高中数学必修3第3章：等可能事件和等可能事-5人教A版试题汇编

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2020年03月23日高中数学的高中数学组卷

试卷副标题

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第【卷的文字说明

评卷人得分

一.解答题（共25小题）

1.（2017•大石桥市校级学业考试）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义

务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第I组［20,

25）,第2组［25,30）,第3组［30,35）,第4组［35,40）,第5组［40,45］,得到的

频率分布直方图如图所示.

（I）若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，

应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？

（II）在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介

绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

频率.

°202530354045年龄

2.（2014•内江四模）某银行柜台有服务窗口①，假设顾客在此办理业务所需的时间互

相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间/分12345

考点突破•备战高考

频率0.10.4a0.10.1

从第一个顾客开始办理业务时计时，

（1）求。的值；

（2）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.

3.（2013春•景德镇期中）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个

球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.

（1）求事件“取出的两个球上标号为相邻整数”的概率；

（2）求事件“取出的两个球上标号之和能被3整除”的概率.

4.（2012秋•南关区校级期中）做投掷2颗骰子的试验，用（x,y）表示点P的坐标，

其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数.

（/）求点P在直线y=x上的概率；

（〃）求点P不在直线y=x+l上的概率；

（///）求点P的坐标（x,y）满足16</+/<25的概率.

5.（2011春•秦州区校级月考）5张彩票，其中有1张有奖，4张无奖.每次从中任取1

张，不放回，连抽3张；

（1）计算恰有1张有奖的概率；

（2）计算至少有1张有奖的概率.

6.（2011春•巴南区校级期末）一种信号灯，只有符号“和“X”随机地反复出现,

每秒钟变化一次，每次变化只出现“J”和“X”两者之一，其中出现“的概

率为工，出现“X”的概率为2,若第胆次出现“J”，记为即=1,若第%次出现

33

"X",则记为am--1,令Sn—ai+a2+--+an,

（1）求S4=2的概率；

（2）求SiNO,S2>0,S3>0,且S7=3的概率.

7.（2011•奉贤区二模）（文）设函数f（x）=ax+&（x>0）,R+.

x

（1）当a=2,解不等式/（x）>9

（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6）得到的点

数分别作为〃和从求/（x）恒成立的概率.

8.（2011•卢湾区校级三模）某市发行一种电脑彩票，从I到35这35个数中任选7个

不同的数作为一注，开奖号码为从35个数中抽出7个不同的数，若购买的一注号码

与这7个数字完全相同，即中一等奖；若购买的一注号码中有且仅有6个数与这7

个数中的6个数字相同，即中二等奖；若购买的一注号码中有且仅有5个数与这7

试卷第2页，总8页

个数中的5个数字相同，即中三等奖.

（1）随机购买一注彩票中一等奖的概率是多少？随机购买一注彩票能中奖的概率是

多少？（结果可以用含组合数的分数表示）

（2）从问题（1）得到启发，试判断组合数CAC"”"［与GT"的大小关系，并从组合

的意义角度加以解释.

9.（2010•武汉模拟）已知一颗质地均匀的正方体骰子，其6个面上分别标有数字1、2、

3、4、5、6,现将其投掷4次，分别为

（1）所出现最大点数不大于3的概率；

（2）所出现最大点数恰为3的概率.

10.（2010•海门市一模）一个口袋中装有八个红球（〃24且”€N）和5个白球，从中

摸两个球，两个球颜色相同则为中奖.

（I）若一次摸两个球，试用〃表示一次摸球中奖的概率p；

（II）若一次摸一个球，当〃=4时，求二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率;

（III）在（I）的条件下，记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率为P,

当〃取多少时，P最大？

11.（2010•密云县一模）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,

1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若

取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中

三等奖.

（1）求中三等奖的概率；

（2）求中奖的概率.

12.（2010•山东校级三模）设一元二次方程42+&+。=0,根据下列条件分别求解.

（1）若A=l,8、C是一枚骰子先后掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率；

（2）设B=-4,C=A-3,A随机的取实数使方程有实数根，求方程至少有一个非

负实数根的概率.

