2月大数据模拟卷01（江苏专用）（解析版）高中数学

2月大数据精选模拟卷01(江苏专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.设集合4={%|2<%<4},集合5={x|3x—728—2x},则集合AUB=（）

A.[2,+oo)B.[2,3)C.[3,4)D.[3,+00)

【答案】A

【详解】

解：化简8={x|3x-7N8—2x}得3={x|xN3},

所以=={x|xN2}

2.复数(2+3i)3(其中i为虚数单位)的虚部为()

A.9/B.-46/C.9D.-46

【答案】C

【详解】

解：（2+3i）3=（-5+12/）（2+3z）=-46+9z

所以（2+3i）3的虚部为9.

2h1

3.已知2b=1（。＞0力＞0）,则一+一的最小值等于（）

ah

A.3+2V2B.2V2+2C.3D.2V2-1

【答案】B

【详解】

因为a+2Z?=l（a>0力>0）,所以a=l—28>0,则

2

12b12Z?-1+11,11

所以一+—=-----+—=---------+—=-1+-----+-

abl-2bb\-2bbl-2bb

：）[（1_28+23]=_1+（,2b\-2bQ42bl-2h

-1+1+-----+-----+2=2+-----------F

\-2bb\-2bbJ1一2bh

1

/2bI—2b/T-

22+2./-----------=2+2y]2,

V-2bh

当且仅当々7=：^,即6=1-立时，等号成立；

\-2bb2

4.函数〃x)=上变四的部分图象大致是()

【答案】D

【详解】

解：函数的定义域为{X|XHO},故排除A,

、3N-COS(-2X)3W-COS2X

f{-x)=-----7~~=----：—=(x)，故函数为奇函数,

~x~x

由于时，cos2x>0,故xe(0,71时，/(X)=31，COS2X〉0,故排除BC；

所以D选项为正确答案.

5.设xeR,则“次|<1"是"d<]，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

2

【详解】

当|x|<l时,BP—1<x<1,

x—1=(x—l)(x-+x+l)<O=>x—1<0=>X<1,

因此由|X|<1能推出％3<1，

当/<i时，显然当x=—2时成立，但是Ix|<l不成立，

因此由％3<1不一定能推出

所以“1回<1”是“％3<1，，的充分不必要条件，

故选：A

6.琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、填、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器为弘扬中

国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续

安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种

乐器互不相邻的概率为()

11-71

A.B.-C.—D.—

36061515

【答案】B

【详解】

从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为41从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种

全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有可

种情况，故琵琶、：胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为反用.

1

一

所以所求的概率P一6-

7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术''曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之,

即立圆径意思是：球的体积丫乘16,除以9,再开立方，即为球的直径"，由此我们可以推测当时球的表

面积S计算公式为()

A.S=—d2B.S=—d2C.S=-cl2D.S=—d2

82214

【答案】A

【详解】

3

因为，附=d，所以\/=空=色I。|3,所以乃=*

91632

所以S=4万(邑

12।=4《*:豹’

22

8.已知椭圆E:工+乙=1的左、右焦点分别为耳，尸2，P为椭圆上一个动点，。为圆

95

M:f+y2_i0x_8y+4O=O上一个动点，则|产制+归。|的最大值为()

A.12B.V65+1C.11D.18

【答案】A

【详解】

由题意得：?(—2,0),F式2,0),根据椭圆的定义可得iP/l+lP/kZanG,

所以B匕|=6一|/乙］，

又圆“：/+/一10犬-8)，+40=0,变形可得(X—5>+(y—4)2=1,即圆心”(5,4),半径r=1，

所求归国+|PQ|的最大值，即求归耳|+归用|+厂的最大值，

\PF\+\PM\=6-\PF^+\PM\,

如图所示：

当P，B，M共线时，|加|一|0国有最大值，且为优M=J(5—2)2+42=5,

所以|尸盟+归闾=6-|尸图+|PM|的最大值为5+6=11，

所以|「耳|+|尸0的最大值,即|P£|+|PM|+r的最大值为11+1=12,

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

4

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知向量£=(—3,2),b=(—1,0),则下列选项正确的有()

A.(“+坂)B.(a-3^)±b

C.,―*&忖D.a2=b2+4a-b

【答案】ABD

【详解】

由题意，对于选项A,£+3=(—4,2),

所以C+人工=—4X(—1)+0=4,故A选项正确；

对于选项8,a-3^=(0,2),所以(£—3加)工=0，

所以(£—3加世人故8选项正确：

对于选项C,£+坂=(一2,2),\a-h\=^-2)2+22=272,呵=1,

所以卜―司=2j羽，故C选项错误;

对于选项。,a2=(-3)2+22=13,P+4«^=l+4[(-3)x(-l)+0]=13,

即。2=庐+4无6,故。选项正确；

故选：ABD.

