高中数学人教新课标B版必修2-《直线与圆的位置关系》

教学基本信息

课题直线与圆的位置关系

是否属于

否

地方课程或校本课程

学科数学学段：第一学期年级高二

相关解析几何

领域

教材书名：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（B）版》必修二

出版社：人民教育出版社出版日期：

教学设计参与人员

指导思想与理论依据

课程标准提出，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让

学生体验数学发现和创造的过程，发现他们的创新意识，高中数学课程应发挥学生学习

的主动性，应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学

习数学和运用数学解决问题的过程中，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象

概括、符号表示、反思建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，它们有

助于学生对客观事物中蕴含的数学模式做出思考和判断，数学思维能力在形成理性思维

能力中发挥着独特的作用。数学过程中的评价要关注学生学习数学学习的过程，关注他

们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。

建构主义理论认为，知识不是通过教师的讲授得到的，而是学习者在一定环境下，

借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式来获得的。建构主义提倡

在教师指导下以学生为中心的学习，它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的

主导作用，教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者；学生是

信息加工的主体，是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。

新课程理念提出，教学不只是为了掌握知识的结论，更重要的是经历知识的过程。

教学的目的不只是掌握现存的知识结论，而是将习得的知识迁移到新情境中去，也就是

要学生创造性地提出问题和解决问题。培养学生的创新精神和实践能力是新课程的重要

目标之一，在数学教学中要培养学生的创造性思维，就要充分揭示思维过程，这其中就

包括充分揭示概念的形成过程、结论的发现过程、问题解决的思路探索过程。

教学背景分析

1.本章的知识结构

2.解析几何的基本思想方法

“代数运算”

“翻译”“翻译”

几何问题|—►|代数问题|-------»|代数问题的解|一》|几何问题的解

点<--------►坐标

曲线<-------->方程

几何特征<-------►数式和数量关系

解析法，就是坐标法，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问

题一门学科。用坐标法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，对“形”

