2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点15求阴影部分的面积(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点15求阴影部分的面积压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，是半圆的直径，点在直径上，以为圆心、为半径向内作直角扇形，再以为圆心、为半径向内作直角扇形，使点刚好落到半圆上，若，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．2．如图，正方形与正方形边长相等，且三点共线，以为顶点构造菱形，且三点共线，设两块阴影部分的面积分别为和，则的值为（

）

A． B． C． D．3．小明同学为班级设计如图所示的班徽，为正方形的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若，，三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（

）A． B． C． D．4．将的直角边、斜边按如图方式构造正方形和正方形，在正方形内部构造矩形使得边IH刚好过点D，则已知哪条线段的长度就可以求出图中阴影部分的面积（

）A．AB B．AC C．BC D．FH5．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．6．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．7．如图，已知正方形ABCD的边长为a，延长BA，BC，使AF＝CE＝b，以BE为边长在正方形ABCD外围作正方形BFGE，以点E为圆心，EG为半径画弧交BE的延长线于点H，连接DH，交GE于点M，延长AD交GE于点K，交圆弧于点J，连接GJ，记△GKJ的面积为S1，阴影部分的面积为S2．当F，D，H三点共线时，的值为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，以为直径的恰好经过点B，交于点E，当点E为的中点时，下列结论错误的是（

）A．平分B．C．D．的长为二、填空题9．在中，，以的三边为直径在同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点作的平行线，分别和以、为直径的半圆交于、两点，若，，则阴影部分的面积和为．10．如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是．11．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为．12．黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为．

13．孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为．（结果保留π）

14．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则．

15．在一次数学折纸实践活动中，某兴趣小组对一张如图1所示的三角形纸片进行折纸研究，中，，把对折使点落在的处，折痕为，点在上．铺平后如图所示，在，上分别取，两点，先将沿着翻折得到，再将沿着翻折得到，然后把两次翻折后的纸片压平如图3，恰有．兴趣小组发现：把图3所折的纸片全部铺平如图4所示，可知°；若，，则两块阴影部分的面积和为．

16．如图，以CD为直径的半圆与AB，AC相切于E，C两点，C，D，B三点共线，若弧DE的长为，CD＝2，则阴影部分的面积为．三、解答题17．点是外一点，连接交于，分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于、两点，作直线交于，以为圆心，为半径作圆，交于、两点，连接，交于，连接、．

(1)判断、与的位置关系，说明理由；(2)判断、的位置关系，说明理由；(3)若，弦，求弧的长及其阴影部分的面积．18．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转，使落到延长线上的处，得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E，旋转过程中得到两条弧，，与交于点F，连接．

(1)求的度数；(2)若，求阴影部分的面积；(3)若，弧BD与线段只有一个公共点D，直接写出线段的取值范围．19．已知：如图，小亮在上任取一点A．再以点A为圆心、长为半径将圆等分，等分点分别为B、C、D、E、F，过点C作的切线交的延长线于点G．(1)连接，试判断的形状，并说明理由；(2)若，求的长；(3)若阴影部分的面积为，求的长．20．四边形内接于，，是的直径，过点A作．(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，当时，连接并延长，分别交于点E，F，交于点G．求图中阴影部分的面积．压轴热点考点15求阴影部分的面积压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，是半圆的直径，点在直径上，以为圆心、为半径向内作直角扇形，再以为圆心、为半径向内作直角扇形，使点刚好落到半圆上，若，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作于点，连接，，首先证明，设，则，，，利用相似三角形的性质列方程即可求出的值，再利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点作于点，连接，，

∵是半圆的直径，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，设，∵，且由作图可知阴影部分是两个半径相等的半圆，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴（舍去），，∴，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形和扇形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及扇形的面积公式是解题的关键．2．如图，正方形与正方形边长相等，且三点共线，以为顶点构造菱形，且三点共线，设两块阴影部分的面积分别为和，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得到，再根据相似三角形的判定与性质得到即可解答．【详解】解：如图所示连接作，与于点，∵正方形ABCD与正方形DEFG边长相等，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选．

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．小明同学为班级设计如图所示的班徽，为正方形的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若，，三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，，，可得正方形，设，表示出阴影面积与空白面积即可．【详解】连接，，，，可得正方形，∴，∴，设菱形边长，∴，，，∴，∴∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题正方形的性质与判定，勾股定理，利用正方形得到等腰直角三角形再用勾股定理计算是解题的关键．4．将的直角边、斜边按如图方式构造正方形和正方形，在正方形内部构造矩形使得边IH刚好过点D，则已知哪条线段的长度就可以求出图中阴影部分的面积（

