平面向量的数量积（精练）

6.2.2平面向量的数量积（精练）

【题组一向量的数量积】

1.（2020•天水市第一中学高一期末）已知等边..ABC的边长为2,若BC=3BE，AO=£>C，则BDAE

等于（）

1010

A.—B.----C.2D.—2

33

【答案】D

【解析】等边△4比1的边长为2,BC=3BE，AD^DC'

二BD=-(BA+BC],AE=AB+BE=AB+-BC=-BC-BA,

2V'33

Qg(…心*=仁BC

=—xf—x4—4——x2x2x—j,——2.故选：D.

2(332

UIWUUU

2.（2020•陕西渭南市•高一期末）在4A5。中,O为线段BC的中点，AO=1，BC=3,则AB.AC

()

15

A.—B.---C.3D.4

34

【答案】B

【解析】•在八A6c中，。为线段的中点

-1

AD=-(AB+AC\11

2、/，可得A8=AO--8C,AC=AD+-BC,

BC=AC-AB/2”2

uunuum(uumiuim\Uim1UUl\uu«i2iuun25

ABAC^\AD——BCAD+-BC=AD—BC=—.故选：B.

I2)2J44

3.（2020•湖南益阳市•高一期末）在AABC中，AB=2立,AC=而,G为ABC的重心，则

AG•BC=

【答案】6

【解析】如图，点。是BC的中点,

221/--\1/-\

G为，A6C的重心，「.AG=qAZ)=3X5(AB+AC)=q(AB+AC),BC=AC-AB»

所以AG.8C=g(AB+AC)・(AC-AB)=g(Ac2—A8]

故答案为：6

4.（2020•黑龙江大庆市•大庆一中高一期末）如图，在工ABC中，。是的中点，E,尸是AO上

ULUULU

的两个三等分点&bC4=5，BF-CF=-2>则8ECE的值是

【答案】-

-2-2-2-2

【解析】因为C4=(-BC-AD)C--BC-Aiy)=4AD~BC=兆阳-BC=5，

2244

11114FD-BC

BFCF=Q—BC——A£»-(——BC——AD)=------------------=—2,

23234

27223

因此=-,BC=—,

82

2222

114£n-BC16FD-BC_5

BECE=(-BC-ED)(——BC—ED)=------------------

2244"8,

故答案为：一.

8

5.（2020•四川内江市）在等腰RrABC中，斜边BC=J5，AB=c^BC=a，CA=b，那么

ab+b-c+c-a=•

【答案】-2

【解析】由题可知在等腰RjABC中，斜边BC=J5,\AB=AC=1,A=g,B=C=g

6.（2020•北京101中学高一期末）如图，在矩形A8CD中，AB=0，BC=2,点《为的中点,

点尸在边CD上，若AB-AF=亚，则尸的值是______.

【答案】V2

【解析】VAF=AD+DF>

ABAF=AB-^AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=s/2\DF\=yf2,

.•.|DF|=1,|CF|=X/2-1,

AEBF=^AB+BE^BC+CF)=ABCF+BEBC

故答案为：夜.

7.（2020♦陕西咸阳市♦高一期末）己知两个单位向量”，b的夹角为120°，c=必+(，-1)人.若a•6=1,

则实数f=

【答案】1

【解析】两个单位向量。，。的夹角为120。,

]_

=1x1x

2

又C="/+«-1)匕，a»c=\,

.1

ci»[tci+(f—1)Z?]—tci~+(，一\)ci»b—t—(/—1)=1,

2

解得f=l.

