r(5),5)－4<2，最大值为eq\f(11\r(5),5)＋4<10，A选项正确，B选项错误；如图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，|BM|＝eq\r(0－52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－5))2)＝eq\r(34)，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝eq\r(|BM|2－|MP|2)＝3eq\r(2)，C、D选项正确．故选ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设O为原点，点M在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上运动，则|OM|的最大值为_6__.[解析]圆心C的坐标为(3,4)，∴|OC|＝eq\r(3－02＋4－02)＝5，∴|OM|max＝5＋1＝6.13．倾斜角为eq\f(π,3)且在x轴上的截距为a的直线被圆(x＋a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a＝±1.[解析]倾斜角为eq\f(π,3)且在x轴上的截距为a的直线方程为：y＝eq\r(3)(x－a)，即eq\r(3)x－y－eq\r(3)a＝0，圆心(－a,0)到直线的距离为eq\f(|－2\r(3)a|,2)＝|eq\r(3)a|，所以3a2＋1＝4，得a＝±1.14．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，则动点P的轨迹是半径为2eq\r(2)的圆.当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是2eq\r(2).[解析]以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，因为eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(2)，两边平方并整理得：x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8.当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)推断直线l与圆C的位置关系；(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3eq\r(2)，求直线l的方程．[解析](1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝eq\r(5)，圆心C(0,1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝eq\f(|0－1＋1－m|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，因此直线l与圆C相交．(2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，又d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))，∴eq\f(|m|,\r(m2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得m＝±1，∴所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.16．(本小题满分15分)过点M(1,2)的直线l.(1)当l在两个坐标轴上的截距的确定值相等时，求直线l的方程；(2)若l与坐标轴交于A、B两点，原点O到l的距离为1时，求直线l的方程以及△AOB的面积．[解析](1)当l过原点时，设l方程为y＝kx，∴2＝k，∴l方程为y＝2x，当l不过原点时，设l方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，①a＝b时，把M(1,2)代入得eq\f(1,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝3，l方程为x＋y－3＝0；②a＝－b时，把M(1,2)代入得eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝1，a＝－1，l方程为x－y＋1＝0.综上所述，直线l的方程为：2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.(2)依题，直线l斜率存在，设其为k，设l方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，∴原点O到l的距离d＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，则k＝eq\f(3,4)，∴直线l的方程为3x－4y＋5＝0；△AOB的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(25,24).17．(本小题满分15分)已知圆C的圆心在直线2x－y＝0上，且与y轴相切于点(0,2)．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线l：x－y＋m＝0交于A，B两点，___________，求m的值．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：|AB|＝eq\r(3)；条件③：eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2).注：假如选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．[解析](1)设圆心坐标为C(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线2x－y＝0上，所以2a＝b.又圆C与y轴相切于点(0,2)，所以a＝1，b＝2，r＝|a－0|＝1，所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，r＝1，则圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.(2)假如选择条件①，因为∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝1，所以圆心C到直线l的距离d＝|CA|·cos60°＝eq\f(1,2)，则d＝eq\f(|1－2＋m|,\r(1＋1))＝eq\f(1,2)，解得m＝1±eq\f(\r(2),2).假如选择条件②，因为|AB|＝eq\r(3)，|CA|＝|CB|＝1，可知圆心C到直线l的距离d＝eq\f(1,2).则d＝eq\f(|1－2＋m|,\r(1＋1))＝eq\f(1,2)，解得m＝1±eq\f(\r(2),2).假如选择条件③，因为eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，所以|eq\o(CA,\s\up6(→))|·|eq\o(CB,\s\up6(→))|·cos∠ACB＝－eq\f(1,2)，得∠ACB＝120°，又|CA|＝|CB|＝1，所以圆心C到直线l的距离d＝|CA|·cos60°＝eq\f(1,2)，则d＝eq\f(|1－2＋m|,\r(1＋1))＝eq\f(1,2)，解得m＝1±eq\f(\r(2),2).18．(本小题满分17分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处动身，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设持续时间为t，则t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)，即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5h.19．(本小题满分17分)已知点P(2,1)是圆O：x2＋y2＝8内一点，直线l：y＝kx－4.(1)若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分，求弦AB所在直线的方程；(2)若过点P(2,1)作圆O的两条相互垂直的弦EF，GH，求四边形EGFH面积的最大值；(3)若k＝eq\f(1,2)，Q是l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D.证明：直线CD过定点．[解析](1)由题意知AB⊥OP，∴kAB·kOP＝－1，∵kOP＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2，∴弦AB所在直线的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.(2)设点O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OP|2＝5，|EF|＝2eq\r(r2－d\o\al(2,1))＝2eq\r(8－d\o\al(2,1))，|GH|＝2eq\r(r2－d\o\al(2,2))＝2eq\r(8－d\o\al(2,2)).∴S四边形EGFH＝eq\f(1,2)|EF|·|GH|