《数字电子技术》-第1章数字电路基础

21世纪高职高专规划教材

数字电子技术绪论0.1数字信号与模拟信号0.2数字电路的特点与分类返回主目录0.3数字集成电路的发展趋势退出模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。0.1数字信号与模拟信号0.2数字电路的特点与分类1.数字电路的特点（1）电路结构简单，稳定可靠。数字电路只要能区分高电平和低电平即可，对元件的精度要求不高，因此有利于实现数字电路集成化。（2）数字信号在传递时采用高、低电平两个值，因此数字电路抗干扰能力强，不易受外界干扰。（3）数字电路不仅能完成数值运算，还可以进行逻辑运算和判断，因此数字电路又称为数字逻辑电路或数字电路与逻辑设计。（4）数字电路中元件处于开关状态，功耗较小。由于数字电路具有上述特点，故发展十分迅速，在计算机、数字通信、自动控制、数字仪器及家用电器等技术领域中得到广泛的应用。（2）按电路所用器件分为双极型（如TTL、ECL、I2L、HTL）和单极型（如NMOS、PMOS、CMOS）电路。

（3）按电路逻辑功能分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。

（1）按电路组成结构分为分立元件和集成电路两大类。其中集成电路按集成度（在一块硅片上包含的逻辑门电路或元件的数量）可分为小规模（SSI）、中规模（MSI）、大规模（LSI）和超大规模（VLSI）集成电路。

2.数字电路的分类0.3数字集成电路的发展趋势

1．大规模。2．低功耗。3．高速度。4．可编程。5．可测试。6．多值化。第1章数字电路基础学习要点：数字电路基本逻辑、复合逻辑逻辑函数基本定律、常用公式逻辑函数代数化简法逻辑函数卡诺图化简法第1章数字电路基础

1.1数制与代码

1.2逻辑函数

退出返回主目录1.3逻辑代数的基本定律和运算规则

1.4逻辑函数的代数化简法

1.5逻辑函数的卡诺图化简

1.6逻辑函数的常用表达形式

1数制与代码1.1.1常用数制1.1.2数制转换1.1.3代码退出返回上一级1.1.1常用数制1、十进制数码为：0～9；基数（数码个数）是10。运算规律：逢十进一，借一当十。用下标“10”或“D”（Decimal的缩写）表示。各个数码处于十进制数的不同数位时，所代表的数值是不同的。（位权）十进制数的权展开式：十进制数的任意一个数码

整数部分数位

小数部分数位

2、二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，借一当二。下标通常用2或B（Binary的缩写）表示。

二进制数的权展开式：二进制数只有0和1两个数码，可以用电路的高低电平来实现。(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，借一当八。下标可用8或O（Octadic的缩写）表示。八进制数的权展开式：3、八进制4、十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，借一当十六。小标可用16或H（Hex的缩写）表示

十六进制数的权展开式：例如，(BD2.3C)16=11×162+13×161+2×160+3×16-1+12×16-2

例如，(107.4)8=1×82+0×81+7×80+4×8-1

八进制和十六进制主要用于书写程序、指令。十六进制数还经常用来表示内存的地址。1.1.2数制转换1、非十进制数转换为十进制数

R进制数转换为十进制数时只要写出R进制数的按位权展开式，然后将各项数值按十进制计算规则相加，就可得到等值的十进制数。

【例1-1】（1）将二进制数(10101.11)2转换为十进制数。（2）将八进制数(165.2)8转换为十进制数。（3）将十六进制数(2A.8)16转换为十进制数。解：（1）(10101.11)2=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=(21.75)10

（2）(165.2)8=1×82+6×81+5×80+2×8-1=(117.25)10

（3）(2A.8)16=2×161+10×160+8×16-1=(42.5)10

整数部分采用除基取余法，倒序。小数部分采用乘基取整法，正序。所以：(43.6875)10=01011.1011)22．十进制数转换为其他进制数

3．二进制数和八、十六进制数之间的转换

（1）二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。

（3）二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。 【例1-3】

【例1-3】

1.1.3代码

人们在交换信息时，可以通过一定的信号或符号来进行。这些信号或符号的含义是人们事先约定而赋予的。同一信号或符号，由于人们约定不同，可以在不同场合有不同的含义。在数字系统中，需要把十进制数的数值、不同的文字、符号等其他信息用二进制数码来表示才能处理。用来表示某一特定信息的二进制数码称为代码。这里必须指出的是，二进制码不一定表示二进制数，它的含义是人们预先约定而赋予的。建立这种代码与所表示信息一一对应的关系称为编码。若需要编码的信息有N项，则需要的二进制数码的位数n应满足2n≥N1．二—十进制码（BCD码）用四位二进制数码表示一位十进制数码的编码方法称为二—十进制码，简称BCD（BinaryCodedDecimal）码。

