江苏省苏州市张家港市2025届九上数学期末监测试题含解析

江苏省苏州市张家港市2025届九上数学期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，△ABC中，点D为边BC的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（）A．若m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD B．若m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABDC．若m＜1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD D．若m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD2．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③3．将抛物线y=2(x－7)2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移中正确的是()A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向左平移7个单位D．向右平移7个单位4．如图，抛物线的开口向上，与轴交点的横坐标分别为和3，则下列说法错误的是（）A．对称轴是直线 B．方程的解是，C．当时， D．当，随的增大而增大5．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为()A． B． C． D．6．已知⊙O的半径为3cm，线段OA=5cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．A点在⊙O外 B．A点在⊙O上 C．A点在⊙O内 D．不能确定7．下列事件是必然事件的是（）A．若是的黄金分割点，则B．若有意义，则C．若，则D．抛掷一枚骰子，奇数点向上的概率是8．先将抛物线关于轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A． B． C． D．9．下列说法正确的是()A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等10．某单行道路的路口，只能直行或右转，任意一辆车通过路口时直行或右转的概率相同.有3辆车通过路口.恰好有2辆车直行的概率是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知∠A＝60°，则tanA＝_____．12．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为，则m＝__．13．将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位后的解析式为_____．14．已知，若是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________．15．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．16．抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线_____．17．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．18．已知二次函数（），与的部分对应值如下表所示：-10123461-2-3-2下面有四个论断：①抛物线（）的顶点为；②；③关于的方程的解为，；④当时，的值为正，其中正确的有_______.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长．20．（6分）在图1的6×6的网格中，已知格点△ABC（顶点A、B、C都在格各点上）（1）在图1中，画出与△ABC面积相等的格点△ABD（不与△ABC全等），画出一种即可；（2）在图2中，画出与△ABC相似的格点△A′B′C′（不与ABC全等），且两个三角形的对应边分别互相垂直，画出一种即可．21．（6分）某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调查发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？22．（8分）（1）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°（2）解方程：23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．24．（8分）如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接.（1）求反比例函数的表达式；（2）若四边形的面积是，求点的坐标.26．（10分）如图，在中，点，分别在，上，，，.求四边形的面积.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据相似三角形的判定与性质，得出，，从而建立等式关系，得出，然后再逐一分析四个选项，即可得出正确答案.【详解】解：∵EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC=n，​∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴，∴∴当m=1，n=1，即当E为AB中点，D为BC中点时，，A.当m＞1，n＞1时，S△AEF与S△ABD同时增大，则或，即2或2＞，故A错误；B.当m＞1，n＜1，S△AEF增大而S△ABD减小，则，即2，故B错误；C.m＜1，n＜1，S△AEF与S△ABD同时减小，则或，即2或2＜，故C错误；D.m＜1，n＞1，S△AEF减小而S△ABD增大，则，即2＜，故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.2、B【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断．

②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．

③正确．设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断．

④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，

∴∠DCB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DCB=120°，

∵EC平分∠DCB，

∴∠ECB=∠DCB=60°，

∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，

∴△ECB是等边三角形，

∴EB=BC，

∵AB=2BC，

∴EA=EB=EC，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，EA=EB，

∴OE∥BC，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

∴EO⊥AC，故①正确，

∵OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，

∴，

∴OF=OB，

∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误，

设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=a，OD=OB=a，

∴BD=a，

∴AC：BD=a：a=：7，故③正确，

∵OF=OB=a，

∴BF=a，

∴BF2=a2，OF•DF=a•a2，

∴BF2=OF•DF，故④正确，

故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．3、C【解析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】依题意可知,原抛物线顶点坐标为（7,3）,平移后抛物线顶点坐标为（0，t）(t为常数),则原抛物线向左平移7个单位即可.故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．4、D【解析】由图象与x轴的交点坐标即可判定下列说法是否正确．【详解】解：∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为-1、3，

∴对称轴是直线x==1，方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3，故A、B正确；

∵当-1＜x＜3时，抛物线在x轴的下面，

∴y＜0，故C正确，

∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，

∴当x＜1，y随x的增大而减小，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查抛物线和x轴的交点坐标问题，解题的关键是正确的识别图象．5、C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【详解】解：在Rt△ABC中，

∵AC=3，BC=4，

∴AB==1．

过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AE的中点，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=1，