13.（2010•郑州二模）某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游

戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片

上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求两人一组参加游戏，参加

游戏的两人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽1张，抽取后不放回，直到两人中的一

人抽到“世博会会徽”卡得奖才终止游戏.

（I）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽'卡？”主持人

考点突破•备战高考

说：“若从盒中任抽2张卡片不都是'世博会会徽’卡的概率为空”请你回答有几

28

张“世博会会徽”卡呢？

（H）在（I）的条件下，甲、乙两人参加游戏，双方约定甲先抽取乙后抽取，求

甲获奖的概率.

14.（2010•汕头模拟）如表为某班英语及数学成绩分布，全班共有学生50人，成绩分

为1〜5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分的共14人，数学成绩为5分的共5

人.设x,y分别表示英语成绩和数学成

54321

513101

410751

321093

21b60a

100113

（I）x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？的概率是多少？在

的基础上，），=3同时成立的概率是多少？

（2）x=2的概率是多少？a+b的值是多少？

15.（2010•新建县校级二模）为应对金融危机，中国政府采用扩大内需，拉动消费的政

策措施，送家电下乡销售就是其中之一，但家电产品下乡之前必须对其进行质量安

全检测，现有A、B、C、。四种家电产品，A、B产品只要检测合格就可以下乡销售,

C、。是配套产品需要同时检验合格才能下乡销售，每种产品是否检验合格互不影响

且合格的概率均为❷.求：

5

（1）恰好有两种产品上市的概率；

（2）至少一种产品上市销售的概率；

16.（2009•武汉模拟）（文科做）有A、B两只口袋中均放有2个红球和2个白球，先

从A袋中任取2个球放到B袋中，再从8袋中任取一个球放到A袋中，经过这样的

操作之后.

（1）求A袋中没有红球的概率；

（2）求A袋中恰有一只红球的概率.

17.（2009秋•嘉兴校级期中）有三颗骰子A、B、C,A的表面分别刻有1,2,3,4,5,

6,B的表面分别刻有1,3,5,7,9,11,C的表面分别刻有2,4,6,8,10,12.

（1）求抛掷A、B两颗骰子后向上的点数之和为奇数的概率？

试卷第4页，总8页

（2）求抛掷三颗骰子后向上的点数之和为12的概率?

18.（2008秋•绍兴期末）将一枚骰子先后投掷2次，观察向上的点数，问

（1）2次点数之积为偶数的概率；

（2）第2次的点数比第1次大的概率；

（3）2次的点数正好是连续的2个整数的概率；

（4）若将2次得到的点数〃作为点尸的坐标，则P落在圆/+尸=16内的概率.

19.（2009春•绍兴期末）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给

商家时，商家按合同规定需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批

产品；

（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求

至少有1件是合格品的概率；

（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，商家从中任取2件进行检验,

求该商家可能检验出不合格产品数X的分布列及均值EX；

（3）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从发给的

20件产品中任取2件，进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.，

求该商家拒收这批产品的概率；

（以上问题的解答结果均用分数表示）

20.（2008•湖北校级模拟）箱子中装有大小相同的4个红球、6个黑球，每次从中摸取

1个球.每个球被取到可能性相同，现不放回地取3个球.

（1）求至少取到2个红球的概率；（2）求第三次取出的是红球的概率.

21.（2007秋•宣武区期末）甲盒中装有7个标号为1、2、3、4、5、6、7的小球，乙

盒中装有"个标号为1,2,3,…，〃的小球，

（1）从甲盒中有放回地抽取小球3次，每次抽取一个球，求恰有两次抽取7号球的

概率；

（2）现将两盒球均匀混合，从中随机抽取一个小球，若抽取的标号为"的小球的概

率为2,求〃的值.

13

22.（2007•揭阳二模）（理科做）一个口袋内装有大小相同的4个红球和6个白球.