常用的BCD码有8421码、2421码、5421码、余3码等。

8421码+0011【例1-5】将(138)10转换为对应的8421BCD码。解：138000100111000即(138)10=(000100111000)8421BCD【例1-6】将(100100000011.10000101)8421BCD码转换为对应的十进制数。解：100100000011.10000101903.85即(100100000011.10000101)8421BCD=(903.85)102．可靠性代码（1）格雷码。

特点是两个相邻代码之间仅有一位数码不同。

（2）奇偶校验码。

奇偶校验码可以检测一位错误的代码，它由信息位和校验位两部分组成。信息位可以是任何一种二进制代码，代表着要传输的信息。校验位仅有一位，它可以放在信息位的前面，也可以放在信息位的后面。

1）使每一个码组中信息位和校验位的“1”的总个数为奇数，称为奇校验。2）使每一个码组中信息位和校验位的“1”的总个数为偶数，称为偶校验。

接收方对接收到的奇偶校验码进行检测，确定每个码组中的“1”的个数是否与约定的相符；若不相符，则为错码。

奇偶校验码方法只能检测一位错码。

第1.2逻辑函数

1.2.2

三种基本逻辑关系与基本逻辑门

1.2.3常用复合逻辑

1.2.4逻辑函数及其表示方法

退出1.2.1基本概念

返回上一级

二进制数中的“1”和“0”不仅能够表示二进制数，还可以表示许多对立的逻辑状态。在分析和设计数字电路时，所用的数学工具是逻辑代数，又称布尔代数。

1．逻辑变量逻辑代数和普通代数一样，用字母A、B、C、…、X、Y、Z等代表变量，称为逻辑变量。但这两种代数中变量的含义有本质的区别，逻辑代数中的变量只有两种取值0或1。0和1并不表示数量的大小，而只是表示两种对立的逻辑状态，即“是”与“非”、“开”与“关”、“真”与“假”、“高”与“低”等。

2．逻辑关系通常，把反映“条件”和“结果”之间的关系称为逻辑关系。如果以电路的输入信号反映“条件”，以输出信号反映“结果”，此时各输入、输出之间也存在确定的逻辑关系。1.2.1基本概念

3．正逻辑和负逻辑根据1和0代表逻辑状态的含义不同，有正、负逻辑之分。例如，认定“1”表示事件发生，“0”表示事件不发生，则形成正逻辑系统；反之则形成负逻辑系统。

1.2.2三种基本逻辑关系与基本逻辑门1．与逻辑和与门

只有当决定某一事件的所有条件全部具备时，这一事件才会发生，这种逻辑关系称为与逻辑。

表达式为：Y=A·B…=AB…A·B读作A与B

例如，开关A，B串联控制灯泡Y如果用0和1来表示逻辑状态，设开关断开用0表示，闭合用1表示，灯灭用0表示，灯亮用1表示，则可得表1-4。根据真值表可得出与逻辑运算的运算规则为0·0=00·1=01·0=01·1=1

这种用逻辑变量的取值反映逻辑关系得表格称为逻辑真值表。

“全1出1、有0出0”

实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：2．或逻辑和或门

当决定某一事件的所有条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，这一事件就发生，这种逻辑关系称为或逻辑。表达式为：

Y=A+B

A+B读作A或B

例如，开关A，B并联控制灯泡Y如果用0和1来表示逻辑状态，开关断开用0表示，闭合用1表示，灯灭用0表示，灯亮用1表示，可得或逻辑真值表1-5。

根据真值表可得出与逻辑运算的运算规则为0+0=00+1=11+0=11+1=1“全0出0、有1出1”

实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：3．非逻辑和非门

当决定某一事件的惟一条件具备时，该事件不发生；而条件不具备时，该事件发生，这种逻辑关系称为“非”逻辑。表达式为：读作A非

Y=例如，单开关控制电路可实现非逻辑关系。

“全0出0、有1出1”

当开关A闭合时，灯Y不亮；而当开关A断开时，灯Y亮。可得或逻辑真值表1-6。

实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：根据真值表可得出与逻辑运算的运算规则为

1.2.3常用复合逻辑1．与非逻辑

逻辑表达式为：真值表为：电路符号为：“全1出0、有0出1”

逻辑表达式为：真值表为：电路符号为：“全0出1、有1出0”