）A．AB B．AC C．BC D．FH【答案】C【分析】过D做于M，设，，，证明，可得即，从而求得，再根据进行计算即可．【详解】解：过D做于M，设，，，由图可得：，，∵，，∴，∴，即，，，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、，，可证四边形是菱形，可知，，在同一直线上，再证四边形是正方形，可知，，在同一直线上，，，在同一直线上，，，在同一直线上，设，则，，由，求得，再结合即可求得结果．【详解】解：连接、，，由题意可知：，，，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，同理可证：，则：，∴四边形是菱形，∴，又∵，∴，，在同一直线上，又∵，∴，∵∴，则，∴四边形是正方形，∴，，在同一直线上；，，在同一直线上；，，在同一直线上；设，则，，∵，即：，∴，（负值已舍去）∴，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定及性质，解决本题的关键是得到，，在同一直线上．6．【阅读理解】在求阴影部分面积时，常常会把原图形的一部分割下来补在图形中的另一部分，使其成为基本规则图形，从而使问题得到解决，这种方法称为割补法．如图1，C是半圆O的中点，欲求阴影部分面积，只需把弓形BC割下来，补在弓形处，则．【拓展应用】如图2，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接、，根据，求解即可．【详解】解：连接、是小圆直径故选：B【点睛】此题考查了扇形面积的计算，同时需要运用圆周角定理，利用割补法求阴影面积是解题关键．7．如图，已知正方形ABCD的边长为a，延长BA，BC，使AF＝CE＝b，以BE为边长在正方形ABCD外围作正方形BFGE，以点E为圆心，EG为半径画弧交BE的延长线于点H，连接DH，交GE于点M，延长AD交GE于点K，交圆弧于点J，连接GJ，记△GKJ的面积为S1，阴影部分的面积为S2．当F，D，H三点共线时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用F，D，H三点共线，即有tan∠FDA＝tan∠DHC，即可求得a＝2b，连接EJ，在Rt△KJE中求出KJ，则S1可求，再证△DKM∽△HEM，即有，进而求出ME，则S2可求，则问题得解．【详解】根据题意可知AB＝CD＝AD＝a，AF＝GK＝DK＝CE＝b，即EH＝a＋b，CH=CE+EH=b+a+b，∵F，D，H三点共线，在正方形ABCD中，，∴∠FDA＝∠DHC，∴tan∠FDA＝tan∠DHC，∴，即，∴，即，显然，∴，∴a＝2b，如图，连接EJ，则有EJ=EH=EG=a+b，∴在Rt△KJE中，KJ＝＝，∴S1＝＝，∵，∴△DKM∽△HEM，∴，即，∴，∴ME＝＝＝，∴S2＝＝，∴＝÷（）＝．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行的性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用F，D，H三点共线可求得a＝2b，是解答本题的关键．8．如图，在中，，以为直径的恰好经过点B，交于点E，当点E为的中点时，下列结论错误的是（

）A．平分B．C．D．的长为【答案】B【分析】根据平行线的性质和圆周角定理可判断A，根据扇形，面积公式和割补法可判断B，根据圆周角定理可判断C，根据弧长公式可判断D．【详解】解：A.∵点E为的中点，∴，∴∠1=∠2，∴平分，故A正确；C.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，∴∠2=∠3，∴，∵，∴，故C正确；B.连接OB，OE，作EH⊥OD，∵，∴∠AOB=∠BOE=∠DOE=60°，∵OA=OB=OE，∴△OAB，△OBE都是等边三角形，∴OA=BE，∵BC=AD，∴CE=OD，∵CE//OD，∴四边形ODCE是平行四边形，∵AD=6，∴OD=OE=3，∴EH=sin60°×OE=，∴S阴影=S平行四边形ODCE-S扇形ODE，=3×-=，故C错误；D.的长=，故D正确．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理的推论、弧长和扇形公式，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握圆的有关定理和公式是解答本题的关键．二、填空题9．在中，，以的三边为直径在同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点作的平行线，分别和以、为直径的半圆交于、两点，若，，则阴影部分的面积和为．【答案】12【分析】将阴影部分的面积表示出来可发现阴影部分面积等于直角三角形ABC的面积，先证得∽∽，再由相似比求得AB、AC的长，进而可得到答案．【详解】解：如图，连接BD、BE，则有∵∴∴∽在和中，，∴∽∴设，则∴∴∴即∴阴影部分的面积和∵∴故答案为：12．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形，圆周角定理；通过已知条件探索发现阴影部分面积等于直角三角形ABC面积是解题的关键．10．如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】连接，根据，求得，然后根据阴影部分面积等于求解即可．【详解】如图，连接，点P是线段OB的中点，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，PQ⊥AB，扇形BOD的圆心角为90°，图中阴影部分的面积是故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，求得是解题的关键．11．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．【详解】解：如图，作垂直于，交、于S、N，垂足为M，过点O作垂直于，垂足为Q，∵A到直线和的距离均为，∴，又∵，，∴，，∴，∵，∴，由于是圆弧的切线，∴，，设大圆的半径为R，则，，，∵，∴解得，图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，熟练掌握圆的有关计算方法是解题的关键．12．黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为．