（/）从中任摸2个球，求摸出的2个球颜色不同的概率；

（//）从中任摸4个球，求摸出的4个球中红球数不少于白球数的概率；

（III）每次从中任摸4个球，放回后再摸4个球，如此反复三次，求三次中恰好有

一次4个球都是白球的概率.

考点突破•备战高考

23.（2005•湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、

张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

（I）求3个景区都有部门选择的概率；

（II）求恰有2个景区有部门选择的概率.

24.A市将于2010年6月举行中学生田径运动会，该市某高中将组队参赛，其中队员

包括10名男子短跑选手，来自高中一、二、三年级的人数分别为2、3、5.

（I）从这10名选手中选派2人参加100米比赛，求所选派选手为不同年级的概率;

（II）若从这/0名选手中选派4人参加4X100米接力比赛，且所选派的4人中，高

一、高二年级的人数之和不超过高三年级的人数，记此时选派的高三年级的人数为4,

求随机变量；的分布列和数学期望.

25.已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可

能的，试求下列各事件的概率：

（1）事件A：指定的4个房间各有1人；

（2）事件8：恰有4个房间各有1人；

（3）事件C：指定的某个房间有2人.

试卷第6页，总8页

第n卷（非选择题）

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考点突破•备战高考

试卷第8页，总8页

考点突破•备战高考

2020年03月23日高中数学的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.解答题（共25小题）

1.（2017•大石桥市校级学业考试）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义

务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组［20,

25）,第2组［25,30）,第3组［30,35）,第4组［35,40）,第5组［40,45J,得到的

频率分布直方图如图所示.

（I）若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，

应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？

（II）在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介

绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

【考点】B8：频率分布直方图；C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】51：概率与统计.

【分析】（I）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；

（II）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者8i,

及至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出.

【解答】解：（I）第3组的人数为0.3X100=30,第4组的人数为0.2X100=20,

第5组的人数为0.1X100=10.

因为第3,4,5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，

每组抽取的人数分别为：第3组：迎X6=3；第4组：型X6=2；第5组：W

606060

X6=l.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人；

（II）记第3组的3名志愿者为4,A2,A3,第4组的2名志愿者为Bi,比,.则

从5名志愿者中抽取2名志愿者有：

1

考点突破•备战高考

(Ai,A2),(Ai,A3),(Ai,Bi),(Ai,82),

(42,43),(A2,Bl),(42,B2),

(A3,BI),(43,82),(Bi,82)共有10种.

其中第4组的2名志愿者Bi,B2至少有一名志愿者被抽中的有：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(A2,Bl),(A2,B2),

(A3,Bl),(A3,82),(Bi,比)，共有7种

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为二.

10

【点评】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、

互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键.

2.(2014•内江四模)某银行柜台有服务窗口①，假设顾客在此办理业务所需的时间互

相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

办理业务所需的时间/分12345

频率0.10.4a0.10.1

从第一个顾客开始办理业务时计时，

(1)求。的值；

(2)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差.

【专题】51：概率与统计.

【分析】(1)由频率和为1,即可得到a的值；

(2)设丫表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得丫的分布列，A表

示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第

一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为

1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率.

【解答】解：(1)由频率和为1,得至IJ0.1+0.4+a+0.1+0.1=l,

.•・。=0.3；

(2)设丫表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得丫的分布如下：

Y12345

P0.10.40.30.10.1

(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种

2

考点突破•备战高考

情形：

①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3

分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为

1分钟：

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.

所以P(A)=0.1X0.3+0.3X0.1+0.4X0.4=0.22.

【点评】本题考查概率的求解，解题的关键是明确变量的取值与含义.

3.(2013春•景德镇期中)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个

球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.

(1)求事件“取出的两个球上标号为相邻整数”的概率；

(2)求事件“取出的两个球上标号之和能被3整除”的概率.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】11：计算题.

【分析】(1)先求出基本事件总数，然后记事件“取出两个球上标号为相邻整数”

为事件A,列举出事件4所包含的基本事件，最后根据古典概型的概率公式解之即

可；

(2)记事件“取出两个球上标号之和能被3整除”为事件B,列举出事件B所包含

的基本事件，最后根据古典概型的概率公式解之即可.