故答案为：L

；满足4H=311

8.（2020•长沙县实验中学高一期末）已知非零向量力，COS〈M，，〉=1,若

tm+n,则实数/的值为

【答案】-4

【解析】非零向量7，；；满足4卜卜—>

3m+

n,COS。”'±tn,

->2

几・tm+n-tin-n+n=t\m^n\cos<m,n>+\n\

=彳7*23|f〃|2+|〃T|2=0,解得f=y,故答案为：_4

34

【题组二向量的夹角】

1.（2020•山东临沂市•高一期末）已知非零向量q,b，若|a|=0|切，且。，9一2匕），则a与。的

夹角为（)

冗K3兀

AA.-B..D.—

644

【答案】B

【解析】因为〃_L（〃一2b）,所以4•（4-2/7）=同2-2。2=同2-2同忖85（。1）0,

因为|a|=0g|，所以cos(a,h)=\!h=#|=¥，(a力)«0"].小/)=/.故选：11

-TT

2.(2020•镇原中学高一期末)已知a,b,c为单位向量，且满足3a+劝+7C=O,a与〃的夹角为

则实数2=.

【答案】2=—8或2=5

【解析】由3a+\+7c=0,可得7c=—(3a+4)，则49c2=9疝++64a».

由a,bc为单位向量，a=b~=c=11则49=9+4~+64。05彳，即几？+32—40=0，

解得a=—8或4=5.

3.(2020•浙江温州市•高一期末)已知平面向a,b,c,满足忖=2,忖=G,忖=1,且(a—c)•仅—c)=5,

a—b与a+8夹角余弦值的最小值等于.

【答案】叵

15

【解析】平面向a,A,c,满足卜|=2,忖=J5，H=1,则J=4"=3,)=’[=1

因为(a-c>仅-c)=5

展开化简可得a6-c(a+b)+c2=5,

因为/=1,代入化简可得a•。-c(a+0)=4

设(;与a+人的夹角为，,eq。,司

则由上式可得a•匕-卜,a+,，cose=4

而k+Z?|=J(a+Z?)=\]a~+2a-b+b~=yjl+2a-b

ci,b—4

代入上式化简可得cos0=/

y]：+2a,b

令机=a6设♦与5的夹角为a,aw[0,司，则由平面向量数量积定义可得

m-a-bcosa=26cosa,而一1<cosaW1

所以—264加《26

a-b-4m-4

由余弦函数的值域可得|cosqW1,即|cose\=<1

\I1+2a-by/l4-2m

将不等式化简可得加2_1（）机+940,解不等式可得14加W9

综上可得14〃242百，^l<a-b<2y/3

而由平面向量数量积的运算可知，设£—彼与a+b夹角为4,

(4一方>(4+6)_“2—方2

则COSP-

,一斗卜+可yjl-2a-b•,7+24乃

1

,49—4(a")2

当分母越大时，COS夕的值越小；当的值越小时,分母的值越大

所以当a电=1时，cos夕的值最小

c1V5

代入可得cosp=/=—

,49—4x1213

所以a-b与a+b夹角余弦值的最小值等于

15

故答案为：@

15

4.（2020•延安市第一中学高一月考）已知向量a*满足忖=2,忖=1,3+20=卜—耳.

（1）求a在上的投影;

（2）求£与:一2%夹角的余弦值.

【答案】（1）--；（2）巫

24

22

【解析】（1）|n+2/>|=|/7-A»|=>(a+2b)-(a-b)=>a+4a-b+4b=a—2ab+b

6a-b=-3b',:.ab=-^,设〃和〃的夹角为6,

W为小2号总

（2）设q与a一26夹角为口，

a\a-2b\a-2ab4+1Vw

|a|-|a-2/?||fl|.yja"-4a-b+4b"2x.4+2+44

5.（2020•北京顺义区•高一期末）已知平面向量a，8，同=2,网=1,且a与6的夹角为三.

⑴求a.0；

（2）求k+2司；

（3）若a+2b与2a+肪（XGR）垂直，求4的值.

【答案】（1）1；（2）273;（3）-4.

【解析】（1）ab=|iz|-|/?|cosJ|-=2x^=1；

（2）p/+2/?|=（a+28）=a2+4a-b+4b-=4+4+4=12,|n+2/?|=2\/3；

（3）;（a+〃）-L（22+劝），.•.（&+2。）«22+%）=0,

即2a2+（4+/l）a力+2劝2=8+（4+/l）+2/l=12+3/l=0,解得：A=-4.