∴CM=，

在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，

解得：AM=，

∴AE=2AM=．

故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【详解】解：∵5＞3∴A点在⊙O外故选A.【点睛】本题考查点与圆的位置关系.7、D【分析】根据必然事件是肯定会发生的事件，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、若是的黄金分割点，则；则A为不可能事件；B、若有意义，则；则B为随机事件；C、若，则，则C为不可能事件；D、抛掷一枚骰子，奇数点向上的概率是；则D为必然事件；故选：D.【点睛】本题考查了必然事件的定义，解题的关键是熟练掌握定义.8、C【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于轴对称的特点得出答案．【详解】根据二次函数关于轴对称的特点：两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线关于轴对称的新抛物线的解析式为故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数关于轴对称的特点，熟知两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键.9、A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【详解】等弧所对的圆心角相等，A正确；平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选A.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系10、B【分析】用表示直行、表示右转，画出树状图表示出所有的种等可能的结果，其中恰好有辆车直行占种，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：若用表示直行、表示右转，则画树状图如下：∵共有种等可能的结果，其中恰好有辆车直行占种∴（恰好辆车直行）．故选：B【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率等于所求情况数与总情况数之比．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12、1【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．【详解】解：由题意得，解得m＝1，经检验m＝1是原分式方程的根，故答案为1．【点睛】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．13、y＝x2﹣1．【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.【详解】∵y=x2+2x=(x+1)2-1，∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，∵将抛物线y＝x2+2x向右平移1个单位得到新的抛物线，∴新抛物线的顶点为(0，-1)，∴新抛物线的解析式为y=x2-1，故答案为：y=x2-1．【点睛】本题考查了抛物线的平移，得到原抛物线与新抛物线的顶点坐标是解题的关键.14、6【解析】根据得到a-b=1，由是一元二次方程的两个实数根结合完全平方公式得到，根据根与系数关系得到关于k的方程即可求解.【详解】∵，故a-b=1∵是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=-5，ab=k，∴=1即25-4k=1,解得k=6，故填：6.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知因式分解、根与系数的关系运用.15、【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）==.16、x＝1．【分析】用对称轴公式直接求解.【详解】抛物线y＝x1﹣4x的对称轴为直线x＝=﹣＝1．故答案为x＝1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式x＝是本题的解题关键.．17、x＞【详解】解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c中，得：，解得：，那么二次函数的解析式是：，函数的对称轴是：，因而当y随x的增大而增大时，x的取值范围是：．故答案为．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．18、①③④【分析】根据表格，即可判断出抛物线的对称轴，从而得到顶点坐标，即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据表格中函数值为-2时，对应的x的值，即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④．【详解】解：①根据表格可知：抛物线（）的对称轴为x=2，∴抛物线（）的顶点为，故①正确；②根据抛物线的对称性可知：当x=4和x=0时，对应的函数值相同，∴m=1，故②错误；③由表格可知：对于二次函数，当y=-2时，对应的x的值为1或3∴关于的方程的解为，，故③正确；④由表格可知：当x＜2时，y随x的增大而减小∵，抛物线过（0,1）∴当时，＞1＞0∴当时，的值为正，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的对称性、顶点坐标与最值、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数的增减性是解决此题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）BE的长是【分析】（1）连接OC，根据条件先证明OC∥AD，然后证出OC⊥CD即可；（2）先利用勾股定理求出AE的长，再根据条件证明△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例求出OC的长，再根据BE=AE﹣2OC计算即可．【详解】（1）连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线．（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==15，∵OC∥AD，∴△ECO∽△EDA，∴∴解得：OC=，∴BE=AE﹣2OC=15﹣2×=，答：BE的长是．20、（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用等底同高作三角形ABD；（2）利用相似比为2画△A1B1C1．【详解】解：（1）如图1，△ABD为所作；（2）如图2，△A1B1C1为所作．【点睛】本题考查了作图−−相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了全等三角形的性质．21、（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题（2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即可．【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，则有，解得故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意总利润化简得∵∴当时，取得最大值为1307，故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22、（1）0；（2），【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）对原方程变形后利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°（2）或解得：，【点睛】本题考查特殊角的三角函数值混合运算和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值和熟练掌握因式分解法解一元二次方程．23、（1）y＝x2﹣2x﹣3，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P（1+，﹣）；（3）故S有最大值为，此时点P（，﹣）．【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；（2）四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得到直线BC的表达式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），再根据ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP即可求解．【详解】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+c，再将点C（0，﹣3）代入得到c=-3，,∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，理由：如图1，四边形POP′C为菱形