进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所

需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来。把“形”翻译为“数”是用坐标法

解决几何问题时首要工作。

3.教材的地位与作用

《平面解析几何初步》所蕴涵的数学思想方法为：数形结合思想、转化与化归思想、

函数与方程思想、分类讨论思想等。数学思想方法的教学原则为：反复渗透，渐进发展,

学生反思领悟。

本节课选自人教（B版）数学必修2第二章2.3.3《直线与圆的位置关系》第1课

时。它是学生在已经掌握直线方程和圆的方程的基础上，进一步学习直线与圆的位置关

系。本节课既是对直线与圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系

的基础。用解析法研究直线与圆的位置关系是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶

梯，也是在为后面研究直线与圆锥曲线的位置关系打好基础，因此本节课起着承前启后

的作用。

4.教学内容分析

本节主要内容：直线与圆的位置关系的判定。为了突出重点，突破难点，落实本节

设定的教学目标，安排了思考、探究、应用新知、拓展新知、自主编题、归纳反思等环

节，通过师生共同合作探究，解决以下三个问题：（1）直线与圆的位置关系的判定及弦

长问题；（2）代数法、几何法的理解及应用；（3）数形结合思想的培养。

5.学生情况分析

北京四十三中是北京市西城区的一所普通中学，学生的数学基础不太好。我所任教

的班级是我校高二文科3班。本班学生在我的培养下，对学习数学有很大的兴趣，课堂

思维较为活跃，经常开展分组学习，合作探究的活动。

在初中，利用平面几何知识来判断直线与圆的位置关系的方法学生们并不陌生，前

面又学过直线、圆的方程，直线与直线的位置关系和点与圆的位置关系，学生对“坐标

法”、特殊到一般、转化思想、数形结合思想已初步了解，为本节课的学习奠定了一定

的基础。

本节内容容量大，对学生的建模能力和数形结合、归纳推理能力有较高要求。学生

对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究能力和合作交流发展上还不够均衡，

学生在灵活运用数形结合思想、方程思想解题的能力还有待加强。

6.教学方式

教师启发引导与学生自主探究相结合。从学生的认知规律出发，运用启发式、探究

式等引导学生主动思考，积极参与。

7.教学手段

（1）计算机：PPT展示，几何画板软件演示动画。

（2）实物展台：用于学生交流时，展示学生自己的作品。

（3）技术准备：学生用课堂学案和“自主编题报告单”。

8.课前准备工作

（1）为便于管理，采用异质分组，每组5人左右，共4组，安排小组长。组内要

求有分工，有合作，有交流，并推选代表发言。

（2）印发课堂学案和“自主编题报告单”，每名学生明确学习任务，同时便于交

流。

9.课堂自主探究、合作探究过程

这节课的内容较多，同时也是本节课的重点和难点，因此采用自主探究后，小组内

合作探究、组间交流、质疑、点评。

教师巡视、指导、参与探究，适时引导学生学会用坐标法去解决几何问题，用运动

变化的观点去看问题。

10.课堂组间交流过程

(1)小组汇报

小组内推选发言代表，其他同学自由补充。

(2)组间质疑

小组汇报后，对不同意见或不清楚的地方，提出质疑。

(3)师生点评

对汇报展示与质疑的同学进行点评，及时鼓励、表扬，保持学生学习热情。通过交

流，学习他人的研究成果，充实自己。

教学目标(内容框架)

《新课程标准》指出：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的

过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题

转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。因此，在数学教学中

要注意引导学生学会以形助数，借数解形，数形结合。根据本节课的教学内容和我所教

学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：

【知识与技能】

①能根据给定直线、圆的方程，掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法：几何法

和代数法；

②能综合应用直线与圆的位置关系解决一些简单的问题。

【过程与方法】

①经历理论与实际的联系，提升学生的数学建模能力，培养学生运用数形结合与方

程的思想解决问题的意识；

②经历探索判断直线与圆的位置关系的过程，使学生参与数学实践。

【情感态度与价值观】

①让学生参与用解析法探求直线与圆的位置关系的过程，让学生认识到解析法解决

平面几何问题的优越性;

②通过学生自主探究、小组合作交流，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯。

【教学重点】直线与圆的位置关系及其判断方法；

【教学难点】理解坐标法解决几何问题的数学思想。

教学流程示意

在以上教学背景分析和教学目标的前提下，我设计了如下教学过程，分为七个环节:

创设情境，提出问题

__________]r__________

探究发现，构建新知

小结新知，总结提升

应用新知，增强体验

拓展新知，合作交流

回顾反思，共同进步

布置作业，分层提高

教学过程(文字描述)