【解答】解：(1)基本事件总数为5X5=25种，

记事件“取出两个球上标号为相邻整数”为事件A,

事件包含(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4)

共8种

(2)记事件“取出两个球上标号之和能被3整除”为事件8,

事件包含(1，2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),

(5,4)共9种

一⑻埸

【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，解题的关键是弄清基本事件的个数与

所求事件所包含的基本事件，属于基础题.

4.(2012秋•南关区校级期中)做投掷2颗骰子的试验，用(x,>■)表示点P的坐标，

3

考点突破•备战高考

其中X表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数.

(/)求点P在直线y=x上的概率；

(//)求点P不在直线y=x+l上的概率；

(///)求点P的坐标(x,y)满足16</+9★25的概率.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】11：计算题.

【分析】(/)本题是一个古典概型，每颗骰子出现的点数都有6种情况，基本事件总

数为6X6个，满足条件的事件可以通过列举所有的事件，利用古典概型的概率公式

得到结果.

(//)本题是一个古典概型，每颗骰子出现的点数都有6种情况，基本事件总数为6

X6个，满足条件的事件可以通过列举分类得到，利用概率公式得到结果.

(///)记“点P坐标满足16</+y2<25”为事件C,则事件C有7个基本事件，再

利用概率公式得到结果.

【解答】解：每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6义6=36个.

(/)记“点尸在直线y=x上”为事件A,则事件A有6个基本事件，即4={(1,

1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},：.P(4)-6…(4分)

36~6

(〃)记“点P不在直线y=x+l上”为事件B,则“点P在直线y=x+l上”为事件

B，其中事件另有5个基本事件.即

乐{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),

P⑻=1-P(E)=1-臬关•…(8分)

3636

(///)记“点P坐标满足16</+y2W25”为事件C,则事件C有7个基本事件.即

C={(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},：.P(C)

=_L.…(12分)

36

【点评】本题考查古典概型的概率公式，考查利用列举法列举出事件，列举法是解

决概率问题的最好的一种方法，但是对于理科的学生有一定的局限性，不是所有的

都可以通过列举得到结果.

5.(2011春•秦州区校级月考)5张彩票，其中有1张有奖，4张无奖.每次从中任取1

张，不放回，连抽3张；

(1)计算恰有1张有奖的概率；

(2)计算至少有1张有奖的概率.

【考点】C2：概率及其性质；C6：等可能事件和等可能事件的概率.

4

考点突破•备战高考

【专题】11:计算题.

【分析】(1)由于每张中奖的概率都是工，则抽出的三张中恰有1张有奖的概率等

5

于支

5

(2)由题意可得抽出的三张中最多有1张有奖，其概率等于抽出的三张中恰有1张

有奖的概率上.

5

【解答】解：(1)5张彩票，其中有1张有奖，4张无奖，每次从中任取1张，不放

回，连抽3张，

则每张中奖的概率都是工，则抽出的三张中恰有1张有奖的概率等于2.

55

(2)由题意可得抽出的三张中最多有1张有奖，其概率等于抽出的三张中恰有1张

有奖的概率等于3.

5

【点评】本题主要考查等可能事件的概率，体现了转化的数学思想，属于中档题.

6.(2011春•巴南区校级期末)一种信号灯，只有符号“和“义”随机地反复出现,

每秒钟变化一次，每次变化只出现“和“X”两者之一，其中出现“的概

率为出现“x”的概率为2,若第机次出现“J"，记为⑨"=i,若第机次出现

33

"X"，则记为丽=-1,令S"=ai+a2+…+而，

(1)求S4=2的概率；

(2)求S120,S220,S320,且57=3的概率.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CS：概率的应用.

【分析】(1)欲求54=2的概率，需要先分析何时54=2,根据若第m次出现“J”,

记为am=1,若第机次出现“X”，则记为am=-1可知,出现了3次“J"，1次"X”,

再用n次独立重复试验某事件恰有k次发生的概率来计算即可.

