2023-2024学年河北省邯郸市涉县一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省邯郸市涉县一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z满足(1−i)z=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第四象限 C.实轴上 D.虚轴上2.若数据2a1+2023，2a2+2023，2a3+2023，2a4+2023的方差是2024A.2529 B.506 C.2023 D.10123.在平行四边形ABCD中，E为BD的中点，F为BC上一点，则AB+AD−2A.2FE B.2EF C.FE 4.如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是(

)A.点P必在平面ABD内

B.点P必在平面CBD内

C.点P必在直线BD上

D.直线FG与直线BD为异面直线5.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是(

)A.264π B.44π C.411π6.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“m//β且n/​/β”是“α/​/β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在一次数学智力测验中，将100名参赛者的成绩进行分组整理后得到如下频率分布直方图(每组为左闭右开的区间)，根据此频率分布直方图，下列结论正确的是(

)A.这100名学生中成绩在[80,90)内的频率为0.012

B.这100名学生中成绩在[70,90)内的人数为14

C.这100名学生的平均成绩为68.2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)

D.这100名学生成绩的中位数为758.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，点P到△ABC三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，已知在△ABC中，AB=5，BC=6，cosA=725，P为△ABC内一点，则|PA|+|PB|+|PC|的最小值为(

)A.4+33 B.3+33 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.已知一组数据3，7，9，4，4，5，7，9，则这组数据的众数为4，7，9，中位数为6

B.数据26，11，13，29，14，16，18，22的第70百分位数是22

C.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

D.某单位老、中、青三个群体按1：2：4的比例分层随机抽样调查，若抽取的中年人人数为8，则样本容量为1810.已知复数z1=5−5i2+i，z2=3−4iA.若z1，z2，z3的虚部依次为a，b，c，则2b=a+c

B.若z1，z2，z3的实部依次为m，n，p，则n11.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=4，AB=3，BC=4，则下列说法正确的是(

)A.此三棱锥的四个面均为直角三角形 B.此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面

C.此三棱锥内切球的半径为34 D.此三棱锥外接球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(x2−3,2)，b=(1,−x)，若a⊥13.如图，圆锥AO的底面圆半径为1，侧面积为3π，一只蚂蚁要从B点沿圆锥侧面爬到AB上的D点，且AD=13AB

14.已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=3，b=2，角A的平分线交BC于点D，且AD=465，则BC边上的高ℎ=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，AB=4，O是△ABC的外心，AC⋅AO=14．

(1)求边AC的长；

(2)若D为BC的中点，求16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CD，DD1，AA1的中点．

(1)求证：17.(本小题15分)

在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界.在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：(为了方便计算，采取分数四舍五入取整)

A组(蒙特利尔站)：80 80 82 78 93

B组(柏林站)：81 80 86 99 86

(1)请写出这10个分数的众数、极差以及A，B两组各自的平均成绩；

(2)请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+b(3sinA+sinB)−csinC=0．

(1)求角C；

(2)若a=2，b=23，D为AB的中点，求CD的长；

(3)若19.(本小题17分)

如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1=2，AB=4，球O1与正四棱台的各面均相切，半径为R，平面B1C1O1与平面BCO1的交线为l．

参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.A

9.ABC

10.BCD

11.AC

12.1213.1314.415.解：(1)由题意，设AC中点为F，

则AC⋅AO=|AC||AO|⋅cos∠OAC=|AC||AF|=12|AC|2=1416.(1)证明：连接PD，与AN交于点E，连接EM，

因为四边形ADNP是矩形，所以E是PD的中点，

又M是CD的中点，所以PC//EM，

因为PC⊄平面AMN，EM⊂平面AMN，

所以PC//平面AMN．

(2)解：由正方体的性质知，平面BCC1B1/​/平面ADD1A1，

所以直线PM与平面BCC1B1所成角等价于直线PM与平面ADD1A1所成角，

因为MD⊥平面ADD1A1，

所以∠MPD为直线PM与平面ADD1A1所成角，

设正方体的棱长为217.解：(1)易知在这10个分数中，出现最多的是80，所以众数为80，

这10个分数中，最高分为99，最低分为78，所以极差为99−78=21，

A，B两组各自的平均成绩分别为xA−=80+80+82+78+935=82.6，xB−=81+80+86+99+865=86.4

(2)可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定，

设蒙特利尔站和柏林站的方差分别为sA218.解：(1)因为asinA+b(3sinA+sinB)−csinC=0，正弦定理得a2+3ab+b2−c2=0，

又由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=−3ab2ab=−32，

又0<C<π，所以C=5π6；

(2)因为D为AB的中点，所以CA+CB=2CD，则(CA+CB)2=(219.解：(1)证明：因为BC/​/B1C1，BC⊄平面B1C1O1，

B1C1⊂平面B1C1O1，

所以BC/​/平面B1C1O1，

因为平面B1C1O1∩平面BCO1=l，

根据线面平行的性质定理知BC/​/l，

又AD//BC，所以AD/​/l，

又AD⊂平面ADD1A1，l⊄平面ADD1A1，

所以l/​/平面ADD1A1．

(2)如图，取AD，BC，B1C1，A1D1的中点E，F，G，H作此几何体的轴截面，

则由对称性知四边形EFGH为等腰梯形，EF=4，GH=2，内切圆的半径为球O1的半径R，

与HG，G