人教版高中数学选修11学案3函数与导数提升二

函数与导数专题提升二

1(此题总分值14分)函数/(%)=/+〃in%.

(I)当〃=—2时，求函数/(%)的单调区间和极值；

(II)假设g(x)=/(£)+2在□,+8)上是单调增函数，求实数。的取值范围.

?

=2/+CX+4'g(x)=e;/r+/(x)’

11)假设f(x)在X=l+JI处取得极值，试求C的值和f(x)的单调增区间;

〔2)如右图所示，在〔1)的前提下，假设函数y=/(x)的

图象在［a,切连续光滑，试猜测拉格朗日中值定理：即肯定存在

ce(a/),使得/7c)="(?—，(“),利用这条性质证明：函数

b-a

y二g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e4.

3..1本小题总分值14分〕函数/(%)=%+幺，g(x)=x+lnx,其中a>0.

x

⑴假设％=1是函数Mx)=/(x)+g(x)的极值点，求实数a的值；

⑵假设对任意的e](e为自然对数的底数)都有了(七户且仁)成立，

求实数a的取值范围.

4..〔本小题总分值14分)函数/(x)=4x-4-21nx(aeR).

(I)假设。=3,求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；(II)求函数/(无)的单调区

间；［III)设函数g(x)=-0.假设至少存在一个不使得/(%)>8(/)成立，求实数

。的取值范围.

/(%)=x----aInx(aeR).

x

(i)争论函数/co的单调性.(ii)假设/co有两个极值点石,％,记过点

A(xi，/(xj),8(々,/(%))的直线斜率为h问：是否存在。，使得左=2—a?假设存

在，求出。的值；假设不存在，请说明理由.

1.解：（I）易知，函数/（X）的定义域为（0,+8）................1分

*\O22（x+l）（x—1）

当a=—2时，j（x）=2x—=...............3

xx

当X变化时，/'（X）和/（X）的值的变化状况如下表：

X[0,1)1[I,+°°)

/'（X）—0+

/（X）递减微小值递增

..............5分

由上表可知，函数/■（%）的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是11,+8］、微小值

是7(1)=1.............7分

22

(II)由g(x)—%2+6zln%H—，得g'(x)=2xH-------...............9分

xxx

假设函数g(x)为工+o))上的单调增函数，那么，(%)NO在工+O))上恒成立，即不等

式2x—--+->0^[l,4w)上，恒成立.也即a>——2%2在[1,+oo)上，恒成立.....11分

XXX

22

令夕(%)=——2%2,那么/'(%)=——--4%.

XX

2

当x£[1,+8)时，"(X)——~—4%<0，

X

2

/.(p(x)=——2x9在口,+oo)上为减函数，

X

"(%)max=。⑴=6.........................13分

所以a>0.

：.a的取值范围为［0,+8).............14分

2.解：3)/'(%)=2X2-4X+C,.....1分

依题意，有了'(1+后)=0,即c=—2(1+收)2+4(1+后)=—2..........2分

2.

f(x)=—x3-2x2-2x4-4,/(x)=2x2-4x-2.

令/'(x)〉0,得x<l—也或x>l+拒，.........5分

从而f(x)的单调增区间为:(^O,1-V2W+V2,4W)；..........6分

⑵于。)二J、八'；

b-a

2

g(x)=ex-e2~x+/(x)==ex-e2~x+—%3-2x2-2x+4,.......7分

g'(x)=e*+e2r+2X2-4X-2.........9分

2I-

=el+—+2(x-l)2-4>2JeA'-+2-0-4=2e-4.......12分

由(2〕知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B,在A、B之间肯定存在一点C(c,g'(c)),

使得g‘(。)=长方，又g'(x)22e—4,故有改霞=g'(c)22e—4,证毕......14分

4解：函数的定义域为(0,Zo),11分)

,12ax1-2x+a/八)

f(x)=a(l+—)——=-------------•〔2分)

XXX

[I)当a=3时，函数/(x)=3(x-L)—21nx,/(1)=0,y⑴=4.

所以曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y-0=4(x-l),

即4x-y-4=0.〔4分)

(II)函数/(无)的定义域为(0,+oo).

⑴当aWO时，〃(*)=尔-2x+a<0在(0,+oo)上恒成立，

那么/''(XlvO在(0,+8)上恒成立，此时了(无)在(0,+8)上单调递减.〔5分)

(2)当。>0时，A=4-4«2,

(i)假设0<a<l,

1—J]_.2]+J]_.2

由/'(尤)>0,即4(尤)>0,得％<----------或X〉----------；〔6分〕

aa

22

.,Hnz„1-A/1-«1+y/l-a,八、

由/(尤)<0,即h(x)<0,得----------<X<----------.〔7分)

aa

所以函数/(X)的单调递增区间为(0,1-I一/)和(1+J1-/#⑼,

aa

单调递减区间为(土业三，匕叵口),18分)

aa

(ii)假设依龙)20在(0,+8)上恒成立，那么广(x)20在(0,+o。)上恒成立，此时

于(X)在(。,+8)上单调递

增.(9分)

IHIJ)由于存在一个/e[l,e]使得/(Xo)>g(Xo),

那么。毛〉2111/，等价于。〉迎

(10

分)

令尸(x)=-----，等价于“当xe［l,e］时，a>F(x)mm".

X

对F(x)求导，得F\x)=2(1―丁x).(乳分)

%

由于当xe［l,e］时，Ff(x)>0,所以歹(x)在［l,e］上单调递增.(13分)

所以/。).=/(1)=0，因止匕。>。・

2

3⑴Ml：'：h(x)=2x+—+lnx,其定义域为(0,+8),

JC

h(x)=2——H—.

XX

：X=1是函数/l(x)的极值点，

⑴=0,即3-4=0,

<7>0,/.a—\/3.

经检验，当a=6时，x=l是函数以尤)的极值点，

a—A/3.

［2)解：对任意的&%目1，e］都有/(%)Ng(%)成立等价于对任意的

xvx2e［l,e\

都有

当％e］时，^r(x)=1+—>0.

・,•函数g(x)=%+In%在［1,e\上是增函数.

"［g(x)Lx=g(e)=e+L

、a1(x+a\(x-a\「..

V/(x)=1——-----------,且%且1,e］,a>0,

XX

「f,\(x+a\(x-a\

①当0<avl且％£［，e］时，/(%)=^————Z>0,

x

2

函数/(x)=x+T在［1,e］上是增函数.

X

*'•［Olnin=/⑴=1+。乙

由1+。22e+l,得a2y/c,

又Ovavl,，〃不合题意.

②当IWQWe时，

，/、(x+a\(x-a\

假设1WX<Q,那么=——今——^<0,

X

,，/\(x+a\(x-a\

假设a<x^e,那么f(x)=-------今----->0.

x

2

，函数/(%)=%+幺在［1,Q)上是减函数，在(。，e］上是增函数.

X

［/(x)lnin=/(")=2。.

e+1

由2a2e+l,得a2——，

2

e+1

又IWaWe,-----WaWe.

2

…，ri,，/、(x+a］(x-a)

③当且xw［l,e］时，f(^)=~------------<0,

x

2

函数/(x)=x+幺在［1,e］上是减函数.

2

•••"(x)］mm=〃e)=e+g

由eH-----2e+1,得a2,

e

又a>e,a>e,

综上所述，a的取值范围为—，+°°］

5解析：⑴f(x)的定义域为(0,+00).

2)=T-ax1-ax+V

x

令g(x)=x2-ox+1,其判别式a2-4.

(1)当Ia|<2时0,尸(x)»0,故/(x)在(0,+8)上单