数学选择性必修第一册6数学选择性必修第一册12乘法公式与事件的独立性

1.2乘法公式与事件的独立性

伽喇―，E3圆朝因•I明前|预|习I川川川HW川川川勿勿川勿川勿川川I川川川川川川川川勿川.

［教材要点］

要点一相互独立事件的概念

如果事件A(或B)是否发生对事件B(或4)发生的概率影响，这样的两个事件就

叫作相互独立事件.

要点二相互独立事件的概率公式

P(AB)=.

要点三相互独立事件的性质

(1)若事件A与8相互独立，则P(B\A)=,P(A|B)=.

(2)若事件A,8相互独立，则A与瓦区与B,无与R也相互独立.

(3)若4，A2,―,A”相互独立，则尸(4A2…A")=.

状元随笔若事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B),从而P(AB)=P(A)P(B)；反

之，若P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,则已8)=鬻，再由P(B|A)=^可知P(B|A)=P(B),

•(.A)

因此事件A与事件B相互独立，从而P(AB)=P(A)P(B).

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“，错误的画“X”)

(1)对事件A和8，若P(8|A)=P(8),则事件A与8相互独立.()

(2)相互独立事件就是互斥事件.()

(3)对于任意两个事件，公式P(AB)=尸(A)P(B)都成立.()

(4)P(B|4)表示在事件4发生的条件下，事件8发生的概率，&A8)表示事件A,B同时

发生的概率.()

2.坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用4表示第一次摸得白球,

A2表示第二次摸得白球，则4与42是()

A.相互独立事件B.不相互独立事件

C.互斥事件D.对立事件

3.一个学生通过一种英语能力测试的概率是：，他连续测试两次，那么其中恰有一次通

过的概率是()

4.在某道路A,B,C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为

25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为.

“川川川川川川川川川川川川川川川川"川川I川川I川川川川"h国圆陶国・|课I堂解I透I小加加川州“川加川川川加加州加州川川川川川肺

题型一相互独立事件的判断

例1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令人=｛一个家庭

中既有男孩又有女孩｝,8=｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A与8

的独立性：

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩.

方弦何他

I.利用相互独立事件的定义(即P(A8)=P(4>P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独

立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握.

2.判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事

件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互

独立事件.

跟踪训练I从一副去除大、小王的扑克牌(52张)中任抽一张，设4=“抽得老K”，

B=“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立.

题型二相互独立事件同时发生的概率

例2面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A,B,C三个独

立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是9；，"求：

543

(1)他们都研制出疫苗的概率；

(2)他们都失败的概率；

(3)他们能够研制出疫苗的概率.

方法羽他

1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

(1)首先确定各事件之间是相互独立的；

(2)确定这些事件可以同时发生；

(3)求出每个事件的概率，再求积.

2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事

件是相互独立的，而且它们能同时发生.

跟踪训练2一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回,

求：

(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；

(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率.

题型三事件的相互独立性与互斥性

例3红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛，甲对4、乙对8、丙对

C各一盘.已知甲胜A、乙胜以丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相

互独立.求：

(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；

(2)求红队至少两名队员获胜的概率.

方凌阳的

1.本题(2)中用到直接法和间接法.当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法.

2.求复杂事件的概率一般可分三步进行：

(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；

(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；

(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.

跟踪训练3甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为;和"求:

34

(1)恰有一人能破译的概率；

(2)至多有一人能够破译的概率.

［课堂十分钟］

1.下列事件中，A,8是独立事件的是()

A.一枚硬币掷两次，(第一次为正面｝,8=｛第二次为反面｝

B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=｛第一次摸到白球｝,8=｛第二次摸

到白球｝

C.掷一枚骰子，A=｛出现点数为奇数｝,8=｛出现点数为偶数｝

D.A=｛人能活到20岁｝,8=｛人能活到50岁｝

2.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,

两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（）

A.0.12B.0.42

C.0.46D.0.88

3.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶

跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现

在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）

4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒

自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一

个准时响的概率是.

5.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为£乙当选的概率为|,丙当选

的概率为

10

（1）求恰有一名同学当选的概率;

（2）求至多有两人当选的概率.

