人教版高一数学新教材同步配套教学讲义4.1指数(原卷版+解析)

4.1指数【知识点梳理】知识点一、整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．知识点二、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．知识点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点四、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点六、实数指数幂的运算性质①．②．③．【题型归纳目录】题型一：由根式的意义求范围题型二：利用根式的性质化简或求值题型三：有限制条件的根式的化简题型四：根式与指数幂的互化题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值题型六：整体代换法求分数指数幂【典型例题】题型一：由根式的意义求范围例1．（2022·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（

）A． B．∪C． D．例2．（2022·全国·高一课时练习）若有意义，则是（

）A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数例3．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·高一课时练习）若要使有意义，则取值范围是_______.变式2．（2022·江苏·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围为______________变式3．（2022·全国·高一课时练习）若代数式有意义，则______．【方法技巧与总结】使根式有意义题型二：利用根式的性质化简或求值例4．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若，则的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．2例5．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（

）A． B． C． D．例6．（2022·全国·高一专题练习）=__________.变式4．（2022·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)．变式5．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）化简的结果是（

）A．0 B． C．0或 D．【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．题型三：有限制条件的根式的化简例7．（2022·上海·高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.例8．（2022·全国·高一专题练习）已知，化简：______．例9．（2022·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．变式6．（2022·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四：根式与指数幂的互化例10．（2022·上海市南洋模范中学高一开学考试）已知，为正数，化简_______．例11．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．例12．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．变式7．（2022·全国·高一课时练习）式子的计算结果为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值例13．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简的结果为（

）A． B． C．1 D．例14．（2022·全国·高一专题练习）化简___________例15．（2022·江苏常州·高一阶段练习）（1）计算：（2）化简：变式8．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）（1）化简：(用分数指数幂表示)；（2）计算：．变式9．（2022·全国·高一课前预习）化简下列各式：(1)；(2)．变式10．（2022·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．题型六：整体代换法求分数指数幂例16．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知，则__________.例17．（2022·全国·高一课时练习（理））若，，则________．例18．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）若，求下列各式的值(1)(2)变式11．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知，，且，用表示．变式13．（2022·全国·高一专题练习）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）变式14．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，计算：；（2）设，，求的值．变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，且，则______．变式16．（2022·全国·高一专题练习）已知，则______．变式17．（多选题）（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．【同步练习】一、单选题1．（2022·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．3．（2022·安徽·高一阶段练习）设a，b为正实数，，，则（

）A．1 B．3 C．9 D．274．（2022·全国·高一期中）（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（

）A． B． C．m D．16．（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．7．（2022·江苏·高一单元测试）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高一专题练习）已知，则下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·江苏·高一专题练习）下列等式中，不正确的是（

）A． B．C． D．10．（2022·江苏·高一单元测试）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．11．（2022·江苏·高一单元测试）下列运算（化简）中正确的有（

）．A．B．C．D．12．（2022·海南·海口一中高一期中）下列命题中正确的结论的为（

）A．的结果为-9B．若，则C．若，那么等于8.D．设，，则三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）计算：___________________．14．（2022·全国·高一专题练习）已知，则______.15．（2022·全国·高一专题练习）化简___________.16．（2022·全国·高一专题练习）化简：________．四、解答题17．（2022·江苏·南京市雨花台中学高一阶段练习）化简求值：18．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2)．19．（2022·全国·高一专题练习）阅读材料，解决问题：化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．令，，令，得；∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，；当时，原式；当时，原式=5；当时，原式．(1)求和的零点值；(2)化简：．(3)求方程：的整数解．20．（2022·全国·高一课时练习）（1）计算：；（2）已知，求．21．（2022·全国·高一专题练习）求解下列问题：(1)求值：；(2)已知，，求的值.(3)已知，求.22．（2022·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).4.1指数【知识点梳理】知识点一、整数指数幂的概念及运算性质1、整数指数幂的概念2、运算法则（1）；（2）；（3）；（4）．知识点二、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．知识点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点四、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．知识点诠释：（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；（3）幂指数不能随便约分．如．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点六、实数指数幂的运算性质①．②．③．【题型归纳目录】题型一：由根式的意义求范围题型二：利用根式的性质化简或求值题型三：有限制条件的根式的化简题型四：根式与指数幂的互化题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值题型六：整体代换法求分数指数幂【典型例题】题型一：由根式的意义求范围例1．（2022·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】因为，则，解得.故选：D.例2．（2022·全国·高一课时练习）若有意义，则是（