(-)创设情境，提出问题

引例：2014年3月8日凌晨，由马来西亚飞至北京的MH370航班与地面指挥中心失去

联系，3月24日凌晨马来西亚发言人宣布MH370坠落于印度洋南部海域，飞机上包括

154名中国乘客在内的239人全部失踪，引起国际社会高度关注。事后搜寻工作在紧张

进行，一艘轮船由马来西亚港口沿某航线向印度洋南部海域某港口航行执行搜寻任务，

轮船在沿直线航行至印度洋南部海域某港口的途中，接到气象台的飓风预报：飓风中心

位于轮船正西90km处，受影响的范围是半径长为40km的圆形区域。已知港口位于飓风

中心正北45km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到飓风的影响？

问题1：你怎么判断轮船受不受影响？

【设计意图】本环节主要是创设情境，来源于生活的实际问题能激发学生的学习兴趣，

提高学习的积极性，在实际问题中让学生体会数学的应用价值，将实际问题数学化后，

学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，自然引入本节课要研究的内容，

这样的设计符合建构主义理论的要求。

问题2：引例中的实际问题可以转化为直线与圆的位置关系问题。请问直线与圆的位置

关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？请用表格总结。

相交相切相离

Q

XLq

图形

公共点个数210

d与r的关系d<rd-rd>r

【设计意图】引导学生回顾义务教育阶段直线与圆的位置关系的思考过程，并为本节课

做好知识方面的准备，有利于激发学生运用旧知探求新知的欲望和知识的迁移。从已有

的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对

问题的理解，为新知的学习奠定基础。

（二）探究发现，构建新知

探究：我们该如何判断问题情境中的直线与圆的

位置关系呢？

问题3：我们把问题情境中的实物图用几何画板

缩放画出来如下图，大家观察下边的模型图，你

能判断出直线与圆。的位置关系吗？

问题4：你的结论可靠吗？依据是什么？如果不

可靠那又该如何准确判断呢？

预案：如果学生说“看出来的。”（图形画的像相切一一很难看出来是相切还是相交或

相离）；问一问其他同学，都是这样看出来的吗？能否量化？（根据数量来判断）

问题5：为什么要建立坐标系？如何建立合适的坐标系？

【设计意图】通过一系列的问题串，促使学生的最近发展区得到一次洗礼，说明有时仅

凭观察不一定正确，那现在的当务之急就是要引进一种新的数学思想方法来解决这一问

题，为后续引出用坐标法解决问题作铺垫。

问题6：如果以飓风的中心为原点。，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中取10km

为单位长度，你能写出其中的直线方程与圆的方程吗？

请同学们通过计算来判断直线与圆。的位置关系？并阐述自己的解题思路。

1Q

直线的方程：_y-——x+—,即x+2y-9=0_

圆0的方程：x2+y2=16_

【设计意图】该问题具有探究性、启发性和开放性，学生分组，鼓励学生大胆表达自己

的看法，展示成果.通过学生的解答，使学生厘清判断直线与圆的位置关系的方法，真

正把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创