6.（2020•南昌市•江西师大附中高一月考）已知向量a,〃满足|。|=|勿=1,

\ka+b\-y/3\a-kb\（k>0,kER）

（1）若a//，求实数Z的值；

（2）求向量a与〃夹角的最大值.

【答案】（1）2±V3；（2）y.

【解析】（1）因为a/〃，左〉0,所以。为=仁也>0,则〃与各同向.

4k

因为|a|二|人|=1，所以a.Z?=1，

k~4-]1—

即=整理得二一4左+1=0,解得上=2±百，

4k

所以当女=2±>/3时，a!lb-

（2）设〃力的夹角为。，

八a-b,八］/n1\（r1V1

\a\\b\4k4（k）4［（j

当4=力，即左=1时，cos。取最小值g，

71

又0K6W万，所以。=一，

3

即向量£与/，夹角的最大值为2.

7.（2020•全国高一专题练习）已知向量q,02,且同=同=1,q与02的夹角为不加=丸4+02，

n=3e「2e2.

（1）求证：（2^-^2）1e2；

（2）若同=卜］,求4的值;

（3）若机_L”,求；I的值；

1T

（4）若山与〃的夹角为求;I的值.

【答案】（1）见解析（2）4=2或4=一3.（3）Z=-（4）2=2

4

【解析】（1）证明：因为同=同=1,q与02的夹角为

n-|212?

所以^2et-e2j-e2=2e,e2-e2=2同回=2xlxlx——1=0,

cos§_p22

所以（26—02）上《2・

2

（2）由时=|n|得（田+e2j=（3q-2e2）\即（3一9）e,+（22+12鸠《—3e2?=0.

因为同=同=八卜|，02）=。,

”22-2117rl

所以q=%—I»,e2=IxIxcos-»

所以（；P—9）xl+（2/l+l2）x；-3xl=0,

即/^+4―6=0.所以4=2或4=一3.

_

(3)由加_L〃知根.几=0，HP(Ae,+2e2j=0,即32e：+(3一2%鸠•/一26~=0・

因为同=同=1,卜，162)=。，所以弓2=,2=],q仁=]xlxcos(=g,

所以34+(3—24)xg—2=0.所以4二;.

(4)由前面解答知q=e2—1»q,4=5，卜|=1.

而|/71|-=(4q+，2=4-eJ+2Xq♦4+4~=彳2+X+1，

所以网=

-./▲一-\/\-2--—~-2iI

/%•〃=(+G),(3q—2^J=34q+(3—24)q•e2—2e?—3A+(3—2A)x—-2=2A——

因为(九〃)=q,

irr1rirr

由m­n=m\lMcos&»得2X」=J%+)+i.gL,

22

化简得3储一54—2=0,

所以4=2或4=-g.

经检验知4=-g不成立，故；1=2.

【题组三向量的投影】

1.（2021•江西上饶市）若向量a与6满足3+b）_La,且同=1,忖=2,则向量.在b方向上的投影

为（）

A.由B.--C.-1D.3

23

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要条件有：（。+〃）/=。2+。力=0,，〃）=一1，

a-b1

则向量。在〃方向上的投影为皿一］,故选B.

2.（2020•沈阳市第一七。中学高一期末）已知向量a，b，其中小1,卜―2。|=4,卜+2。|=2,则。

在。方向上的投影为（）

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】c

【解析】由题意，向量a，b，其中W=l,W一20=4,卜+2目=2,

可得(。一2〃)=|«|+4"-4a/=1+4忖-^a-b-16....(1)

(a+2b)=p/|+4||+4-a-b-1+4|/?|+4a-h=4...(2)

联立(1)(2)解得W=3，a.b=y,

a-bi

所以a在〃方向上的投影为下厂=一1.故选：C.

3.(2020•长沙市•湖南师大附中高一月考)己知向量a,b满足同=1,|可=3,且日在方向上的投影

与Z,在a方向上的投影相等，则,一可等于()

A.VioB.V5C.4D.5

【答案】A

【解析】设两个向量的夹角为。，则|a|cose=Wcos。，从而cos6=0，

因为6e[0,句，故8=',所以卜叫=6+/=回•故选：A.

