高中数学应用题型

高中数学应用题型

篇一：高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总

1.两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为

直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影

响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总

影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离

为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度

为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点

到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响

度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,

当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为

0.065.

(1)将y表示成x的函数；

(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在

一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度

最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理

由。解(1)如图，由题意知AC_LBC”

其中当时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

(2)令得所以即当时，即所以函数为单调减函数，当时，，

即所以函数为单调增函数.所以当时，即当C点到城A的距

离为时，函数有最小值

(注：该题可用基本不等式求最小值。)

2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，

根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(73勺0)时，

一年的产量为(11—x)2万件；若该企业所生产的产品全部销

售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理

的费用与产量成正比，比例系数为常数k(lWkW3)。

(1)求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函

数关系式；

(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利

润最大，并求最大利润.

(1)依题意,F(x)=(x-3)(11-x)2-k(ll-x)2=(x-3

-k)(ll-x)2,x£[7,10].

(2)因为F<x)=(ll—x)2—2(x—3—k)(U—x)=(U—x)(U

-x—2x+6+2k)

=(x-ll)[3x-(17+2k)].

由F，(x)=O,得x=ll(舍去)或x=.(6分)

因为lWkW3,所以三.

①当W7,即l<k<2时，F，(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)

在［7,10］上为减函数，所以［F(x)］max=F(7)=16(4—k).(9分)

②当7<<,即2<k<3时，［F(x)］max=F()=(8—k)3.(12

分)

即当l<k<2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最

大,为16(4—k)万元当2<kW3时，则每件产品出厂价为

元时，年利润最大，为(8—k)3万元.(14分)

3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x

千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，(万元)；

当年产量不小于80千件时，(万元).通过市场分析，若每

件售价为500元时，该厂当年生产该产品能全部销售完.

(1)写出年利润(万元)关于年产量x(千件)的函数

解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所

获利润最大，最大利润是多少

4.某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：

①职工工资固定支出元；②原材料费每件40元；

③电力与机器保养等费用为每件元，其中是该厂生产这

种产品的总件数.

(1)把每件产品的成本费(元)表示成产品件数的函数,

并求每件产品的最低成本费；

(2)如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品

能全部销售.根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数

有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？(总利

润=总销售额一总的成本)

篇二：2014年最新编辑高中数学一类应用题的统一解法

2014年最新编辑高中数学一类应用题的统一解法

有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠

使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为

与端点值的大小关系问题。

例1某种印刷品，单面印刷，其版面(如图中阴影部分)

排成矩形，版面面积为A,它的左右两边都要留宽为a的空

白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不

超过定值1。问：如何选择尺寸(纸张也是矩形)，才能使印

刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。

图1

解：设版面左、右长为x,上、下宽为y

则有A?xy(x0,y0)

设每张印刷品所用纸张面积为S则

S?(x?2a)(y?2b)?(A?4ab)?(2bx?2a?A)(0?x?l?2a)x

(1)当2a?aA?l时，b

2bx?2a?A?4,x

当且仅当2bx?2a?A时取“=”号，解得x?xaAbA,y?ba

即此时左右长为2a?aAbA,上下宽为2b?ba

(2)当2a?aA?l时b

aAb因为0?x?l?2a?

所以（l?2a）?x?0

第1页（共4页）

且bx?（l?2a）?b?

所以[b（l?2a）?aAaA??aAbb2AaA]?（bx?）l?2ax

?[（l?2a）?x]?b（l?2a）x?aA?0（l?2a）x

A用纸量最1?2a当x?l?2a时取等号，即选择左、右尺寸

为1,上、下尺寸为2b?

小。综上所述，当2a?

2b+aAaA?l时,选择左右尺寸为2a?时,上、下尺寸为bbbA;

a

当2a?aAA?l时，选择左、右尺寸为L上、下尺寸为2b?

所用纸量最小。bl?2a

例2一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距

s（千米），水速为常量p（千米/时），船在静水中的最大速

度为q（千米/时）（qp）。已知船每小时燃料费用（以元为单

位）与船在静水中速度v（千米/时）的平方成正比，比例系

数为ko

（I）把全程燃料费用y（元）表示为静水中速度v（千米

/时)的函数，并指出这个函数的定义域;

(II)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为

多少？

解：(I)依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为

S,全程燃料费用为：v?p

y?kv2?s,故所求函数及其定义域为：v?p

2sv2

y?kv??ks?,v?(p,q]v?pv?p

(II)由题意知k、s>v、p、q均为正数，且vp,故有

P2

y?ks[(v?p)??2p]v?p

?ks(2p?2p)?4ksp

当且仅当v?2p时上式取等号

若2p?q,则当v?2P时，全程燃料费用y最小。

第2页(共4页)

若2pq,当v?(p,q］时，有

v2q2

ks??ks?v?pq?p(q?v)(pq?pv?qv)?ks?(v?p)(q?p)

