离散型随机变量的分布列高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第三章概率§2离散型随机变量及其分布列湘教版选择性必修二1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习，培养数学抽象的素养．2.借助分布列的求法，培养数学运算的素养.素养要求课标要求知识回顾必然事件随机事件不可能事件互斥事件对立事件古典概型几何概型什么是随机试验？试验可能出现的所有结果是明确可知道的，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果的试验叫做随机试验．（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？（3）投掷一枚硬币，可能出现的结果有几种？能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化。若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量就叫做随机变量，常用X、Y、x、h来表示。x:[ksi]克赛h:[i:te]艾特例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个，则其中所含白球的个数x就是一个随机变量，求x的取值范围，并说明x的不同取值所表示的事件。解：x的取值范围是{0，1，2，3}，其中{x=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”；{x=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”；{x=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”；{x=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；1、判断下列各个变量是否是随机变量，如果是,写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自所表示的随机试验的结果：（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数x；（2）某城市1天之中发生的火警次数X；（3）体积为27cm3的正方体的棱长；（4）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度x．思考：前2个随机变量与最后一个有什么区别？1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。1.

下列随机变量中，哪些是离散型随机变量？写出离散型随机变量的取值范围.

(1)从某同学的家到学校有5个红绿灯路口，路上遇到绿灯的次数ξ;

(2)某同学可能出生的月份ξ;(3)投神两颗骰子，朝上的点数之和ξ;

(4)某品牌电灯的寿命ξ(以小时为单位).2.

甲、乙两队进行足球比赛，胜方得3分，负方得0分，平局各得

1分，试写出比赛结束后甲队可能的胜负结果及对应的分值ξ.情景导入随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？2.函数的概念复习回顾一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？探究新知引例：（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？（3）投掷一枚硬币，可能出现的结果有几种？像这种可重复进行，且试验可能出现的所有结果是明确可知道的，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果的试验叫做随机试验．1，2，3，4，5，60分，1分，2分正面向上，反面向上？？？思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？【抽象概括】

探究点1随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示.x:[ksi]克赛h:[i:te]一特

按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量与函数有类似的地方吗？思考

随机变量是试验结果与实数的一种对应关系，而函数是实数与实数的一种对应关系！

试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值结果相当于函数的值域。

应用新知：例1：已知在10件产品中有2件不合格品.试验E：从这10件产品中任取3件,观察不合格品的件数.（1）写出该随机现象可能出现的结果；（2）试用随机变量来描述上述结果.解(1)依题意知这10件产品中有2件不合格品，8件合格品.因此，从10件产晶中任取3件，所有可能出现的结果是:“没有不合格品”“恰有1件不合格品"“恰有2件不合格品”.(2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数，则X所有可能的取值为0，1，2，对应着任取3件产品所有可能的结果.即{X=0}表示“没有不合格品”；{X=l}表示“恰有1件不合格品”；{X=2}表示“恰有2件不合格品”.例2：连续抛掷一枚均匀的硬币2次，用X表示这2次抛掷中出现正面的次数，则X是一个随机变量.分别说明下列集合所代表的随机事件：(1){X=0}；(2){X=l}；(3){X≤1}；(4){X>0}.应用新知：解(1){X=O}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件，即2次都是出现反面.所以{X=0}表示“2次都是出现反面”.(2){X=1}表示“恰有1次出现正面”.(3){X1}表示“至多1次出现正面(4){X>0}表示“至少1次岀现正面”.随机变量的特点变式训练：判断下列各个变量是否是随机变量，如果是,写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自所表示的随机试验的结果：（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数x

；（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；（3）某城市1天之中发生的火警次数X；（4）某品牌的电灯泡的寿命X；（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度x．（x=1、2、3、···、10）（Y=2、3、···、12）（X=0、1、2、3、···）[0，+∞)[0.5，30]？？？思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？二、随机变量的分类：1、如果随机变量的所有取值可以一一列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）2、如果随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。（如灯泡的寿命，树木的高度等等）注意：（1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量；（2）变量离散与否与变量的选取有关；比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量1.下列随机变量中，是离散型随机变量的是()A．某宾馆每天入住的旅客数量XB．广州某水文站观测到一天中珠江的水位XC．深圳欢乐谷一日接待游客的数量XD．虎门大桥一天经过的车辆数XACD【即时练习】解ACD中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B中随机变量X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．i126543知道了上述两点,抛掷一枚均匀的骰子掷出点数的规律也就弄明白了.我们也常将上式列成表：问题2：用X表示抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数,则X是一个随机变量，它的可能取值为1,2,…,6；由于掷出各点数的概率相等，因而事件｛X=i｝(i=1,2,・・・，6)发生的概率为，记作探究点2离散型随机变量的分布列①【抽象概括】

探究点3离散型随机变量的分布列表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列。取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.若离散型随机变量X的取值为x1，x2…，xn,…，随机变量X取xi的概率为，记作①式也可以列成表，如表如果随机变量X的分布列为表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列,记作：X的分布列：①1、分布列的构成：1）列出了离散型随机变量X的所有取值；2）求出了X的每一个取值的概率；2、分布列的性质:随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律:了解了随机变量X的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率解

用随机变量X表示每次罚球所得的分值.根据题意,X的可能取值为1,0,且取这两个值的概率分别为0.7,0.3,因此所求的分布列如表：例3：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的分布列.应用新知：像上面这样的分布列称为两点分布列。

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。

方法总结两点分布的四个特点

（1）两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；

（2）两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；

（4）在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，那么就可以利用两点分布来研究它．【抽象概括】

若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功〃和“失败，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1-p，则称这样的试验为伯努利试验.如果随机变量X的分布列如表：其中0<p<1，q=1-p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布（又称0-1分布或伯努利分布）.3.两点分布应用新知：例4：连续抛掷一枚均匀的骰子两次，用X表示掷出的点数之和，试求X的分布列.解：我们用（i,j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数.例如：（3,4）表示第一次掷出的点数为3,第二次掷岀的点数为4.于是,连续抛掷一枚

均匀的骰子两次，共有36种结果，结果如表6-6：二、离散型随机变量的分布列

例5：一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列.应用新知：

定值

求概率

列表三、离散型随机变量分布列的性质例6设随机变量X的分布列为求实数a的值.

方法总结利用离散型随机变量分布列的性质：（1）可以求随机变量取值的概率；（2）可以检验所求分布列是否正确．例7设离散型随机变量ξ的分布列为求:(1)2ξ+1的分布列;(2)|ξ-1|的分布列。四、求两个相关离散型随机变量的分布列

固学案P89T5，88.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ=|a-b|,则P(|ξ-1|=1)=().5.设随机变量X的概率分布列为(n=1,2,3,4),其中a为常数,则=

.11.一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球,其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分,以得分高获胜.比赛规则如下:①只能一个人摸球;②摸出的球不放回;③摸球的人先从袋中摸出1球;若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球;若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出3个球,他的得分为两次摸出的球的记分之和;④剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和.(1)若甲第一次摸出了绿色球,求甲的得分不低于乙的得分的概率;(2)如果乙先摸出了红色球,求乙得分ξ的分布列.固学案P90T11解析

由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是2，3，…，7，故选B．1.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5BC2.若随机变量X的分布列为则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[1，2]C．(1，2]D．(1，2)解析

由随机变量X的分布列知：