10.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大.指数范围在：[0,50],

[51,1(X)],[101,2(X)],[201,3(刈，[301,5(刈分别对应“优”、“良”、“轻(中)度污染”、“中度(重)污染”、“重污

染''五个等级.下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有()

A.这14天中有4天空气质量指数为“良”

5

B.这14天中空气质量指数的中位数是103

C.从2日到5日空气质量越来越差

D.连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日

【答案】ACD

【详解】

14天中有：I日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A对；

14天中的中位数为：86+121=103.5,故8错；

2

从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C对；

观察折线图可知D答案显然成立.

故选：ACD.

11.若(l+x)+(l+x)2+L+(l+x)"+L,且q+a2H---1-an_t=125-ZJ,则下

列结论正确的是()

A.n-6

B.(l+2x)”展开式中二项式系数和为729

C.(1+X)+(1+%)2+L+(1+力”展开式中所有项系数和为126

D.4+2a,+3a3H--f-nan=321

【答案】ACD

【详解】

解：对于A,令x=l,可得2+2-+2,+…+2"=g+q+&+…++4，

rt

t2(l-2)

即-v—=«o+«i+«2+•••+«,.->+生j

1—z

,,+l

即CIQ+q+%+,••+a.-1+=2—2,CD

令x=0,得1+V+13+...+1"=%,即4=〃，②

由于(1+x)”的展开式中所以4=1,③

所以①-②-③得：%+/+•••+=2n+'-2-n-l=2n+'-n-3,

而q+/---1-125-n,

6

所以2"+|-〃_3=125—〃，解得：〃=6,故A正确;

对于B,由丁〃=6,则(1+2X)"=(1+2X)6,

所以展开式中：项式系数和为26=64,故B错误；

对于C,由丁〃=6,则(1+X)+(1+XY+L+(l+x)6的所有项系数为

2,,+|-2=27-2=126.故C正确；

对于D,由丁〃=6,则(l+x)+(l+x)~+L+(l+x)6=4+4%+生X2+1,

525

等式两边求导得：1+2(1+X)+3(1+X)2+—F6(1+X)=q+2a2x+3a3x+•••+6a6x,

令x=l,则1+2X2+3X2~+•••4-6x2''=q+2a、+3/+•••+64=321,故D正确.

jrTT

12.若将函数兀v)=cos(2x+V)的图象向左平移二个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是

12o

()

兀

A.g(x)的最小正周期为"B.g(x)在区间[0,上单调递减

C.后白-TT是函数g(x)的对称轴D.g(x)在[<TT,J口T上的最小值为1

12662

【答案】AD

【详解】

函数y(x)=cos(2r+A)的图象向左平移g个单位长度后得g(x)=cos2|+J+=cos[2x+g],最

128\8/12\3/

小正周期为兀，A正确；

TT

'：2k兀<2x^-—<7r-\-2k7r(keZ)

71717t7t

:.ki——Kx〈一+br(%£Z)为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为一二,；故B错;

63L63

jr冗k

令2xH—=k兀,得x=---1—肛左£Z,故C错；

362

71兀7"八2式TC1

XG[--,—],2xH--€0,—,/.cos(2xH—)w—,1,故D对

663332

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=eA+x(其中e为自然对数的底数)的图象在点(0,7(0))处的切线方程为.

7

【答案】y=2x+\

【详解】

因为r(x)=e*+l,所以/'(O)=e°+l=2,/(O)=e°+O=l,

所以切线方程为:y-l=2(x-0),即y=2x+l,

14.如图，水平广场上有一盏路灯挂在l()m长的电线杆上，记电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光

源，身高1.5m的女孩站在离点A5m的点8处.若女孩向点A前行4m到达点。.然后从点。出发，沿着以

6。为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为

3200

【答案】

^8?

【详解】

如图所示:

8

S

X

I

EA铲

“BNDA

设女孩在点BD处头顶EF的投影点分别为MN,

则EF=B£>=4,BE=DF=\.5,

EF10-1.5八0「

则——=------=0.85,

MN10

Qf)

所以肱7=巴，

17

因为女孩在移动的过程中比例关系不变,

所以当女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为对角线长为一的正方形，

17

匚口、।“不工”斗180803200

所以具面积为：5c=-x—X—=——

21717289

15.欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题47是著名

的毕达哥拉斯定理（勾股定理），书中给出了一种证明思路:如图，R/AABC中，NB4C=90°，四边形ABHL

、ACEG、5CQE都是正方形，ANIDE于■点、N,交8C于点M.先证石与AHBC全等，继而得

到矩形BENM与正方形ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACTG面积相等；进一步定

理可得证.在该图中，若tan/B4E=J，贝iJsin/BE4=.