【答案】【分析】根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解．【详解】解：∵四边形是黄金矩形，，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴阴影部分的面积．故答案为：【点睛】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键．13．孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为．（结果保留π）

【答案】/平方厘米【分析】根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．【详解】∵，∴为的直径，即，∴，∴（平方厘米），∴故答案为：．

【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．14．如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则．

【答案】8【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形，从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，

在中，∵，∴，∴，∵，即，∴，四边形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：8【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．15．在一次数学折纸实践活动中，某兴趣小组对一张如图1所示的三角形纸片进行折纸研究，中，，把对折使点落在的处，折痕为，点在上．铺平后如图所示，在，上分别取，两点，先将沿着翻折得到，再将沿着翻折得到，然后把两次翻折后的纸片压平如图3，恰有．兴趣小组发现：把图3所折的纸片全部铺平如图4所示，可知°；若，，则两块阴影部分的面积和为．

【答案】【分析】（1）根据折叠的性质得出，设，则，根据已知可得，进而即可求解；（2）在上截取，连接，过点于点，证明四点共圆，证明，进而根据两块阴影部分的面积和为即可求解．【详解】解：由图3与图4可知，，设，则，在图3中，，∴，∴，∴，故答案为：．（2）如图所示，在上截取，连接，过点于点，

∵∴∴四点共圆，∵由图1可知，平分∴，∴，∴∵，∴，∴在中，∴，∴，∴，在中，，则，∴两块阴影部分的面积和为故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，圆周角与弦的关系，掌握以上知识是解题的关键．16．如图，以CD为直径的半圆与AB，AC相切于E，C两点，C，D，B三点共线，若弧DE的长为，CD＝2，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】连接，根据弧长公式求出，根据切线的性质得出和，解直角三角形求出、，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，从而得到答案．【详解】解：连接OE，设∠DOE的度数为，由题意得：，解得：，即°，∴，∵以CD为直径的半圆与AB，AC相切于E，C两点，∴，，∴，∵∴，，∴，则，∴，故答案为：．【点睛】本题综合考查了圆的切线的性质、弧长公式的运用及解直角三角形等知识点，正确运用割补法求阴影部分的面积是解本题的关键．三、解答题17．点是外一点，连接交于，分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于、两点，作直线交于，以为圆心，为半径作圆，交于、两点，连接，交于，连接、．

(1)判断、与的位置关系，说明理由；(2)判断、的位置关系，说明理由；(3)若，弦，求弧的长及其阴影部分的面积．【答案】(1)和为的切线，理由见解析(2)，理由见解析(3)弧的长为，阴影部分的面积为【分析】（1）由题意知为的直径，则，即，，进而可得和为的切线；（2）由，可得，则；（3）由，可得，，则，设的半径为，则，，由勾股定理得，，即，解得，由，可得，，根据，，计算求解即可．【详解】（1）解：和为的切线．理由如下：由题意知为的直径，∴，∴，，∵、为的半径，∴和为的切线；（2）解：．理由如下：∵，∴，∴；（3）解：∵，∴，，∴，设的半径为，则，，由勾股定理得，，即，解得，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了作垂线，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理，正弦，弧长，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转，使落到延长线上的处，得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E，旋转过程中得到两条弧，，与交于点F，连接．

(1)求的度数；(2)若，求阴影部分的面积；(3)若，弧BD与线段只有一个公共点D，直接写出线段的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由旋转的性质可得，则由平角的定义可得，则由圆周角定理可得；（2）如图，连接，，设与相交于点G，先证明与都是等边三角形，得到，进而证明四边形是菱形；得到，，，则，，由此可得，利用扇形面积公式求解即可；（3）如图3-1所示，当恰好与相切时，求出此时的长，设分别是上一点，且，由此时与弧只有一个交点，可得当时，与弧只有一个交点；如图3-2所示，当点E恰好在上时，求出；设分别是延长线上一点，且，由此时与弧只有一个交点，得到当时，与弧只有一个交点．【详解】（1）解：由旋转的性质可得，∴，∵在以点A为圆心，为半径的圆上，∴；（2）解：如图，连接，，设与相交于点G，

由（1）得，∵，∴与都是等边三角形，∴，∴四边形是菱形；∴，，，∴，，∴，∴，∴阴影部分的面积为；（3）解：如图3-1所示，当恰好与相切时，∴，由旋转的性质可得，，，∴；由（1）得，∴，∴点E是个定点，点B在一条直线上运动，设分别是上一点，且，∵此时与弧只有一个交点，∴当时，与弧只有一个交点；

如图3-