4.(2020•眉山市彭山区第一中学高一期中)已知忖=1,"=2,(凡。)=60。，则〃+/,在a上的投影是

()

A.1B.C.2D.—

77

【答案】C

【解析】因为忖=1,W=2,(a,-)=60。,所以a3=WWcos<a,>>=lx2xcos60°=l

a-^bya

(a+=a+b-a=l2+1=2所以£+办在々上的投影—J—=2故选:C

rl

5(2020•陕西渭南市.高一期末)已知|a|=G,忖=3,卜+4=3上，则向量a在向量方方向的投影

()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【解析】由题意，向量,卜百，什=3,卜+q=3a,

可得H+0=〃+〃+2Q・Z?=3+9+2Q,Z?=18,解得Q.B=3，

a-b31

所以向量a在向量b方向的投影下「=£=1.故选：A.

\b\3

6.（2020•四川绵阳市♦高一期末）在中，A8.AC=0，点〃为沅的中点，且I241=1A3I，则

向量B4在向量3c上的投影为（）

A.舸B.一今叫C.-辆D.洒

【答案】D

【解析】根据题意，ABLAC,乂点P为BC中点、,故可得PC=PB=Q4=AB,

如「所示：

故三角形P45为等边三角形，故可得N8=60°,

不妨设B4=a,故可得3C=2a，

2a2xX

则向量BA在向量BC上的投影为私型=_____2.=%=C

|BC|2a2L4\lB\.I

故选：D.

7.（2020•营口市第二高级中学高一期末）已知向量a力满足|6|=5,|a+b|=4,|“-b|=6,则向量4在向量

b上的投影为

【答案】—1

【解析】向量满足|切=5,|4+6=4,也一方|=6,

可得3+8)2=16,(a-b)2=36,即为a2+b2+2a»b=16，a2+b2-2a»b=36,两式相减可得a・b=-5，

则向量A在向量入上的投影为华=9=7.故答案为：一1.

\b\5

8.（2020•湖北武汉市♦高一期末）设向量q,〃满足,卜2,卜卜1,且Z?“a+b）,则向量/,在向量a+2Z?

上的投影的数量为.

【答案】工

【解析】"・",（a+"）=a，"+b~=O，."-〃=_片=_1，

.\b^a+2b^=ab+2b',1+2q=”/+4//+4a.b=J4+4-4=2，

b-（a+2b]11

•••向量方在向量〃+2。上的投影的数量为——故答案为：

\a+2b\22

9.（2021河南郑州市）已知平面向量〃力满足叶1,回=2,M+力卜后则。在〃方向上的投影等于—

【答案】一大

2

【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：

+-ci~+2a,/?+/?"=1+2a,b+4-3,.ci•b-—1,

ab-11

据此可得，。在匕方向上的投影等于下「=万=一].

10.（2020•四川高一期末）已知边长为2的等边..ABC中，则向量4?在向量C4方向上的投影为.

【答案】-1

【解析】因为445c1是等边三角形，

所以向量与向量C4的夹角为120，

因为,A6C边长为2,

所以向量AB在向量C4方向上的投影为卜斗cosl20=2xf-1U-l,

故答案为：—1.

11.（2020嚏国高一课时练习）已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120°.若a在e上的投影向量为-2e，

则卜卜.

【答案】4

【解析】e为一个单位向量，a与e的夹角是120。由平面向量数量积定义可得a-e=Wxlxcosl200=-2,

根据平面向量投影定义可得忖x（-g）.e=-2e,忖=4.故答案为：4

12.（2020•福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量“、满足忖=2,|2。一0=4,。在〃方向上

的投影为1，则》（。+2。）=

【答案】18

【解析】忖=2，a在徒方向上的投影为1，a2=2x1=2，

|2a-&|=4,16-|2a—/?|=4if-4a•/?+//=4忖-4a-/?+|z?|=4x22-4x2+|/?|,

可得忖=2血，因此，儿（a+26）=a%+2Z/=2+2x8=18.故答案为：18.