2．或非逻辑

逻辑表达式为：真值表为：电路符号为：3．与或非逻辑

逻辑表达式为：真值表为：电路符号为：“相同为0、相异为1”

4．异或逻辑

逻辑表达式为：真值表为：电路符号为：“相同为1、相异为0”5．同或逻辑

在数字系统中，无论逻辑电路是简单还是复杂，逻辑变量是少还是多，输入变量与输出变量之间的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述，或用三种基本逻辑运算组合而成。逻辑函数的表示方法有逻辑真值表（简称真值表）、逻辑函数表达式（也称表达式）、逻辑图、工作波形图及卡诺图五种形式。

逻辑真值表是将输入变量（设有n个）的各种可能取值组合（2n）和相应的函数值排列在一起组成的表格。一个确定的逻辑函数只有一个逻辑真值表，即真值表具有惟一性。真值表能够直观、明了地反映输入变量取值和函数值的对应关系，即逻辑功能。1.2.4逻辑函数及其表示方法1．真值表

逻辑函数表达式是一种用与、或、非等逻辑运算组合起来的表达式。用它表示逻辑函数，形式简洁，书写方便，便于推演、变换。同一逻辑函数可以有多种形式的逻辑函数表达式。

2．逻辑函数表达式

通过真值表可以直接写出逻辑函数表达式。方法是将真值表中Y为1的输入变量相与，取值为1用原变量表示，0用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑表达式。这样得到的逻辑函数表达式是标准与－或逻辑式。

逻辑图就是以逻辑符号及连线表示逻辑关系而构成的图形。逻辑函数中的每一个表达式所代表的逻辑功能都可以用相应的逻辑图来实现。

根据逻辑图，很容易确认可以选用的门电路。3．逻辑图

由于各种表示方法都是描述同一逻辑函数，它们之间是可以相互转换的。

4．各种表示方法间的相互转换【例1-7】表1-11是某逻辑函数的真值表，试将它转换成逻辑表达式，并画出逻辑图。解：由真值表写出逻辑表达式，可采用“与或标准型”表达式写出。

由逻辑表达式画出逻辑图的方法是：把函数表达式中的非号、逻辑乘号和逻辑加号等分别用相应的门电路逻辑符号表示，可画出如图1-10所示的逻辑图。

图1-10例1-7的逻辑图【例1-9】已知函数Y的逻辑图如图1-12所示，写出函数Y的逻辑表达式，并列出其真值表。

解：由逻辑图逐级写出输出端表达式：Y1=AB

Y2=Y=Y1+Y2=AB+把A、B的所有取值组合逐一代入表达式中进行计算，可得出它的真值表如表1-13所示。从真值表可知该电路为同或逻辑电路。

图1-12例1-9的逻辑图

1.3逻辑代数的基本定律和运算规则

1.3.2常用公式

1.3.3基本规则

退出1.3.1基本定律

返回上一级1.3.1基本定律分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。如证明反演律：1.3.2常用公式

（4）公式AB++BCD=AB+证明：AB++BCD=AB++BC+BCD=AB++BC(1+D)=AB++BC=AB+

=AB(1+C)+(1+B)=AB+（1）公式

AB+=A

证明：AB+=A(B+)=A·1=A（2）公式A+=A+B

证明：A+=(A+)(A+B)=A+B（3）公式AB++BC=AB+

证明：AB++BC=AB++(A+)BC=AB++ABC+BC例如，已知等式，用函数Y=BC代替等式中的B，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（1）代入规则：在逻辑等式中，若将等式两边所出现的同一变量以一个逻辑函数代换后，该逻辑等式仍然成立。

（2）反演规则：对于任意一个逻辑函数Y，若将表达式中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的新的逻辑函数表达式就是原函数Y的反函数Y。例如：1.3.2基本规则

注意：a、保持原来的运算优先级。b、不是单个逻辑变量上的“非”号，均应保持不变。

（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。例如：

对偶规则的意义：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：1.4.1化简的一般概念

1.4.2代数化简法

1.4逻辑函数的代数化简法

退出返回上一级

一、逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。1.4.1化简的一般概念

二、逻辑函数式的几种常见形式和变换。一个逻辑函数的表达式可以有以下5种表示形式。（1）乘积项个数最少；（2）每个乘积项中的变量个数也最少。三、逻辑函数的最简与—或式1.4.2代数化简法逻辑函数的代式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。1、并项法利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。2、吸收法（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，吸收掉AB这一项。例如：（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的因子。3、消去法4、配项法