3

9

G

LF

【答案】@

10

【详解】

设AB=k,AC=m,BC=n,可得公+/=/,

又AABE也△“5C，可得AE=CH=^Hl}+Cl3=^k2+[m+k^,

sinNBAE1

在八旬石中，tanZBAE=

cos/BAE3

13

又sin2N8AE+cos2/8AE=l，解得smZBAE="，cosNBAE=-^

A/IOvl(J

+AE?-BE：k2+(k+/〃y+k2-n2

由cosZBAE=

2ABAE2k^k2+(k+m)2

2k2+2km_k+m_3

Ikylllc+lkm+nr伍7+m2+2kmV10

化为Sk2-2km-nv=0，解得m=2k,

又k2+疗=,可得〃=亚k，

k_n

AB_BE

在△ABE中,,即sin/BEA一丁

sinZBEA~sinZBAE

Vio

V2

可得sinNBEA而

10

Y2>2

16.双曲线C：二=1（。>03>0）的左焦点为£A、B分别为C的左，右支上的点，。为坐标原点,

a~

若四边形ABOF为菱形，则C的离心率为.

【答案】V3+1.

【详解】

设右焦点为尸‘，连接A”'，过A作A“轴于”,

因为双曲线c关于y轴对称，四边形A3。尸为菱形,

所以|AB|=|O同=|AF|=c,|。川=仁川=],

所以NAFO=6()°，所以AELAE'，所以|AR'|=6C,

根据双曲线的定义可得|AF|—|AR|=6c—c=2a,

所以e=]=6+1,

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①2S,,+|=S“+1,②4=；，③S,=l-2q用这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解

答.

己知数列｛｝的前〃项和为s“，满足；又知正项等差数列｛2｝满足乙=3,且乙，4一2,瓦

成等比数列.

（1）求｛4｝和｛。,｝的通项公式;

b

（2）设求数列｛%｝的前项和7；.

11

【详解】

(1)选择①②：

由2S〃+]=S”+ln当时，有2Sn=S,』+1,

1

两式相减得：2«用=〃〃，即--二弓，n>2.

anZ

/、11%1

又当〃=1时，有2s2=S]+l=2(q+%),又%,J4=—，7=5也适合，

42"]

所以数列｛凡｝是首项、公比均为1的等比数列，所以4=(，]；

选择：②③：

由S〃=1一2。〃+]=当〃之2时，S“_]=1-2an,

an^1

两式相减得：an=-2an+l+2aH,即‘包=5，n>2.

an2

-11%1

又当〃=1时，有Siul—Zwnq,又・.・a=一,.♦.q=一，­=彳也适合，

-4।2q2

1(1\rt

所以数列｛4｝是首项、公比均为不的等比数列，所以%=-:

选择①③：

由2s“+|=S“+1,Sa=1-2a“+],则2s“+]=+1=2-2an+]

即S.+i=1-,所以S"=1-a“，(〃>1),

两式相减可得：4用=ga.(〃>1),

当〃=1时，由2s“+]=S〃+1,得2s2=3+1,即2(q+%)S2=4+1,即G+2a2=1

ll|5„=l-2a„+l,得号=1-24,即6=1-24,与上式相同，不能求出力的值.

故不能选择①③

1(1\rt

所以数列｛4｝是首项、公比均为5的等比数列，所以%=-;

2\27

设正项等差数列他J的公差为“，=3,且4，a一2,打成等比数列,

12

...(4—2)2=44，即(3+24—2)2=3(3+64),解得：〃=4或。=—；(舍),

二2=3+4(〃-1)=4〃-1,故a“=-,bn=4n-\.

(2)c“=(4〃-l)x2"

所以(=3x2i+7x2?+11x23+…+(4〃-l)x2",

则27；,=3X22+7x23+…+(4〃-5)x2"+(4〃-l)x2"",

两式相减得-7；=6+4(2?+2?+…+2")-(4"-1)x2"+,

=6+4=4(1-2"’)一(4〃一1*2川=一1。+2用(5一4〃).

1-2''

/.7；,=10+2,,+|(4〃一5)

18.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知氏osA+Y^a=

c.

3

(2)如图，。为AABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D=2B,且AD=1,C£>=3,BC=&,求

A3的长.

