用空间向量研究距离、夹角问题教案

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题⑴

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主

要学习运用空间向量解决计算空间距离问题。

在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转

化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几

何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.能用向量语言表示点到直线、点到平1.数学抽象：向量语言表述空间距离

面、互相平行的直线、互相平行的平面的2.逻辑推理：运用向量运算求解空间距离的原理；

距离问题.3.数学运算：空间向量的坐标运算解决空间距离问题.

B.能用向量方法解决点到直线、点到平

面、互相平行的直线、互相平行的平面的

距离问题.

教学重难点

1.教学重点：理解运用向量方法求空间距离的原理

2.教学难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一

个蔬菜存储库。

如何在公路上

选择一个点，修

一条公路到达通过生活中的

A点，要想使这现实情况，帮助学生

个路线长度理回顾空间距离的概

论上最短,应该如何设计？念，并提出运用向量

问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些？解空间距离的问题，

答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离；传

引导学生回顾空间

统方法和向量法.

中线线、线面、面面

二、探究新知

的平行问题的解法

一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离

方法，进一步体会空

1.点到直线的距离

间几何问题代数化

已知直线I的单位方向向量为是直线I上的定点，尸是直线I外一

点.设3?=a厕向量方在直线I上的投影向量而=(a-p)出点P到直线I的基本思想

的距离为PQ=Ja2-(a*2.

2.两条平行直线之间的距离

求两条平行直线l,m之间的距离，可在其中一条直线I上任取一点P,

则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.

点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线

外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某

一个平面内点到直线的距离问题.

1.已知正方体型R的棱长为2分分别是的中

点，则点A到直线EF的距离为.

答案：?

解析:如图，以点D为原点,D4,"7)Z)i所在直线分别为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系，则4(2,0,0)6(021)4(1,0,2),而=(1,-2,1),

FX=(1,0,-2),.：|BT|=Jl2+(-2)2+l2=V6,

•：直线斯的单位方向向量"=1(1,21),

O

•:点/到直线斯的距离

二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离

点到平面的距离由基本问题出

已知平面a的法向量为111A是平面a内的定点，尸是平面a外一发，让学生掌握运用

点.过点P作平面«的垂线/,交平面a于点。，则点P到平面a的距离空间向量解决空间

距离问题的基本原

理，实现将立体几何

问题向量化。发展学

生逻辑推理，数学抽

象和数学运算的核

点睛1实质上,n是直线I的方向向量，点P到平面«的距离就是而在

心素养。

直线/上的投影向量评的长度.

2.如果一条直线I与一个平面a平行，可在直线I上任取一点尸,将线面

距离转化为点尸到平面a的距离求解.

3.两个平行平面之间的距离

如果两个平面a，B互相平行，在其中一个平面a内任取一点尸,可将两

个平行平面的距离转化为点P到平面£的距离求解.

2.在正四棱柱ABCD-ABCD中，底面边长为2,侧棱长为4,则点8到

11111

平面4DC的距离为

1-------

答案：!解析:以D为坐标原点,D4QJDD所在直线分别为无轴,y

31

轴,Z轴,建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),q(0,0,4),%(2,2,4),

则前=(-2,2,0),丽=(-2,0,4),瓯*=(2-2,0),

设平面ADiC的法向量为n=(x,%z),

贝小•它°"弋浮:

(n-ADr=0,(-2x+4z=0.

取z=l厕x=y=2,所以n=(2,2,1).

所以点Bi到平面/DC的距离4=萼可=

I四J

三、典例解析

例L已知直三棱柱ABC-ABC中，A4=143=4,87=3,/48。=90。,求

1111

点B到直线AC的距离.

1।

-----------------

解:以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

邓4,0,1)£(。,3,1),所以直线*的方向向量

京=(-4,3,0),殖=(0,3,1),所以点B到直线4G的距离

监之一匹据T1。(丁=T

Ai\

x卜、

A、C

用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：

(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段；

(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点；

(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确.

延伸探究1例1中的条件不变，若分别是4%2c的中点，试求点

q到直线的距离.

解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略).

则M(2,0,l),N(2,|,0),Ci(0,3,l),

所以直线MN的方向向量为丽=福=(23,0),

通过典型例题

所以点G到MN的距离…西广瓯箫(=察的分析和解决，让学

生感受空间向量坐

延伸探究2将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱，求点

标运算在解决立体

B到AC的距离.

11几何问题的应用。发

解:以B为坐标原点,分别以BA,过B垂直于BA的直线,8%为x轴,y展学生数学抽象、逻

轴,z轴建立辑推理的核心素养。

如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)4(2,0,2),Ci(l,V3,2),

1

所以4c的方向向量京=(-l,V3,0)M=(1,V3,2),

所以点3到直线小G的距离

西匕瓯

d=r8-（亨）2=g=5

例2在三棱锥S-ABC中,AABC是边长为4的正三角形，平面SACX

平面ABC,SA=SC=2>/3

分别为AB,SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离.

思路分析借助平面SAC,平面ABC的性质，建立空间直角坐标系，先

求平面CMN的法向量，再求距离.

解:取AC的中点0,连接0SQB.

：'SA=SCAB=BC,.\AC±SOAC.LBO.

:‘平面SAC_L平面ABC,平面SACTI平面ABC=AC,

.：S0_L平面ABC.

又BOu平面ABC,/.SO±BO.