(2)因为57=3,所以7次中出现了5次“J”，2次“X”，又因为Si'O,S220,

S320,所以第一次是“J”，第二次和第三次中至少有一次是“J”，再分第二次和

第三次中有一次是“V”和第二次和第三次中都是“V”，两种情况求出概率，相加

即为Si20,S220,S3》0,且S7=3的概率.

【解答】解：(1)；S4=2,...出现了3次“J”,1次“义”

二概率为c/x2x

381

(2)：Si20,S22o,S32o,且S7=3,

,出现了5次“J”，2次“X”，且第一次是“J”，第二次和第三次中至少有一次

是“J

5

考点突破-备战高考

52

第二次和第三次中有一次是“V"的概率为c21c43（2）=_^_

2187

52

第二次和第三次中都是“v”的概率为C42（工）（2）=_竺

2187

.••5120,S2》0,S320,且S7=3的概率为64醛=112

72921872187

【点评】本题主要考察了〃次独立重复试验某事件恰有k次发生的概率，其中需判

断所求情况中某事件出现的情况.

7.（2011•奉贤区二模）（文）设函数f（x）=ax+&（x>0）,a€R+-

x

（1）当a=2,解不等式/（x）>9

（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6）得到的点

数分别作为。和从求/（x）>启恒成立的概率.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】II：计算题.

【分析】（1）由题意可得：/（x）=2X+^>9，即可得到I0，再利

x〔2x"9x+4>0

用一元二次不等式的解法得到答案.

（2）利用基本不等式可得：f（x）1111n=4，所以由f（x）>必恒成立可得16a>

b4.首先计算出基本事件总数，再利用列举的方法得到此事件包含的基本事件，进而

根据等可能事件的概率公式得到答案.

【解答】解：（1）由题意可得：〃=2,

所以可得/（x）=2X+*>9，

X

fx>0

所以|0（3分）

2x-9x+4>0

解得：x€（0,1）U（4,+8）（6分），

所以不等式/（x）>9的解集为：（0,A-）U（4,+8）.

（2）根据题意并且结合基本不等式可得：f（x）>4立,所以f（x）^如=4«（8分）,

因为f（x）>启恒成立，

所以/（x），”加>店即可，即16心小（10分）.

由题意可得：基本事件总数为6X6=36,

当a=\时，b=l；

当。=2,3,4,5时，b=l,2,；

6

考点突破•备战高考

当“=6时，b=1,2,3；

目标事件包含的基本事件的个数为1+8+3=12.

所以/.（X）恒成立的概率，即16“＞乂的概率为2.（14分）

3

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握基本不等式、一元二次不等式的解法，以

及恒成立问题（即求函数的最值），此题考查了等可能事件的概率，解决此种问题一

般利用列举法或者借助于排列与组合，此题属于中档题，高考命题的热点之一.

8.（2011♦卢湾区校级三模）某市发行一种电脑彩票，从1到35这35个数中任选7个

不同的数作为一注，开奖号码为从35个数中抽出7个不同的数，若购买的一注号码

与这7个数字完全相同，即中一等奖；若购买的一注号码中有且仅有6个数与这7

个数中的6个数字相同，即中二等奖；若购买的一注号码中有且仅有5个数与这7

个数中的5个数字相同，即中三等奖.

（1）随机购买一注彩票中一等奖的概率是多少？随机购买一注彩票能中奖的概率是

多少？（结果可以用含组合数的分数表示）

（2）从问题（1）得到启发，试判断组合数CdGx""与G/"的大小关系，并从组合

的意义角度加以解释.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；D5：组合及组合数公式.

【专题】11：计算题.

【分析】（1）因为买一注彩票可能的情况有C351种，一等奖只有一种情况，所以概

率是后者除以前者.彩票中奖有三种情况，分别为中一等奖，中二等奖，中三等奖,

分别求出概率，再相加即可.

