黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2022-2023学年数学高三上期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线是曲线的切线，则（）A．或1 B．或2 C．或 D．或12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点（设点位于第一象限），过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线交轴于点，若，则直线的斜率为A．1 B． C． D．3．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A． B． C． D．4．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（）A． B． C． D．6．已知，满足约束条件，则的最大值为A． B． C． D．7．已知数列中，，()，则等于（）A． B． C． D．28．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（）A． B． C． D．9．已知集合，，若AB，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知等差数列中，，，则数列的前10项和（）A．100 B．210 C．380 D．40011．设，，是非零向量.若，则（）A． B． C． D．12．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小值为________________.14．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．15．在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号）16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围.18．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.（1）求线段的长；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.20．（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.21．（12分）在△ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.22．（10分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.【详解】直线的斜率为，对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.故选：D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.2、C【解析】

根据抛物线定义，可得，，又，所以，所以，设，则，则，所以，所以直线的斜率．故选C．3、C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.4、C【解析】

分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、D【解析】

通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得．故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、D【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，等价于，作直线，向上平移，易知当直线经过点时最大，所以，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7、A【解析】

分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.8、B【解析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.【详解】因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.故选：B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.9、D【解析】

先化简，再根据，且AB求解.【详解】因为，又因为，且AB，所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、B【解析】

设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】设公差为，，，,.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.11、D【解析】试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12、A【解析】

阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得的最小值.【详解】解：将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，可得的图象.根据图象与的图象关于轴对称，可得，，，即时，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.14、9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①；②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③；④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④.【详解】①∵，∴平面

，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确；

②在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正确；③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.则:，，所以，设面的法向量为，则，即，令，则，设面的法向量为，，即，，由图示可知，二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为，所以③不正确；④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，则，所以，当点在点时，在一条直线上，取得最小值.因为正方体的棱长为2，所以设点的坐标为，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正确.

故答案为：①②④.【点睛】本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.16、【解析】由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性关系即可求出.（2）解法一：分类讨论：当时，观察式子可得恒成立；当时，利用导数判断函数为单调递增，可知；当时，令，由，，根据零点存在性定理可得，进而可得在上，单调递减，即不满足题意；解法二：通过分离参数可知条件等价于恒成立，进而记，问题转化为求在上的最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论.【详解】（1）当，，，，令，解得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：当时，函数，若时，此时对任意都有，所以恒成立；若时，对任意都有，，所以，所以在上为增函数，所以，即时满足题意；若时，令，则，所以在上单调递增，，，可知，一定存在使得，且当时，，所以在上，单调递减，从而有时，，不满足题意；综上可知，实数a的取值范围为.解法二：当时，函数，又当时，，对一切恒成立等价于恒成立，记，其中，则，令，则，在上单调递增，，恒成立，从而在上单调递增，，由洛比达法则可知，，，解得.实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，考查了分类与整合的解题思想，涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题.18、（1）（2）【解析】

（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意，，设与交于点，在中，可求得，则，可求得，则（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系.，，，，，易得平面的法向量为.，，易得平面的法向量为.设二面角为，由图可知为锐角，所以.即二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.试题解析：（1）的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离.∵，∴当时，d有最大值.又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，∴的最大值为.20、（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解析