如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角

坐标系。孙z,则B(0,2V3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2V2),M(l,V3,0),M0,V3,V2).

.：CM=(3,V3,0),MW=(-l,0,V2),MB=(-l,V3,0).

设n=(x,%z)为平面CMN的一个法向量，

则巴.n=3x+fy=0,取zf

(MN，n=-x+\2z=0,

则x=V2,^=-V6,Zn=(V2,-V6,l).

•:点B到平面CMN的距离"上等=苧.

I叫3

求点到平面的距离的主要方法

(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.

(2)在三棱锥中用等体积法求解.

(3)向量法:4=暇(〃为平面的法向量H为平面上一点,M4为过点A

的斜线段)

跟踪训练1在直三棱柱中A41AB=8C=34C=2,。是AC的中点.

(1)求证：BC〃平面ABD-

11

⑵求直线qc到平面A产。的距离.

(1)证明:连接4B1交AiB于点瓦连接DE.

DE||&C,)

DEu平面4/。卜3。〃平面"山"

(2)解:因为BC〃平面ABD,所以8C到平面A8。的距离就等于点

1111

B到平面ABD的距离.

11

如图建立坐标系厕晶(0,2金,3)网0,22,0)4(-1,0,3),

砥=(0,2鱼,3),OB=(0,2V2,0),西=(-1,0,3).

0)通过典例解析，进一

设平面48。的法向量为n=(x,y/),所以/晔，n所以n=(3,0,l).

i-x+3z=0,

步让学生体会空间

所求距离为普=察.

向量坐标运算在解

决立体几何中的应

用，提升推理论证能

力，提高学生的数学

运算及逻辑推理的

核心素养。

x

金题典例如图，在直三棱柱ABC-ABC中,/

111

ABC=90°,BC=2,CC=4,点E在棱23±,£B=1Q,RG分别为

111

CC,BCAC的中点,EF与BD相交于点H.

iiiii1

⑴求证：8产，平面ABD;

(2)求证:平面EGP〃平面ABD-

(3)求平面EGF与平面ABD的距离.

BC

思路分析：根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距

离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距.

(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系，

设AB=a厕

Ai(a,0,0),Bi(0,0,0),Ci(0,2,0),F(0,l,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),

£)(0,2,2),Gg,l,0).

所以刑=(0,2,2),荏=(也,0,0),丽=(0,2,-2).

所以布•AB=0+0+0=0^D-BD=0+4-4=0.

所以瓦方1AB.B^D1BD,

所以3D±AB,BD±BD.

11

又ABCIBZ”氏所以BQ_L平面ABD.

i

⑵证明：由⑴可得四=(-a,0,0),BD=(0,2,-2),GF=

(30,0),丽=(0,1,-1),所以南=2就,而=2而,所以而WAB.EF||

~BD.

所以GF//AB,EF//BD.

又GFClEFuFABnBOuB,所以平面EGF〃平面A8£).

(3)解:由⑴⑵知，瓦方是平面EGF和平面ABD的法向量.

因为平面EG/〃平面所以点E到平面ABD的距离就是两平面

的距离，设为d.

因为丽=(0,0,3),瓦方=(0,2,2),

所以"=嚼金=卷声=乎•即两平面间的距离为竽.

总结：求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点,然后转

化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当，以方便

求解为主.

三、达标检测

L两平行平面a$分别经过坐标原点0和点A(2,1,1),且两平面的一个

通过练习巩固本

法向量n=(-l,0,l),则两平面间的距离是()

节所学知识，通过学

A.|B.yC.V3D.3V2

生解决问题，发展学

答案:B

生的数学运算、逻辑

解析：：•两平行平面a/分别经过坐标原点。和点/(2,1,1),

推理、数学建模的核

力?=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-l,0,l),

心素养。

•:两平面间的距离“中=修罗=及故选B.

\n\V22

2.若三棱锥尸48c的三条侧棱两两垂直，且满足尸A=PB=PC=1,则点尸

到平面4BC的距离是()

A.渔B.渔C.更D.出

6363

答案:D

解析:分别以尸4尸8尸C所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标

系(图略)，则4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面A2C的一个

法向量为n=(l,l,l),则4=等=当

3.如图，正方体A3CD-A8C。的棱长为1,0是平面A5CO的中心，

iiiiiiii

则0到平面ABCD的距离是()

11

AB

答案:B

解析健立坐标系如图，则4(1,0,0),5(1,1,0)0(0,0,1)0©，,1)

.:屈=(0,1,0),苑=(-1,0,1).

设n=(l,y/)是平面ABCiDi的一个法向量，

贝仙丝i=y=0,解得y=o,z=l,.：n=(l,O,l).

iAD^n=-1+z=0,

.:点。到平面N2C1A的距离为等=[=¥♦

\n\V24

B

4.RtA4BC的两条直角边8C=3〃C=4,PC，平面/8C,PC。则点尸到

斜边48的距离是.

答案：3

解析:以点C为坐标原点,C4,CB,CP所在直线分别为x轴j轴,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系.则4(4,0,0),8(0,3,0),P(0,0,

所以说=(-4,3,0),AP=(-4,0,

所以点P到AB的距离d=\\AP\2-(噜¥=+翼=3.

I\|/NZbZ5

5.棱长为1的正方体A5C0-ABCD中,M,N分别是线段BB乃C的