【题组四向量的模长】

1.（2020•全国高一）已知平面向量a，b满足忖=2,"=3,若”，〃的夹角为120°,则忸一囚=（）

A.3百B.3百C.2百D.3

【答案】A

【解析】由题意得，|3a-Z>|=yl9a-6ab+b2=J36+18+9=35，故选：A.

2.（2020•全国高一）若向量a与人的夹角为60°,且同=4汹=3,则卜+可等于（）

A.37B.13C.737D.岳

【答案】C

【解析】因为向量a与人的夹角为60°,且同=4,忖=3,所以

,+4=a2+2a-b+b2=|«|'+2|a|-|/?|-cos60+|/?|=42+2x4x3x-^+32=37

所以卜+b|=J方，故选：C.

3.（2020•全国高一开学考试）已知向量。，人满足。2=0，忖=1,忖=3,则卜—0=（）

A.0B.2c.2V2D.Vio

【答案】D

【解析】因为向量q,〃满足〃为=0,忖=1,旧=3

则|a-Z>|=，,-目=y/a2-2a-b+b2=Vl-O+9=VlO故选:D

4.（2020•银川市•宁夏大学附属中学高一期末）已知向量满足：,卜3,网=4,,+

|Vv,

则|"。|=.

【答案】3.

rr2,vr.2r2rrr2曲2rr.r|2rr

【解析】Qa+b=a+。=a+2a-b+b=a+2a-b+\t\=32+2a-/?+42=41,

11rrrr^FT5-F?巾2一2：5+件=g2—2x8+42=3,

a-h=S/.a-b=y\\a-b\=\la-2a・b+b

因此，k一0=3,故答案为3.

5.（2020•全国高一单元测试）若平面向量以，匕满足卜+0=血，4一8=&，则。心=

-272

a+b=-------------,

【答案】-14

【解析】由卜+人|=应，+2a-h+h2=2<①

由,一4=,得4一一2a乃+。-=6，②

①-②得：4々.。=-4，，〃./?=一1.故1+。2=4.故答案为：①T；②4.

6.（2020•全国高一）已知*=6,小=8,则a-^-b的最大值为；若*=6,*=8,且二10,

->->

则a+b=.

【答案】1410

【解析】a+b=(a+b)2=。+2a.b+。=\a\+2abcos<a.b>+\b

——>

=36+64+2x48cos<a,b>

=100+96cos<a,b>

<100+96=196.当且仅当［了同向时等号成立，

所以a+b<\4,

即a+b的最大值为14,

由。一/?=10两边平方uj■得：

222

a-b=(a-b)2=a-2a-b^-b=l00-2a-b=100,

所以蒜=0，

f->2rf—>2-->―>2

所以a+Z?=(a+b)2-a+2a-b+b-100.

即a+b=10.

故答案为：14；10

7.(2020•东北育才学校)已知向量人满足同=4,〃在a上的投影(正射影的数量)为-2,则卜—2N

的最小值为

【答案】8

【解析】因为B在a上的投影(正射影的数量)为-2,

所以||cos<a.h>=-2>

,2

即Ilf81=-----------;—,而一1Wcos<a,b><0,

cos<a,b>

所以|〃但2,

因为,一2〃|=(a-2b)2=a~+=\a\2-4\a\\h\cos<a,b>+41Z?|2

=16—4x4x(—2)+41/?『=48+4M

所以。>48+4x4=64,即卜-2028,故选D.

0,।2Q+仍

9.（2020•四川广元市•高一期末）设非零向量。与人的夹角是手，且同=|。+可，则।的最小

值为（）

A.—B.—C.—D.1

322

【答案】B

【解析】对于“，b和a+力的关系，根据平行四边形法则，如图

a=BA=CD，b=B(j，a+b=BD，

ZABC=—,：.ZDCB=-,

33

忖.•.卬=即=忸4

.,.|a|=|z?|=|a+/?|,

\2a+tb\/J

当且仅当f=l时，的最小值为三

।区।IJ2

故选：B.