（2）因为Ck'C”-小厂/表示从攵个不同元素中取出1个元素，同时从〃-A个不同元

素中取出m-1个元素，表示从n个不同元素中取出m个元素，由（1）可知从n

个不同元素中取出m不同元素的组合数不小于将n个元素分成攵和拉-2两部分，然

后从2个元素中取/,从〃-匕个中取〃?个的方法数.

【解答】（1）购买一注彩票中一等奖的概率'

1c16724520

购买一注彩票能中奖的概率P2」+C“2；+C7c空•彘

C35

lmm

（2）a-cn.k'^cn

即从n个不同元素中取出m不同元素的组合数不小于将〃个元素分成k和〃-左两部

分，然后从k个元素中取/,从〃个中取"L/个的方法数.

【点评】本题主要考查了等可能性事件的概率，以及概率的意义，做题时要认真分

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考点突破•备战高考

析.

9.（2010•武汉模拟）已知一颗质地均匀的正方体骰子，其6个面上分别标有数字1、2、

3、4、5、6,现将其投掷4次，分别为

（1）所出现最大点数不大于3的概率；

（2）所出现最大点数恰为3的概率.

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】11：计算题；32：分类讨论.

【分析】（1）一颗骰子掷四次，第次出现的结果之间互不影响，每次出现最大点数

不大于3概率是工，由概率的乘法公式易求得事件“所出现最大点数不大于3”的概

2

率；

（2）法一：事件“出现最大点数恰为3”包括四次中出现一次，恰有两次,，恰有3

次，恰有4次出现的最大点数为3四个事件，先计算出事件”出现最大点数恰为3”

包括的基本事件数，而总的基本事件数为64个，由公式易求得概率；

法二：事件“出现最大点数恰为3”的概率等于事件“最大点数不大于3”的概率减

去事件“最大点数不大于2”的概率，易求得.

【解答】解：（1）掷一颗骰子1次，所得点数的所有情形有6种.

而点数不大于3的所有可能情形有3种

掷一颗骰子4次，点数不大于3的概率为p=m）4q_…（6分）

616

（2）法一：投掷一颗骰子4次，其最大点数为3,分别为恰有1次，恰有2次，恰

有3次，恰有4次出现的最大点数为3,共有C41*23+C42«22+C43«2+C44=65种

Cj-23+CJ'22+C^-2+CJ甑

.••最大点数恰为3的概率为pl-------%——------

法二：所求概率等于由最大点数不大于3的概率减去最大点数不大于2的概率，

【点评】本题考点是等可能事件的概率，解题的关键是理解题意，第一小题中关键

是理解事件“所出现最大点数不大于3”，由概率乘法公式计算出概率，第二小题关

键在于理解事件“出现最大点数恰为3”，法一采用了分类法，分别计算求概率，法

二用排除法求概率，对比发现，法二较简，且借助了（1）的结论，是较优秀的解法,

但其中的关系不易理解，题后注意体会其中的内涵，本题是概率的基本题，考查了

分类思想及排除法的技巧.

10.（2010•海门市一模）一个口袋中装有“个红球（〃》4且〃WN）和5个白球，从中

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摸两个球，两个球颜色相同则为中奖.

（I）若一次摸两个球，试用〃表示一次摸球中奖的概率p;

（II）若一次摸一个球，当"=4时，求二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率;

（III）在（I）的条件下，记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率为P,

当〃取多少时，P最大？

【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】11：计算题；12：应用题.

【分析-I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是一次摸奖从〃+5

个球中任选两个，满足条件的事件是两球不同色有G?C5i种，根据等可能事件的概

率得到结果.

（II）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数C81c满足条件的

事件是C41c3「C51c根据等可能事件的概率得到结果.

（///）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有二次中奖

的概率为P为P=P3（2）=C32»p2.（l-p）=3（p2-p3）,当p4r寸，p取得最大

值.得到〃的值.