造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，并渗透数形结合数学思想。

（三）小结新知，总结提升；

形（几何上）数（代数上）

直线直线的方程：I-.Ax+By+C^

圆的方程：C:(x—a)2+(y—b)2=,

凭借什么来判断它们的位置关系？凭借什么来判断它们的位置关系？

1.观察直线与圆公共点的个数：将公共点个数问题转化为对应的方程组

2.圆心到直线的距离d与圆的半径r作比较。的解的个数问题，借助判别式来判断。

位置关系比较法几何特征（观察法）方程特征代数法

相交d<r两个公共点两个不相等实数解A>0

相切d-r唯一公共点两个相等实数解A=0

相离d>r无公共点无实数解A<0

【设计意图】让学生由特殊到一般，对知识进行梳理，概括出利用直线与圆的方程来判

断它们位置关系的两种方法，在课堂上把所学的知识系统化，加深理解。让学生进一步

体验“形”向“数”的转化及数形结合的思想方法。

（四）应用新知，增强体验

例1.已知直线/：y=-+/〃和圆0：f+y2=i6,当“为何值时，直线/与圆C相

交，相切，相离？

小结：判断直线与圆位置关系的两种方法

【设计意图】从问题情境中提炼出数学问题的本质，然后对题目进行改编。为了增加思

维的梯度，对于含有参数的方程，让学生既能从基本方法上解决，又能从参数的几何意

义上运用变化的观点看问题。通过直线不动圆动、圆不动直线动的两个方面的不同变化,

让学生体会这两种不同变化中包含的问题的本质，从而找到解决问题的一般方法。

（五）拓展新知，合作交流

探究活动1：请同学们类比例1的题型设置和问法，每个小组试着编写出其他类型的题

目，然后写在“自主编题报告单”上。完成后每个小组派代表来展示，这些题目就留作

今天每个小组对应的课后作业。

要求：1、题型不要重复；2、条件尽量简洁；3、题目中只含一个参数。

【设计意图】通过自主编题环节让学生从“运动”的观点进一步认识直线与圆的位置关

系，找到“变”与“不变”的本质。进一步培养学生的创新思维能力和开放性思维能力,

让学生从编题者的角度看问题，变被动为主动，提高学生学习的积极性。

例2.已知直线/：x+2y-5=0和圆O：x2+y2=16,求出直线/被圆。截得的弦AB的

长度。

教师简要分析后同学们独立解答，并请两位同学展示解题过程。

小结：求圆中弦长的方法：

方法一：联立直线和圆的方程，解出两个交点坐标，用两点间距离公式求解。

方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长。\AB\^2y/r2-d2

归纳总结弦长的两种求法，触类旁通，由一题会一类题。明确本节课求圆中弦长问

题时方法二更简便。

【设计意图】通过对例1的进一步改编，引导学生深入思考，关注圆中量与量之间的关

系，从定性判断到定量计算，提高学生一题多解的能力，培养学生的发散思维，并借助

本例题对直线被圆截得的弦长的方法进行小结归纳，并简单总结每种方法的各自的特

点。

在方程尸-屋中有三个量,分别是弦长弦心距。和半径r,那么我

们只要知道其中的两个量就能求出第三个量，简称“知二求一”。这道例题的本质实际

上是“已知d和r,求弦长AM

请同学们类比例2的题型设置和问法，思考一下还可能会有哪些其他的题型呢？

题型一：“已知d和r，求弦长

题型二：“已知_。和求_r_;

题型三：“已知—\AB\^：r_,求_d_。

我们知道4是弦心距，也就是圆心到直线的距离，d的大小由圆心和直线的位置

决定。如果设圆心。3,份，直线/：y=kx+m,则与叫

“2+]