1.2乘法公式与事件的独立性

新知初探•课前预习

要点一

没有

要点二

P(A)P(B)

要点三

(l)P(B)P(A)(3)P(AJ)P(A2)-P(A„)

［基础自测］

1.⑴J(2)X(3)X(4)J

2.解析：由概率的相关概念得4与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件.

答案：A

3.解析：由题意知，恰有一次通过的概率为：x(l—+

答案：C

4.解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为卷，g*在这条道路上匀

速行驶，则三处都不停车的概率为2=。*5*：=需.

12124192

效案.卫

末,192

题型探究•课堂解透

例I解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为◎={(男，男)，(男，女)，

(女，男)，(女，女)},它有4个基本事件，由等可能性知这4个基本事件的概率各为:这时A

={(男，女)，(女，男)},8={(男，男)，(男，女)，(女，男)},AB={(男，女)，(女，男)},

于是P(A)=：,P(8)="P(AB)=：,由此可知P(A8)#尸(4)P(8),所以事件A,B不相互独立.(2)

有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Q={(男，男，男)，(男，男，女)，

(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)},

由等可能性知这8个基本事件的概率均为这时A中含有6个基本事件，8中含有4个基

本事件，A8中含有3个基本事件.于是P(A)=:W，P(8)W=gP(AB)=l，显然有P(A8)

84828

=1=P(4)P(8)成立.从而事件4与8是相互独立的.

跟踪训练1解析：抽到老K的概率为P(A)=^=2，抽到红牌的概率P(B)=用=,

故P(A)P(B)=白事件A8为“既抽得老K又抽得红牌”，即“抽得红桃老K或方

块老K"，故尸(AB)=^=5，从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B互为独立事件.

例2解析：令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成

功研制出该疫苗，依题意可知，事件A,B,C相互独立，且P(A)=gP(B)=iP(O=；.

543

(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故

/WO=P(A)P(B)P(O=q1x1-x11

(2)他们都失败即事件xmr同时发生.

故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(O]

=(1"4)(1-汛1-9

4322

=—X-X-=一.

5435

(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系

可得所求事件的概率

P=1-P(A--B---C--)=1-^2=|.3

跟踪训练2解析：记”第1次取出的2个球都是白球”的事件为A,“第2次取出的

2个球都是红球”的事件为8,“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件

为C,很明显，由于每次取出后再放回，A,B,C都是相互独立事件.

£t£L=A13

⑴P(A8)=P(A)P(8)=xx

ClCj1010100,

故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是六.

；或_9

⑵P(CA)=P(C)P(A)=C663

ClCj101050,

故第1次取出的2个球中I个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概

率是看

例3解析：设甲胜A的事件为£>,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为尸，则D,E,F

分别表示甲不胜A、乙不胜8、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,

由对立事件的概率公式知P①)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=05

(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有OEP,D£F,DEF,以上3个事件彼此互斥且独

立.所以红队有且只有一名队员获胜的概率为

Pi=P(DEF+DEF+DED=P(»EF)+P(DEF)+P(DEF)=0.6X0.5X0.5+0.4X0.5X0.5

+0.4X0.5X0.5=0.35.

(2)方法一红队至少两人获胜的事件有：DEF,DEF,DEF,OER由于以上四个事件两

两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DEP)+P(DEF)

+P(DEF)+P(DEF)=0.6X0.5X0.5+0.6X0.5X0.5+0.4X0.5X0.5+0.6X0.5X0.5=0.55.

方法二“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜

为事件DEE且P(DEF)=0.4X0.5X0.5=0.1.

...红队至少两人获胜的概率为

P2=1-Pi-P(DEF)=1-0.35-0.1=0.55.

跟踪训练3解析：(1)“恰有一人能破译”为事件(AF)U(AB),又AE与AB互斥，所以

-1_5

P[(AB)U(AB)]=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=1x(1-i)4-(1-0X---------.

412

⑵“至多一人能破译”为事件(AE)U(AB)U(AH),而AB.AB、而互斥,故P[(AB)U

(AB)U(AB)]=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=|X1-3+

一1x1-{11

43.12,

［课堂十分钟］

1.解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故

A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C,其结果具

有唯一性，A,8应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件4的影响.

答案：A

2.解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(l-0.6)X(l—0.7)=0.12,

,至少有1人被录取的概率为1-0