【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是一次摸奖从n+5个球中任选两个，有C"+52种，

满足条件的事件是两球不同色有C/C51种，

2

根据等可能事件的概率得到一次摸奖中奖的概率p=l-n-n+20

)-2

(n+5)(n+4n+9n+20

（H）若〃=4,由题意知本题是一个等可能事件的概率

试验发生包含的事件数C81c

满足条件的事件是C41c3I+C5IC，

clcl+cjcl4

得到二次摸奖（每次摸奖后不放回）中奖的概率是P=43：

答：二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率为a..

9

（111）设每次摸奖中奖的概率为〃，则三次摸奖（每次摸奖后放回）

恰有二次中奖的概率为P为P=P3（2）=C32>P2<1-p）=3（p2_p3）,0<p<l,..

当n/j时，尸取得最大值.

乂P二］一•,解得77=20

(n+5)(n+4)-3

答：当〃=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率最大

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【点评】本题考查等可能事件的概率，考查等可能事件的概率的应用，这种问题可

以出现在大型考试的解答题目中，是一个综合题.

11.(2010•密云县一模)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,

1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若

取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中

三等奖.

(1)求中三等奖的概率；

(2)求中奖的概率.

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C6：等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】11：计算题；12：应用题.

【分析】(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件可以通

过列举得到，满足条件的事件从列举出的结果中得到，根据等可能事件的概率公式,

得到结果.

(2)本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件在前面一问己经做出，满

足条件的事件可以列举出所有的结果，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概

率公式，得到结果.

【解答】解：(1)设“中三等奖”为事件4,“中奖”为事件B,

从四个小球中有放回的取两个共有(0,0),(0,1),(0,2),

(0,3),(1,0),(1,1)(1,2),(1,3),(2,0),

(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)16种不同的结果

两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3),(2,2),(3,1)

两个小球号相加之和等于3的取法有4种：(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)

由互斥事件的加法公式得：p(A)=R-+J-hL，

161616

即中三等奖的概率为工；

16

(2)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；(0,3),(1,2),(2,1),(3,

0)

两个小球相加之和等于4的取法有3种:(1,3),(2,2),(3,1)

两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3),(3,2)

两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)

由互斥事件的加法公式得:

P(B)16161616-o8-

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考点突破•备战高考

即中奖的概率为：”.

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【点评】本题考查等可能事件的概率，考查互斥事件的概率，是一个同学们都感兴

趣的情景问题，是一个基础题.

12.(2010•山东校级三模)设一元二次方程A/+Bx+C=0,根据下列条件分别求解.

(1)若A=l,B、C是一枚骰子先后掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率；

(2)设B=-A,C=A-3,A随机的取实数使方程有实数根，求方程至少有一个非

负实数根的概率.

【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；C6：等可能事件和等可能事

件的概率.

【专题】H：计算题；12：应用题.

【分析】(1)由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件数36,满足条

件的事件是当A=1时Ax1+Bx+C=0,变为W+Bx+C=0方程有实数解得B2-400

显然列举出所有的事件，得到概率.

(2)由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是A随机的取实数使方程

有实数根，根据一元二次方程判别式得到A的范围，满足条件的事件是使得方程有

至少有一个非负实数根，根据对立事件的概率得到结果.

【解答】解：(1)由题意知本题是一个古典概型，

当A=1时A?+Bx+C=0,变为/+fir+C=0

方程有实数解得B1-400显然BW1

若8=2时C=l；1种

若8=3时C=l,2；2种

若B=4时C=l,2,3,4；4种

若5=5时C=l,2,3,4,5,6；6种

若8=6时C=l,2,3,4,5,6；6种故有19种，

方程有实数根的概率是工上

36

(2)B=-4,C=A-3,且方程有实数根，得

AWO,A=A2-4A(A-3)20,得0VAW4

而方程有两个负数根的条件是：AWO,A=A2-4A(A-3)20

R〉o

A

即3VAW4

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故方程有两个负数根的概率是生之=!

4-04

而方程至少有一个非负实数根的对立事件是方程有两个负数根故所求的概率为1-

1=_3

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【点评】本题考查等可能事件的概率，一元二次方程实根分布，是一个综合题，解

题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度.

13.（2010♦郑州二模）某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游