10.（2020•浙江杭州市•高一期末）已知平面向量“、/,满足卜|=卜+24=6，则、6忖+卜+匕|的最大

值为________.

【答案】2百

【解析】+=“-+4a/+4//=3+4a/+4/Z=3,则.出二一7，

设a与〃的夹角为6，则卜，6卜056=-1『，，"=-Gcos。,

Q|^|>O.Q<O<7T,可得兀，

|«+/?|=a'+2a-b+h'=3-1/>|=3sin20,贝ij|a+q=Gsine,

所以，V3"+k+目=-3cos0+百sin8=2Gsinf（9-yj,

^<0<n,则看所以，当6—2=5时，百忖+,+闿取最大值2月.

故答案为：2百.

11.（2020•沙坪坝区•重庆南开中学高一期末）已知向量q与向量b的夹角为且同=1，«！（3«-2^）.

⑴求代；

（2）若［24—m4=屿，求加.

【答案】（1）|j=3；（2）"?=-；或机=1•

【解析】（1）tz'（3a—2》）=3a~—2a-b=3—2a-b=0t

：.a-b=^,a-b=|«|-|/?|-cosJ|-=^'|/2|=y,二||=3.

（2）V|2<7-mZ?|-V7,/.7=（2a-mb^=4«2-Ama-b+m2b=4-6m+9m2,

整理得：3m2—2m—1=0>解得：m=—耳或zn=l.

12.（2020•北京朝阳区•人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量a,6满足：卜|=2,忖=11・

(1)若(a+28).(a—8)=l,求“力的值；

⑵设向量a,b的夹角为。，若存在/wR,使得|5+法|=1，求cos。的取值范围.

【答案】(1)—1；(2)-1,-。-^-,1.

2J|_2

【解析】(1)若(。+2刀•(。一与=1,则力+4m_2b2=1，

又因为,《=2,忖=1,所以4+「m—2=1，所以a•6=—1；

⑵若|£+|=1,则A?+2/乃+产〃=1，

又因为卜|=2,忖=1,所以2/.力+『+3=0即/+4rcose+3=0，

所以△=16ca『(9-12>0-解得cosOV-避^或cos。之避^，

22

所以cos6G-1,--^-U-^,1.

2J|_2

13.(2020•全国高一单元测试)已知向量04=a，OB=b，NAOB=60，且同=忖=4.

(1)求,+可，卜-可；

(2)求a+人与白的夹角及“―8与白的夹角.

【答案】(1)卜+可=46,卜―可=4；(2)30，60.

【解析】⑴因为向量OA=a，OB=b，NAOB=60，且同=1|=4,

所以,=(a+b)=a2+2a-b+b2=p|2+2|tz||/?|cos60+|/?|

=16+2x4x4xi+16=48，

2

所以卜+可=46，

乂,一可=(&_/)=a2-2a-b+b2=|a|?-2|d||/?|cos60+|/?|

=16-2x4x4x-+16=16,

2

所以,_q=4；

(2)记a+b与a的夹角为a,ae[0°,180°],a—匕与白的夹角为用，尸e[o,180],

16+4x4x

[a+b\a16

则cosa=n----r-=——产----=------尸——=——'

,+4同4V3x416V32

所以a=30.

[a-b\aajbh4x4x；]

resn=---------=---------=------------二—，

a-b\[a\4x4162

所以夕=60.

【题组五平面向量的综合运用】

1.（2020•北京丰台区•高一期末）a,〃是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）

A.a=bB.a-b=\C.&丰6D.|a|2=|

【答案】D

【解析】A.。力可能方向不同，故错误；

B.a=COS<«,/?>=COS<«,/?>,两向量夹角未知，故错误；

C.a=aa=|«|=\,b=6）=忖=1>所以J=o2，故错误；

I）.由C知卜|=|/?|=1，故正确，故选：I）.

