高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第一册 不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异

【学习目标】

课程标准学科素养

1.尝试将实际问题转化为函数模型.1.数学建模

2.了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异.2.数学运算

3.会根据函数的增长差异选择函数模型.3.直观想象

【自主学习】

1.函数模型

一般地，设自变量为x,函数为乃并用x表示各相关量，然后根据问题的已知

条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实

际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.

2.三种常见函数模型的增长差异

指数函数对数函数一元一次函数

A

解析式y=a(a>l)y=logax______y=kx1k>0

单调性在(0,+8)上单调______

逐渐与y轴平

图象(随x的增大)逐渐与X轴平行直线逐渐上升

行

增长速度y的增长速度y的增长速度越

y值逐渐增加

(随X的增大)越来越____来越____

增长关系存在一个及，当x〉Ao时，a">kx>logax

思考：已知函数知x)=2*,g(x)=2x,h(x)=log2x.

(1)函数f(x),g(x),h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？

(2)函数f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同？

【小试牛刀】

.1.下列说法正确的个数是()

(1)函数尸logj_X的衰减速度越来越慢.

3

⑵增长速度不变的函数模型是一次函数模型.

(3)若a〉l,n〉0,对于任意位GR,一定有a'〉K.

A.0B.1

C.2D.3

1

2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说

法正确的是()

A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多

C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点

【经典例题】

题型一函数模型的增长差异

三种函数模型的增长规律：

(1)对于嘉函数y=x",当x>0,〃>0时，y=x"才是增函数，当〃越大时，

增长速度越快.

(2)指数函数与对数函数的递增前提是a>l,又它们的图象关于y=x对称,

从而可知，当a越大，y=a,增长越快；当a越小，y=logaX增长越快，一般来

说，a”>logaX(x>0,a>l).

(3)指数函数与募函数，当x>0,77>0,a>l时，可能开始时有但

因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值吊后，就一定有

例1四个变量%,%，%，%随变量x变化的数据如下表：

X151015202530

%226101226401626901

2321024327681.05X1063.36X1071.07X109

为2102030405060

%24.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于x呈指数函数变化的变量是.

［跟踪训练］1(1)下列函数中，增长速度最慢的是()

A.y=6*B.y=log6x

C.y=x6D.y=6x

⑵有一组数据如下表：

2

V1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的

一个是()

B.v=logir

A.v=log2t

t2—1

C.v=~~-D.v=2t—2.

题型二函数模型的选取

不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.

(4)募函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.

例2某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.

已知该公司近二年的汽车生产量如下

年份201620172018

表所不：

产量(万)81830

如果我们分别将2016,2017,2018,2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有

两个函数模型：二次函数模型f(x)=ax+bx+c(a^0),指数函数模型g(x)=

a•加+c(aW0,b>0,6W1),哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x

的关系？

［跟踪训练］2某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生

人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单

位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，

x

同时奖金不超过利润的20%现有三个奖励模型：y=0.2x,y=log5x,y=1.02,

其中哪个模型符合该校的要求？

3

【当堂达标】

1.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()

A.一次函数B.易函数

C.对数函数D.指数函数

2.下列函数中随x的增长而增长最快的是()

A.y=e'B.y=lnxC.D.y=2x

3.能使不等式1。82*/〈2"一定成立的、的取值区间是()

A.(0,+°°)B.(2,+°°)C.(—8,2)D.(4,+°°)

4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,

需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致是()

5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看,

更为有前途的生意是.(填序号)

①y=10X1.05，；②/=20+/5；③y=30+lg(x—l)；@y=50.

6.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+l),设这种动物

第1年有100只，则到第7年它们发展到只.

【参考答案】

【自主学习】

4

(a>1)递增快慢

思考答案：(1)函数f(x),g(x),h(x)随着X的增大，函数值增大

⑵各函数增长的速度不同，其中f(x)=T增长得最快，其次是g(x)=2x,最慢

的是h(x)=log2x

【小试牛刀】

1.C［解析］对于(1),由函数y=logj.x的图象可知其衰减速度越来越慢，

3

正确；对于(2),一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3),

如獴宠，错误.故选C.

2.D

【经典例题】

例1先［解析］以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.

从表格中可以看出，四个变量彷，八先,%均是从2开始变化，变量必，必，

%,%都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量%的增长速度最快，画出它

们的图象(图略)，可知变量先关于x呈指数函数变化.

［跟踪训练H(1)B［解析］对数函数的增长速度越来越慢.选B.

(2)C［解析］从表格中看到此函数为单调增函数，排除B,增长速度越来越快，

排除A和D,选C.

例2解建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8),(2,18),⑶30).

(1)构造二次函数模型F(x)=a/+Z?x+c(a^0),将点的坐标代入，

［a+b+c=8,□

可得|4a+26+c=18,□

〔9a+3b+c—3Q,

解得a=l,b=7,c=Q,

则f^x)=x+7x,

故/'(4)=44,与计划误差为1.

(2)构造指数函数模型g(x)=a•加+c(a#0,b>Q,6#1),

(ab-\-c=8,□

将点的坐标代入，可得〈a4+c=18,□解得a=1k95，b=w6，c=—42,

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〔a力3+c=30,

则g(x)=《-X。一42,故g(4)=F-xQJ—42=44.4,与计划误差为1.4.

由⑴(2)可得，/U)=f+7x模型能更