）A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数【答案】C【解析】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数，故选：C.例3．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，即．实数的取值范围是．故选：．变式1．（2022·全国·高一课时练习）若要使有意义，则取值范围是_______.【答案】【解析】∵，要使有意义，则，即，∴.故答案为：.变式2．（2022·江苏·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围为______________【答案】【解析】由，要使得有意义，则满足，解得，故答案为：．变式3．（2022·全国·高一课时练习）若代数式有意义，则______．【答案】8【解析】因为有意义，所以，解得，故．故答案为：8【方法技巧与总结】使根式有意义题型二：利用根式的性质化简或求值例4．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若，则的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以.故选：C例5．（2022·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，A错误；，B错误；，C正确；，D错误.故选：C例6．（2022·全国·高一专题练习）=__________.【答案】【解析】当时，；当时，.所以.故答案为：变式4．（2022·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=0变式5．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）化简的结果是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【解析】．当时，原式；当是，原式．故选:C．【方法技巧与总结】此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．题型三：有限制条件的根式的化简例7．（2022·上海·高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.【解析】，要使|成立，需解得a∈[-3，3]．例8．（2022·全国·高一专题练习）已知，化简：______．【答案】【解析】，因为，，所以，所以．故答案为：.例9．（2022·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，，.故选：A.变式6．（2022·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．【答案】21【解析】由题意得：，则，∴x＋y＝19，∴＋＝0，则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案为：21．【方法技巧与总结】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可题型四：根式与指数幂的互化例10．（2022·上海市南洋模范中学高一开学考试）已知，为正数，化简_______．【答案】【解析】原式．故答案为：．例11．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】，而，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：CD.例12．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A错误；，故B正确；，故C正确；故D正确．故选：BCD．变式7．（2022·全国·高一课时练习）式子的计算结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.【方法技巧与总结】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂．题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值例13．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简的结果为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】故选：C例14．（2022·全国·高一专题练习）化简___________【答案】【解析】.故答案为：例15．（2022·江苏常州·高一阶段练习）（1）计算：（2）化简：【解析】（1）．（2）变式8．（2022·江苏·南京师大附中高一阶段练习）（1）化简：(用分数指数幂表示)；（2）计算：．【解析】（1）；（2）.变式9．（2022·全国·高一课前预习）化简下列各式：(1)；(2)．【解析】(1)．(2)．变式10．（2022·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.【方法技巧与总结】根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数．题型六：整体代换法求分数指数幂例16．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知，则__________.【答案】【解析】因为，所以，即所以，故答案为：例17．（2022·全国·高一课时练习（理））若，，则________．【答案】【解析】．故答案为:.例18．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）若，求下列各式的值(1)(2)【解析】（1）（2）变式11．（2022·江苏·高一单元测试）（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，则，，，.∴.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知，，且，用表示．【解析】，因为，所以，所以．原式．变式13．（2022·全国·高一专题练习）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【解析】（1）因为，且，所以..（2）.（3）.变式14．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，计算：；（2）设，，求的值．【解析】（1）因为，所以，所以，所以，

所以，即，所以，所以．

（2）因为，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值为27．变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，且，则______．【答案】4【解析】因为，，所以两式相乘得，则．将代入，得，所以．故答案为：4变式16．（2022·全国·高一专题练习）已知，则______．【答案】3【解析】由，可得，，．故答案为：3变式17．（多选题）（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知实数满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故选项A正确；，故选项B错误；，故选项C正确；,,故选项D错误．故选：AC．【方法技巧与总结】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．【同步练习】一、单选题1．（2022·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误，故选：C2．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，所以，错误；对于B，因为，所以，则，错误；对于C，，正确；对于D，，错误．故选：C．3．（2022·安徽·高一阶段练习）设a，b为正实数，，，则（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】C【解析】因为，所以，即，∴，，∴，故选：C．4．（2022·全国·高一期中）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原式，故选：C．5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（

）A． B． C．m D．1【答案】C【解析】，.故选：C．6．（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；对C：，不能化简为，故选项C错误；对D：因为，所以，故选项D错误.故选：B.7．（2022·江苏·高一单元测试）若，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，，即，又，且，所以.故选：A.8．（2022·全国·高一专题练习）已知，则下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A选项：，∴，又，∴，∴，故A错误；B选项：，∴，故B正确；C选项：，，，，，故C错误；D选项：，故D错误，故选：B.二、多选题9．（2022·江苏·高一专题练习）下列等式中，不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，

故A不正确；对于B，

，故B不正确；对于C，

中，故C不正确；对于D，

，故D正确．故选：ABC10．（2022·江苏·高一单元测试）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】，故A错；，故B正确；与不同，故C错；，故D正确.故选：BD.11．（202