探究活动2：那么在上述题型中求出d值以后，类比前面的方程思想，方程4=驾”型

右边的四个量太加,。力中，只要知道其中的三个量就能求出剩下的第四个量，那么同学

们思考一下又会有哪些可能的题型呢？请写在“自主编题报告单”上，完成后每个小组

派代表来展示，这些题目就留作今天每个小组对应的课后作业。

【设计意图】再次挖掘弦长公式中三个量之间的关系，引导学生再次自主编题，从定性

判断到定量计算，发现弦长问题的本质，达到触类旁通，举一反三的目的。

(六)回顾反思，共同进步

1、就这节课中探究学习的某些过程，谈谈你的认知与体会。

让学生先口述，然后师生共同从知识、数学思想方法、探究途径三个方面加以总结。

知识上：

(1)直线与圆的位置关系的判断：①几何法；②代数法。

(2)直线和圆相交时的弦长问题：

①联立方程求交点坐标，利用两点间距离公式求解；

②利用圆中“两个半”直角三角形求解。

数学思想方法：

①数形结合思想；②化归与转化思想

探究途径：

化归，类比，逆向思维……

【设计意图】适时地组织和指导学生归纳本节课的知识要点和思想方法以及探究新知识

的一般途径，有助于学生更好地学习，记忆和应用和归纳，学生对本节课的学习有一个

较为整体、全面认识，希望可以通过教师的示范，帮助学生养成归纳反思的良好学习习

惯。

2、通过这节课的学习，你还想要进一步了解直线与圆的什么知识？你认为直线与

圆还有什么值得研究的问题？

【设计意图】通过设计开放性问题，实现由知识向能力的转化.发挥知识系统的整体优

势，并为后续的学习打好基础。授人以鱼不如授人以渔，作为教者，给予学生的应是开

启问题的钥匙，教会学生如何思考才是关键。

(七)布置作业，分层提高

1.课本P101练习A1,2,3；练习Bl；

2.各组成员完成本组自编的题目并解完；

3.(选做题)已知直线/：y=+和圆C：x2+y2=16,

(1)请你具体给出左、人的一组值，使直线/与圆C相切；

(2)当直线/与圆C相离时，k、〃应满足什么关系；

(3)若b-k=l,试判断直线/与圆C的位置关系。

【设计意图】一是巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标，二是为后续课的学习做

好铺垫。分层次的布置作业满足不同层次的学生，同时留下选做题，体现了分层教学，

给学有余力的同学留出进一步思考的空间。

学习效果评价设计

相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，

数学学习的评价，既要重视结果，也要重视过程。

教师教学效果的评价：

课堂上教师的教学效果评价，采用定性和定量相结合的方式，用于教师的自我评价,

或听课教师对主讲教师的课上教学效果评价。

学生课堂学习态度方面：

鼓励学生多表达、交流想法；教师能做到及时评价学生的回答，强化学生的认知；

教师能做到恰当的给学生留出思考空间。

学生在引入环节被吸引，愿意探索和主动参与，感受到趣味性，具备学习新知识的

动机。在概念形成和深化、自主编题、归纳总结环节学生能够积极思考，合作交流并发

表看法。课后能够质疑并主动分析和解决问题。所有环节中，学生拥有积极的数学学习

态度、动机和兴趣，具备学好数学的自信心。

学生课堂思维能力方面：

1、观察教学中学生能否在初中利用平面几何知识判断直线与圆的位置关系基础上,

提出利用坐标法判断直线与圆的位置关系的新思路，考查学生已有的认知水平和最近发

展区以及教师的导学能力。

提出新思路时间30秒以内30秒一60秒1秒一2分钟不能提出

学习效果ABCD

2、探究活动在自主编题环节中，观察各小组能否自主编出不同类型的题目，考查学

生数学能力以及教师的导学能力。

自主编题数目4道以上2—3道1道不能编出

学习效果ABCD

3、教学效果评价，通过例题的完成情况评价教学效果。

完成时间2分钟以内3分钟4分钟不能完成

学习效果ABCD

4、在归纳反思环节，通过学生口述学习收获，从其作总结的深刻程度可进行教学

效果评价。

学生总结收获能在以上三个方面有能在知识、数学思想只在知识层面总结

深刻认识，总结全面方法层面总结

学习效果ABC

学生学习效果的评价:

1、通过课堂例题测评

例1.已知直线/：y=-gx+加和圆0：X2+/=16,当加为何值时，直线/与圆C相交,

相切，相离？

通过对引例的思考探究和方法总结，学生对利用几何法和代数法判断直线与圆的

位置关系有了一定的认识，在解决例1的过程比较顺利，大部分学生都能很快利用几何

法列出相应的等式和不等式，极少数学生使用代数法联立求解。但在后面计算的环节中，

很多学生都出现了不同程度的错误。大致有这样三种：（1）在求圆心到直线的距离时，

公式d中忘带绝对值符号；（2）部分学生距离公式没有问题，但在解绝对值不等式时出

现错误；（3）用代数法联立求解的五位学生都没有算出最后结果，有三位是联立的方程

出现错误，另外有两位是在计算判别式时出现错误。

所以在后续的教学中，尤其针对我们学校的生源实际情况，不仅要加强知识方法上

的探究学习，同时也要注重学生基本计算能力的训练，“会做算不对”这种现象要尽可

能的减少。

2、通过课后作业反馈评价

（1）课堂思维延展

通过这节课的学习，你还想要进一步了解直线与圆的什么知识？你认为直线与圆还

有什么值得研究的问题？教师通过学生对上述开放性思维延展问题的回答情况进行学

生学习效果评价。

（2）课后作业

①作业1完成情况统计分析:

题号得分率错因分析

A195%计算圆心到直线的距离公式代入时计算错误

A2第一问100%无

第二问75%（1）联立消元出错；（2）不会用十字相乘法求根

A3第一问75%（1）圆的方程配方出错；（2）计算d时出错；（3）半径r

忘开方

第二问85%（1）圆的方程配方出错；（2）计算d时出错；（3）半径r

忘开方

B180%（1）计算4时出错（忘带绝对值）；（2）解不等式出错

②作业2完成情况统计分析：

四个小组中，有两个小组自主编完了探究2中的三道题，剩下两个小组都是自主编

完了探究2中的两道题，题目设计的数据都比较好算，同组的成员完成情况大致相同，

结果都是对的，看来是经过商量以后的结果。唯一遗憾的是，还有一种题型这四组学生

都没有想到。但是通过课后对学生的了解，学生对这种自主编题然后解题的新模式非常

感兴趣，愿意以后有更多机会去探索，去尝试。

③作业3完成情况统计分析：

全班20人中，有8人未写此题。下面的统计数据是以12人为基数。

题号得分率错因分析

(1)83.3%这两位学生都是计算的错误（平方），通式写成了。2=4（二+1）

(2)83.3%还是跟第一问同样的错误，写成了6>4（&2+1）

(3)25%其中7人没写（不会），另外2人通过代数计算没有得出正确答

案。做对的3人中有2人是用代数法联立得到判别式大于零，

从而得到相交，另1人是从几何角度思考得出的结论。

课堂例题和练习的及时讲评和交流有助于学生知识建构时的螺旋上升，学生面对

课后作业时对知识方法的掌握程度高于面对课堂练习时的程度，即使课后作业比课堂练

习复杂，但是学生的得分率不降反升，可见注重学生知识建构时的螺旋上升是非常有必

要的。

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点（300-500字数）

1.本节课采用建构主义教学模式，教师创设情境后由学生自我探究并形成对概念

的理解。将实际问题转化为数学问题后，教师并没有急于引出本节课的主要教学内容，

而是将时间交给学生让他们自己去探究解决问题的方法，关键概念和结论都有学生给

出，关键思想方法有学生运用和表达。建构主义学习理论指出，学生感到可以控制自己

的学习活动时，学习效果最好。同一个目标，不同的途径，让学生学会用不同的方法去

解决数学问题，这边是教师在本堂课所强调的：引导学生用学过的知识，通过类比，猜

想，归纳去解决新的问题，这便是数学中最基本也是最重要的思想：转化与回归。因此，

本节课不仅让学生自探究了直线与圆的位置关系的判断方法，更是教会了学生思考问题

的方法和最基本的数学思想。

2.让学生自主编题，尝试“变式教学”新模式。教学不仅仅是为了掌握知识的结

论，更重要的是经历知识的过程，这是新课程的重要理念之一。在数学教学中要培养学

生的创造性思维，就要充分揭示思维过程，这其中就包括充分揭示概念的形成过程、结

论的发现过程、问题解决的思路探索过程。为此，这节课我作了一个大胆的尝试，由引

例的实际问题到后面的例1和例2都是通过变式得到，通过我对引例中得到的数学题目

进一步改编（把引例中直线/的方程改为丁=-3%+机）得到例1后，不急于让学生去做，

而是问学生“这样变有什么变化？”“直线是怎么动的？还可以怎么动？后面的

问题该怎么设计？”教师只是改变了题目的条件，让学生根据题目的变化特征去设计问

题。让学生先从“形”的角度分析直线和圆运动的多种可能性，然后对应到“数”的角

度由学生去自主编题，各个小组编完的题目由本组的成员当作课后作业自己完成。通过

教师的示范，培养学生一题多变，点线结合，体会从静止到运动的变化规律，主动参与

到变式教学中，变被动为主动，提高学生学习数学的兴趣。

教学反思

《注重思想方法的形成过程，实现认知结构的合理重组》

本节课是“直线与圆的位置关系”的起始课，我在这节课的很多环节都做了很多新

的尝试，下面结合本节课的设计思路谈一些自己的想法。

一、巧设问题，合理引入课题，激发学生学习数学热情

根据社会热点问题和学生的知识储备，我改编了教材中的一个引例，通过丰富问题

情境的社会背景和数据的修改，让引例得到的数学模型图是非常接近相切的，一开始就

让学生产生一种错觉，有时仅凭肉眼观察得出的结论不一定准确。这也应正了华罗庚说

过的一句话：“形少数时难入微”，让学生一开始就体会数与形的紧密联系，为后面的教

学埋下伏笔。

二、精心设计有效问题链，实现认知结构的合理建构

当学生看到引例的数学模型图时，我设计了如下的问题链：“你能判断它们的位置

关系吗？”“依据是什么？