2.（2020•全国高一单元测试）若G是非零向量，b是单位向量，①同>0,②忖=1,③向=匕，④

a=4b（/lw0）,⑤5./?工0，其中正确的有（）

A.©©③B.①②⑤C.①②④D.①②

【答案】D

【解析】：aw0，.•.同>0,①正确；

b为单位向量，故忖=1，②正确；

a

【表示与〃方向相同的单位向量，不一定与匕方向相同，故③错误；

。与8不一定共线，故a=46（4。。）不成立，故④错误,

若。与〃垂直，则有”m=0，故⑤错误.

故选：D.

3.(2021•重庆)设为向量，则“卜・司=问网”是“a//，()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据向量数量积运算，,川=|问问36|

若,同=向网，即风帆的。卜同忖

所以COS0+1,即6=0。或180°

所以a//〃

若///〃，则a与b的夹角为0°或180。，所以“,川=同网的0。=同网

或卜同=同网＜?8180。=—同网

即,.司=|同网cosq

所以",可=同问”是“a/妨”的充分必要条件

所以选C

4.(2020•全国高一课时练习)若&,b，d均为单位向量，且。山=-；,c=xa+yb(x,y&R),则x+y

的最大值是()

A.2B.5/3C.72D.1

【答案】A

【解析】a,b，d均为单位向量，

且a•8=-g,c=xa+ybQx,y£R),

c2=(xa+yb)2=x2+y2+2xya»b=x24-y2-Ay=1,

22

设x+y="y=t-xf得：x+(r-x)-x(r-x)-l=0,

.•・3%2_3a+/_1=0,

方程3x2一3次+/一1=0有解,

A=9/2-12（Z2-l）..O,

-3/+12..0,

.・.-2麴｝2

的最大值为2.

故选：A.

5.（2020•甘肃兰州市•兰州一中高一期末）已知向量“、入c满足a+〃+c=O,且，则。力、

b-c、a,c中最小的值是（）

A.a-bB.a-cC.b•cD.不能确定

【答案】C

【解析】由a+人+c=O,可得。=一（。+8），平方可得2a.A=c2—（屋+/）.

同理可得2b.e=a2-（b2+c"）、1a»c-b'-（a2+c2）,

:|a|<|6|<|c|<A?<c?则、b・c、a.C中最小的值是凡c.故选：C.

6.（2020•浙江湖州市•高一期末）已知空间向量a，b，c和实数尤，则下列说法正确的是（）

A.若a-8=0,则。=0或匕=0B.若4。=0，则4=0或。=0

C.若（a）=仅），则a=6或a=―匕D.若aQ=a.c,则》=c

【答案】B

【解析】对于选项A，若a■/?=0，则a=0或力=0或“_L/?，故A错误；

对于选项C,由（。）2=仅『，得|〃|=|m，即可得其模相等，但方向不确定，故C错误；

对于选项£），由〃力=4.。，得a・S-c）=0,则a=0或6=°或a_L（人一c）,故£）错误；对于选项5,

由；IQ=0，可得；1=0或。=0，故3正确，

故选：B.

7.（多选）（2021•江苏高一）若a、b、c是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（）

A.（a-b）-c=（b-c）-a

B.若ag=一向同，则a//b

C.若=/?•《,则a//。

D.若a・a=b,b，则a=〃

【答案】ACD

iii

【解析】（。为）又是与c共线的向量，（6c）•“是与a共线的向量，a与c不一定共线，4错，

若0包=一时-忖，则a与方方向相反，...a//。，8对,

若［.展=bZ，则（a—垃・c=。,BP（a-b）lc,不能推出。//〃，C错,

若〃♦4=。为，则|〃|=|。|,〃与b方向不♦定相同，不能推出a=b，〃错，

故选：ACD.