【详解】

解(1)在AABC中，山正弦定理得

sinBcosA+V3

sinA=sinC,

3

又C=TT—(A+B),

所以sinBcosA+—sinA=sin(A+B),

3

故sinBcos4+V3

sinA=sinAcosZ?+cosAsinB,

3

13

所以sinAcosB=—sinA,

3

又4£(0,兀),所以sinA#),故cos8=---

3

(2)因为。=25,所以cos£)=2cos%—1=—』

3

又在八48中，AO=1,CL>=3,

所以由余弦定理可得+

=1+9-2X3X=12,

所以AC=2&，

巧

在AABC中，BC=a，AC—2s/3>cosB———，

3

所以由余弦定理可得A^nA^+BC2-2AABCcosB,

即12=AB2+6-248XJ^X«I,化简得AB—2&AB-6=0,

解得AB=372-

19.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次

注射到这些小白鼠体内.独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率

分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）:

频率

0.18

s

06

o.05

03

02O

1113151719212325医学指标值

（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x（同一组数据用该组数据区间的中点

值表示）；

（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指

14

标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白

鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体.这里〃近似为小

白鼠医学指标平均值工，(7?近似为样本方差S?.经计算得S?=6.92,假设两次注射疫苗相互独立，求一

只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率。(精确到0.01).

附：参考数据与公式

V6.92«2.63.若则①P(〃一X<//+(T)=0.6827；②

P"-2b<X<j.i+2cr)-0.9545；③3b<XW〃+3cr)=0.9973.

【答案】(1)17.4：(2)0.94.

【详解】

⑴x=0.02x12x2+0.06x14x2+0.14x16x2+0.18x18x2+0.05x20x2

+0.03x22x2+0.02x24x2=17.4

(2)〃一cr=17.40—2.63=14.77

P(x>//-(T)=0.6827+1-°^82-=0.8414

记事件A表示首先注射疫苗后产生抗体，则

尸(A)=尸(x>14.77)=P(x>ju-a)=0.8414,

因此100只小鼠首先注射疫苗看有100x0.8414,84只产生抗体，有100—84=16只没有产生抗体.故注

射疫苗后产生抗体的概率P=过虫=0.94.

100

20.如图菱形ABC。中，ZABC=60°,AC与BO相交于点O，平面ABC。，CF//AE,

AB=AE=4.

(1)求证：301•平面ACFE；

(2)当直线F0与平面BED所成的角为四时，求异面直线■与跖所成的角的余弦值大小.

【详解】

15

（1）因为四边形A8CO是菱形，

所以8。，AC.

因为AE，平面ABC。，Mu平面ABC。，

所以5O_LAE.

因为ACcA£=A,

所以30,平面ACFE.

（2）以。为原点，0A，丽的方向为％,V轴正方向，过。且平行于CF的宜线为z轴（向上为正方向）,

建立空间直角坐标系，如图所示：

则3(0,2后0),£>(0,-2月⑼,E(2,0,4),F(-2,0,a)(a>0).OF=(-2,0,a).

设平面E8D的法向量为〃=(x,y,z),

,.n-OB=0[VJy=0,

则有｛_，即<-

n-OE=Q[x+2z=0,

令z=l，则A=(-2,0,1),

由题意EO与平面BED所成的正弦值为也，

2

.也COS

"2

因为〃>0,

所以。=6.

所以砺=(—2,0,6),=(2,-273,4),

OFBE-4+2475

所以cos(OF,3E)=

J词.阿「胸病—4

16

故异面直线OF与班所成的角的余弦值为且.

4

21.已知椭圆C：二+4=1(4>〃>())的离心率为立，右顶点、上顶点分别为A、B,原点。到

a2b22

直线AB的距离为如必.

6

(1)求椭圆C的方程；

(2)若尸，。为椭圆C上两不同点，线段PQ的中点为M.

①当M的坐标为(1,1)时，求直线PQ的直线方程

②当三角形OPQ面积等于0时，求10Ml的取值范围.

【详解】

解：(1)设直线AN:2+'=1,即法+做一次?=。，

ab

cib

所以。到直线AB的距离为——=,而，所以“2+加=6,

yla2+b2yja2+h26

fc0

e=—=——

a2(2-422

又因为所以1",=,所以椭圆。的方程为：工+二=1;

2=6g42

(2)①因为PQ的中点为且PQ的斜率存在，设尸(x，y),Q5,%),

所以｛LI：所以储-引=一2("£),所以，=-2无资，

%2+，%—4y十)2人1人2

,V.-K1

又因为%+%=2,y+%=2,所以即0=3_^=—彳，

所以PQ的直线方程为：=即x+2y—3=0；

](x2\

②若直线PQ垂直于x轴，则#/x2M=0nxj2--六=2=x；=2

\/

=xj=2,加=0,所以|。制=夜

若直线PQ不垂直于x轴，设直线P。方程：y=kx+m(m^0),。(3,%),。(々,必),