利用重叠律A+A=A来配项，以获得更加简单的化简结果，例如：

【例1-16】化简函数Y=

1.5.1逻辑函数的最小项

1.5.2卡诺图化简逻辑函数

1.5逻辑函数的卡诺图化简退出返回上一级1.5.3具有约束项的逻辑函数的化简

1.5.1逻辑函数的最小项1．最小项的定义

在n变量的逻辑函数中，如果一个乘积项含有n个变量，而且每个变量以原变量或以反变量的形式在该乘积项中仅出现一次，则该乘积项称为n变量的最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项：对于n个变量来说，共有2n个最小项。

注意：提到最小项时，一定要说明变量的数目，否则最小项将失去意义。例如，ABC对三变量的逻辑函数来说是最小项，而对于四变量的逻辑函数则不是最小项。

为便于叙述和书写，通常都要对最小项进行编号。编号的方法是，把使最小项为1的那一组变量取值组合视为二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：2．最小项的编号3．逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。逻辑函数最小项表达式可由真值表直接写出，并且和真值表一样，也具有惟一性，即一个逻辑函数只有一个最小项表达式。

如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。ABCABCABC对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。1.5.2卡诺图化简逻辑函数1．卡诺图的画法

在有n个变量的逻辑函数中，如果两个最小项中只有一个变量不相同（互为反变量），而其余变量都相同，则称这两个最小项为逻辑相邻项。

几何位置相邻是指：上、下、左、右紧挨着的小方格；或每一行、每一列的首尾两个小方格。

卡诺图是一种能够直观地表示出n变量全部最小项的逻辑相邻关系的方格图。卡诺图利用小方格代表最小项，并按照任何两个逻辑相邻的最小项所处的小方格的几何位置相邻的原则画出。

图1-14二变量卡诺图(a)基本形式；(b)简化形式

图1-15三、四变量卡诺图(a)三变量卡诺图；(b)四变量卡诺图2．逻辑函数卡诺图表示法

卡诺图中的每一个小方格都对应一个最小项，而任何一个逻辑函数均可用最小项表达式表示，那么只要把函数中包含的最小项在卡诺图中填1，没有的项填0（或不填），就可得到用卡诺图表示的逻辑函数。例如，函数Y(A,B,C)=∑(2,3,6)的卡诺图如图所示。

逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1。例如：ＡB公共因子BＣ公共因子AＣ公共因子3．化简方法

在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项均可合并，合并时可以消去取值不同的变量，留下取值相同的变量。两个最小项合并成一项时可以消去一个变量，四个最小项合并成一项时可以消去两个变量，八个最小项合并成一项时可以消去三个变量。2n个最小项合并成一项时可以消去n个变量。

消去互为反变量的因子，保留公因子。【例1-21】化简Y=∑(0,2,3,7,8,10,11,13,15)。解：在四变量卡诺图中将Y=∑(0,2,3,7,8,10,11,13,15)的各最小项在相应位置填1，如图所示。Y=CD++ABD

由例1-21可得如下结论：（1）圈应该画得尽可能大，每个圈内包含的方格数应为2n个，即2、4、8、16…。（2）应注意四个角相邻，同一行（列）的首尾也是相邻的。（3）在画圈时，每个方格可被重复使用，但每个圈中至少要包含一个新的方格。4．化简的一般步骤

（1）将逻辑函数用最小项形式表示，然后画出该函数的卡诺图。若方格对应的最小项存在，则在方格内填1，不存在不填。

（2）在卡诺图上将相邻最小项合并。合并时应注意以下几点：1）画圈的方格数必须是2n个（n=0，1，2，3，…）。

2）所画圈的数目应最少，每个圈内的方格数应尽可能多。

3）一个方格可被多个圈公用，但每个圈内必须包含有新的方格。

4）同一行（列）的首尾以及四个角为相邻。

（3）消去每个圈内取值不同的变量，据此把各个圈得到的与项相加（或）起来，便得到化简后的最简与或表达式。

1.5.3具有无关项的逻辑函数的化简

函数可以任意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项，也叫做无关项或任意项。例如：用8421BCD码表示一位十进制数0～9作为输入时，输入端有A、B、C、D四位代码，它共有24=16种组合，实际只需要其中10个组合0000～1001，而1010、1011、1100、1101、1110、1111这6种组合是多余项，正常情况下，输入端是不会出现这6种取值情况的。这些不会出现的变量取值组合所对应的最小项就是约束项。1．约束项和约束条件2．约束条件的表示方法（1）在真值表中，用叉号（×）表示，即在对应于约束项变量取值组合的函数值处，记上“×”，以区别于其他取值组合。