8.（多选M2020•山东临沂市•高一期末）已知〃，儿c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A.\a-b\<\a\\b\

B.若〃•〃=（?/且人。0，则。=c

C.两个非零向量a,b，若|。一〃1=1〃|+|bI，则4与〃共线且反向

D.已知a=（1,2）,匕=（1,1）,且d与。+肪的夹角为锐角，则实数X的取值范围是

【答案】AC

【解析】对于A,由平面向量数量积定义可知,闻=同|小。5«用，则|。2区也|屹|,所以/正确，

对于B,当。与d都和/，垂直时，4与c的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，

对于C,两个非零向量4,b，若l=|a|+|5|,可得（「一力）2=（区|+|力|）2,即-25.方=2|5向，

cos6=-l,

则两个向量的夹角为万，则。与b共线且反向，故C正确；

对于D,己知。=（1,2）,。=（1,1）口高与Q+丸人的夹角为锐角，

可得5•（5+Ab）>0W|a|2+必./?>0可得5+34>0,解得X>——,

当4与&+的夹角为。时，』+4?=（1+42+4），所以2+2之=2+2=2=。

所以a与a+Xb的夹角为锐角时4＞一（且丸。0,故D错误；

故选:AC.

9.（2020.浙江高一期末）已知卜卜忖=Q/=2,c=（2—4%）o+/lb,则（c—的最小值为

【答案】一4三9

52

【解析】c-a=（l-4^a+Ab,0一。=（2—4/1）〃+（4—l）b,

（c-。）・卜-人）=［（1-44）a+/l〃］・［（2-44）Q+GM可

=（16万—122+2）J+（—8川+7X—1”为+（%—；Qz/,

代入"=W=a,8=2,

原式=52/2-384+6，

1949

二当九=不时，原式最小值为一丁.

5252

49

故答案为：一£：

52

10.（2020・湖北高一开学考试）在/,A5C中，已知A5=2，|CA+Ci?h|CA—C5|,

cos24+2sin2g|C=l,则胡在BC方向上的投影为.

【答案】6

【解析】因为|CA+CB|=|C4-CB|,所以（CA+C月丫=（C4—CB『

IT

所以C4c6=0，即C=5

因为cos2A+2sin2'+°=i,所以cos2A+2sin?^~~—=1BPcos2A+2sin2—=1,即

222

cos24+cosA=0,所以2cos2A+cosA-l=0解得cosA=-l或cosA=，

2

因为工］,所以cosA='，即人=工，所以8=工，

I2）236

因为AB=2,所以3c=2sinA=

所以BA在8c方向上的投影为卜4=6

故答案为：\/3

【点睛】

本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.

11.（2020•浙江杭州市•高一一期末）已知平面向量“力，其中|a|=2,g|=l,的夹角是?，则,一2可=

；若f为任意实数，则,+必|的最小值为

【答案】2V3

TT

【解析】由题意，平面向量a,b,其中|a|=2,|6|=l,“力的夹角是彳，

可得=|«|-|z?|cosJ|-=2xlxcosJ|-=l,

则,一2司=pz|+4恸-=4+4—4x1=4,所以‘一2<=2,

又由卜+f可=J（a+力f+2ta-b+t~b=\Jt2+2t+4=«t+l¥+3•

所以当/=一1时，,+破的最小值为技

故答案为：2；6

12.（2020•天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在，ABC中，AB=2,AC=3,N84C=120。,

uuuuuu1一

。是8C中点，E在边AC上，AE=AAC'ADBE=-,则|AO|=,4的值为_.

【答案】且1

23

【解析】因为AB=2，AC=3./区4。=12()°,所以48乂右=+8,4485120=—3,

由题意A0=；(A6+AC),BE=BA+AE=AAC-AB'

所以I3舫+AC)[=；(他2+2A5AC+A。]

所以卜。卜等；

由=g可得g(A8+ACj-(/lAC——1)A8.AC—(AB?

解得A=—.

3

故答案为：-^―；—.

23

13.（2020•湖北黄冈市•高一期末）已知向量品与向量成的夹角为?，且同=1,恻=3,〃•（〃—痴）=0.

（1）求之的值

(2)记向量力与向量3〃一机的夹角为。，求cos26.

【答案】(1)2=