2024福建中考数学二轮专题训练 题型一 尺规作图 (含答案)

2024福建中考数学二轮专题训练题型一尺规作图典例精讲例如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＋DC＝BC.(1)在AD上作一点E，使BE⊥EC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)求证：△ABE∽△DEC.【思维教练】要满足AD上一点E使BE⊥EC，则点E在以线段BC为直径的圆上，作BC垂直平分线找到线段BC中点，再根据圆内半径相等即可作出点E；根据一线三垂直可判断角度关系，即可证相似．例题图针对训练1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°.(1)请用尺规作图法，过点A作BC的垂线，交BC于点D；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AC＝3，AB＝4，求△ABD的周长．第1题图2.如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为DC中点．(1)在BD上作一点F，使得△DCF∽△DBE；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)连接AF，若正方形ABCD的边长为2，求△ADF的面积．第2题图3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点E为AC中点．(1)在AC下方求作一点D，使得DE⊥AC，∠DAE＝∠BCA；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)连接CD，若AD＝1，sin∠DAE＝eq\f(2,3)，求eq\f(CD,CB)的值．第3题图4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点P，△PAB与△PDC的面积比为1∶4.(1)过点P作直线MN分别交AD、BC于点M、N，使BN＝eq\f(1,2)NC，AM＝eq\f(1,2)MD；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)若AB＝1，求MN的长．第4题图5.如图，已知点A、C分别是∠B两边上的定点．(1)求作：线段CD，使得DC∥AB，且CD＝AB，点D在点C的右侧；(要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)(2)M是BC的中点，求证：A，M，D三点在同一直线上．第5题图6.如图，△ABC为直角三角形，点O为AC中点．(1)求作四边形ABCD，使得AD∥BC，且AD＝DC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)求证：△DAC∽△OBC.第6题图参考答案例(1)解：如解图所示，点E即为所求；例题解图(2)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵BE⊥EC，即∠BEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC.1.解：(1)如解图，直线AD即为所求；第1题解图【作法提示】如解图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq\f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，线段AD即为所求．(2)∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(42＋32)＝5.∵cos∠ABD＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(4,5)，∴BD＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(16,5)，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(42－（\f(16,5)）2)＝eq\f(12,5)，∴△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝eq\f(48,5).2.解：(1)如解图，点F即为所求；(2)如解图，过点A作AH⊥BD于点H，∵正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，∴AD＝BC＝CD＝2，DE＝1，∴BD＝2eq\r(2)，AH＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).∵BD为正方形ABCD的一条对角线，∴∠ADF＝∠CDF，在△ADF和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD,∠ADF＝∠CDF,DF＝DF))，∴△ADF≌△CDF.∵△DCF∽△DBE，∴△ADF∽△BDE，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(AD,BD)，∴DF＝eq\f(AD·DE,BD)＝eq\f(2×1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴S△ADF＝eq\f(1,2)DF·AH＝eq\f(1,2).第2题解图3.解：(1)如解图，点D即为所求；(2)∵点E为AC中点，DE⊥AC，∴直线DE为AC的垂直平分线，∴DA＝DC＝1.∵AD＝1，sin∠DAE＝eq\f(2,3)，∴DE＝eq\f(2,3)，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\f(\r(5),3)，∴AC＝eq\f(2\r(5),3)，由(1)作图可知，∠DAE＝∠BCA，∴sin∠BCA＝eq\f(2,3)，∴AB＝eq\f(4\r(5),9)，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\f(10,9)，∴eq\f(CD,CB)＝eq\f(9,10).第3题解图4.解：(1)如解图，直线MN即为所求；(2)由(1)作图可知MN∥AB，∵AB∥CD，∴△CDP∽△ABP，∵S△PAB∶S△PDC＝1∶4，∵AB＝1，∴AB∶CD＝1∶2，∴CD＝2AB＝2，∵AB∥MN∥CD，∴△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，∴eq\f(MP,DC)＝eq\f(AM,AD)，eq\f(PN,DC)＝eq\f(BN,BC)，又∵BN＝eq\f(1,2)NC，AM＝eq\f(1,2)MD，∴eq\f(MP,DC)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(1,3)，eq\f(PN,DC)＝eq\f(BN,BC)＝eq\f(1,3)，∴MP＝PN＝eq\f(1,3)DC＝eq\f(2,3)，∴MN＝MP＋PN＝eq\f(4,3).第4题解图5.(1)解：如解图，线段CD即为所求；第5题解图(2)证明：如解图，连接AM，DM.∵CD∥AB，∴∠DCM＝∠B，在△DCM和△ABM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝BA,∠DCM＝∠B,CM＝BM))，∴△DCM≌△ABM(SAS)，∴∠CMD＝∠BMA，∵∠CMD＋∠BMD＝180°，∴∠AMB＋∠BMD＝180°.∴A，M，D三点在同一直线上．6.(1)解：如解图，四边