因p?v?q?2p,故v?p?O,q?p?O,q?v?O

又pq?pv?qv?pv?pv?qv?（2p?q）v?0v2q2

所以ks??ks?v?pq?p

当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用

最小。

综上知，为使全程燃料费用最小，当2p?q时，船的实际

前进速度为P；当2Pq时，船的实际前进速度应为q?p。

例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙

地,速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以

元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v

（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。

（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）

的函数，并指出这个函数的定义域；

（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解：（I）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s,全程运输成本为v

ssay?a??bv2??s（?bv）vvv

故所求函数及其定义域为：

ay?s?（?bv）,v?（0,v]v

（II）依题意知s,a,b,v都为正数，故有s（a?bv）?2sv

当且仅当a?bv,即v?va时上式中等号成立b

若a?c,则当v?ba时上式中等号成立b

若a?c,当v?（0,c]时,有b

第3页(共4页)

aas(?bv)?s(?bc)vc

aa?s[(?)?(bv?bc)]vcs?(c?v)(a?bcv)vc

因为c?v?O,且a?bc,故有a?bcv?a?bc?O所以s(

y最小。

综上知，为使全程运输成本y最小，当22aa?bv)?s(?bc),

且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时，全程运输成本

vcabab；当？c时行驶速度应为v?bbab?c时行驶速度应为

v=Cob

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篇三：江苏高考数学应用题题型归纳

GaoKao应用题题型归纳

在备考中，需要重点关注以下几方面问题：

1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤

其二次分式函数

、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视;

2.加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析

寻找等量关系式的训练要加强；3.对于由图标（尤其表格）

给出的函数应用题的训练要重视；

4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为

由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的

面积、体积的最值问题

5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作

答.“抓重点：等量关系是关键；破难点：变量思想是主线

一、利润问题

1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减

少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件

定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决

定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高

定价到.x元.公司拟投入l（x2?600）万元作为技改费用，投

入50万元作为固定宣传费用，投入lx万元作为浮动宣传费

用.试问：当该商品

65明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年

的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品

的每件定价.

2、某小商品2012年的价格为8元/件，年销量为a件，现

经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5

元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，

该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望

价格的差成反比，比例系数为k,该商品的成本价格为3元/

件。(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益(2)

设k

y与实际价格x的函数关系式。

?2a,当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商

2013年的收益比2012年至少增长20%?

kk)件，年收益y?(a?)(x?3),5.5?x?7.5,解：(1)设该商

品价格下降后为x元/件，销量增加到(a?

x?4x?4

2a

)(x?3)?(8?3)a?(l?20%)解之得x?6或4?x?5(2)当k?2a

时，有(a?

x?4

又5.5?x?7.5所以6?x?7.5

因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销

商2013年的收益比2012年至少增长20%o

3.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排,

决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电

网，安装这

种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积

(单位：平方米)成正比，比例系数约为05为了保证正常用

电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模

式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的

这种太阳

能电池板的面积x(单位:平方米)

电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解

释

).记F为该村安装这种太阳能供

C(0)的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；

(2)当x为多少平方米时,F取得最小值?最小值是多少万元

9*

4.某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且

每件商品需向总店交a(l?a?3)元的管理费，预计当每件商品

的售价为

x(7?x?9)元时，一年的销售量为(10?x)2万件.

(I)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的

售价x的函数关系式L(x)；(II)当每件商品的售价为多少

元时，该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.

5.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水

平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与

日产量X（万件）之间大体满足关系:

?1

,l?x?c,?（其中c为小于6的正常数）?6?x

P??

?2,x?c??3

（注：次品率=次品数/生产量，如P

?0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格

品）

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产

1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表

示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，

可获得最大利润？解：（1）当x?c时，P?

212,?T?x?2?x?l?0

333

2

119x?2x,?T?（l?）?x?2?（）?x?l?

6?x6?x6?x6?x

1

当l?x?c时，P?

综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关

系为：

?9x?2x2

,l?x?c(2)由(1)知，当x?c时，每天的盈利额为0?

T??6?x

?0,x?c?

当1?

2

x?c时，T?9x?2x?15?2[(6?x)?9]?15?12?3

6?x6?x

当且仅当x所以⑴当3?c

(ii)当l?c

?3时取等号

?6时，Tmax?3,此时x?3

(6?x)

(6?x)

2

?542(x?3)(x?9)知？3时，由T??2x?24x2?2

函数T?

9x?2x2在[1,3]上递增，9c?2c2,此时x?c?Tmax?

6?x6?c

综上，若3?c若l?c

?6,则当日产量为3万件时，可获得最大利润

?3,则当日产量为c万件时，可获得最大利润

6.为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计

划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的

住宅小区每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1000平

方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米

的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算，若每幢楼

为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元.

购地费用+所有建筑费用

(每平方米

平均综合费用所有建筑面积(1)求k的值；

(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合