高中数学笔记

高中数学复习笔记

第一章集合

1一般地，研究对象统称为元素(element),一些元素组

成的总体叫集合(set),也简称集。

2元素与集合的关系；

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A,

记作a£A

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelong

to)A,记作a《A(或aA)(举例)

3常用数集及其记法

非负整数集(或自然数集)，记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

4任何一个集合是它本身的子集

5真子集的概念：若集合AqB,存在元素xeB且ceA,则称集

合A是集合B的真子集(propersubset)。记作：A*B(或

BSA)

6空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集(emptyset),记作：0

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

7集合基本运算的一些结论:

AnBoA,AnBoB,AAA=A,APl0=0,AAB=BAA

AoAUB,BcAUB,AUA=A,AU0=A/AUB=BUA

(CuA)UA=U,(CuA)AA=0

若AGB=A,则A=B,反之也成立

若AUB=B,则A^B,反之也成立

若x£(APB),则x£A且x£B

若x£(AUB),则x£A,或x£B

:AcA②A=B,且BqC,则AqC

第二章函数

§1.2.2函数的表示法

1.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使

对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)

和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数

(function).

记作：y=f(x),x£A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

{f(x)|x£A}叫做函数的值域(range).

2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

3一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对

应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X,在集合B中都有

唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A-B为从集合A

到集合B的一个映射(mapping).

记作“f：A-B”说明：(1)这两个集合有先后顺序，A到B

的射与B到A的映射是截不同的.其中f表示具体的对应法则，

可以用汉字叙述

补充：复合函数

如果y=f(u)(ueM),u=g(x)(xeA),则

y=f[g(x)]=F(x)(x£A)称为f、g的复合函数。

1.3.1函数的单调性

1.增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X],

X2，当Xi<X2时,都有f%)4%),那么就说f(X)在区间D上是增函

数(increasingfunction).

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函

数的局部性质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量X1，X2；当X1<X2

时，总有f(X“<f(X2)•

2.函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么

就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫

做y=f(x)的单调区间：

3.判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般

步骤：

①任取X1，X2£D,且X1<X2；

②作差f(Xi)-f(X2卜

(3)变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(Xi)—f(X2)的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

§1.3.2函数的奇偶性

1.偶函数(evenfunction)(偶函数的图象关于y轴对称)；

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2.奇函数(oddfunction)(奇函数的图象关于原点对称)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(—x)=

—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

注意：③作出相应结论：若f(—x)=f(x)

或f(—X)—f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(―

X)=­f(X)或f(―x)+f(X)=0,f(x)是奇

函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有

奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否

关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函

数.若对称，(1)再根据定义判定；(2)由f(~x)

士F34)或=±1来判定；⑶利用

定理，或借助函数的图象判定.

§1.3.1函数的最大(小)值

(一)函数最大(小)值定义

1.最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满

足：

(1)对于任意的x日,都有f(x)WM；

(2)存在X。曰,使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue).

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值

(MinimumValue)的定义.(学生活动)

注意：

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x°£/,

使得f(x0)=M；

②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即

对于任意的x£/,都有f(x)WM(f(x)NM).

2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法

①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

②利用图象求函数的最大(小)值

③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调

递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调

递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

§2.1.1指数

(一)指数与指数幕的运算

1.根式的概念

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根(nthroot),

其中”>1,且〃£N*.

当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根

是一个负数.此时，。的〃次方根用符号后表示.

式子后叫做根式(radical),这里“叫做根指数(radical

exponent),a叫做被开方数(radicand).

当〃是偶数时，正数的〃次方根有两个，这两个数互为相反

数.此时，正数。的正的〃次方根用符号后表示，负的〃次方根

用符号一Va表示.正的〃次方根与负的〃次方根可以合并成±,4a

(<7>0).

由此可得：负数没有偶次方根；。的任何次方根都是0,记作

Vo=0.

思考：(课本P58探究问题)历=。一定成立吗？.(学生活动)

结论：当〃是奇数时，Ga

当〃是偶数时，^=\a\=\a叱°)

分数指数骞

正数的分数指数基的意义

规定：

m__

an=(a>O,m,neN\n>V)

一见]1

an-——=.——(a>O,m,neN",n>1)

.有理指数基的运算性质

(1)ar•ar=a'+s(。>0,r,swQ);

(2)(优)'=a"(a>O,r,seQ);

(3)(ah)r=a1ax(a>O,b>O,reQ).

§2.1.2指数函数及其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数y=a，（a>o,且awl）叫做指数函数（exponential

function）,其中x是自变量，函数的定义域为R.

2.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

图象特征函数性质

a>10<a<la>10<a<l

向x、y轴正负方1可无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在X轴上方函数的值域为R+

函数图象都过定点（0,1）a°=1

自左向右看，自左向右看，

图象逐渐上图象逐渐下增函数减函数

升降

在第一象限在第一象限

内的图象纵内的图象纵x>0,ax>1x>0,ax<1

坐标都大于1坐标都小于1

在第二象限在第二象限

内的图象纵内的图象纵x<0,ax<1x<0,ax>1

坐标都小于1坐标都大于1

函数值开始函数值开始

图象上升趋图象上升趋增长较慢，到减小极快，到

势是越来越势是越来越了某一值后了某一值后

陡缓增长速度极减小速度较

快；慢；

课题：§221对数

1.对数的概念

一般地，如果优=N（a〉O,arl）,那么数x叫做以〃为底N的对

数（Logarithm）,记作：

x=k）g“N

a一底数，N—真数，k）g“N一对数式

说明：①注意底数的限制”0,且会1;

对数的性质

（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：log.1=0;

（3）底数的对数是1：log"=l；（4）对数恒等式：/"'=N；

（5）logaa"=n.

:§2.2.2对数函数（一）

（一）对数函数的概念

1.定义：函数y=log“x（a>0,且"1）叫做对数函数

（logarithmicfunction）

其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义,

注意辨别.如：^=21og2x,^^log5j都不是对数函数，而只能称

其为对数型函数.

②对数指数对数

（二）对数的运算性质

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么:

①loga(M,N)=log°M+log&N;

②k)g“=log,,M—log„N;

③log„M"=nlog„M(n€R).

注意：换底公式

logb-—(a>0,且awl;c>0>且cwl;

(llog,a

Z?>0).

利用换底公式推导下面的结论

n

(1)logb=—logfl/?;(2)logab=--^-—.

"m