高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第3章不等式金牌测试卷【培优题】(原卷版+解析)

第3章不等式金牌测试卷【培优题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若正数满足，则中最大的数的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．73．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．4．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（

）A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定5．设，则取得最小值时，的值为（

）A． B．2 C．4 D．6．已知，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．7．已知，满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．8．已知函数，则、、与1的大小关系为（

）A．没有一个小于1 B．至多有一个不小于1C．都不小于1 D．至少有一个不小于1二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（

）A． B． C．1 D．10．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．11．已知，均为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为12．记，已知，则（

）A．的最大值为18 B．的最大值为12C．的最小值为 D．的最小值为8三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数、满足，则的取值范围为___________.14．已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________15．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．16．已知，，不等式的解集为有下列四个命题：①；

②；③；

④其中，全部正确命题的序号为_______．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，且正数满足，证明：.18．已知不等式，其中x，k∈R．(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．19．已知二次函数.(1)若的解集为，求不等式的解集；(2)若对任意，恒成立，求的最大值；(3)若对任意，恒成立，求的最大值.20．已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)解关于的不等式（其中．21．已知函数，．(1)若在上的值域为，求的值；(2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围．22．设二次函数．(1)若，且在上的最大值为，求函数的解析式；(2)若对任意的实数b，都存在实数，使得不等式成立，求实数c的取值范围．第3章不等式金牌测试卷【培优题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减，，则，即故选：C2．若正数满足，则中最大的数的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】设b,，则，根据，，得到，解得，验证时成立，得出答案．【详解】不妨设b,，则，即，因为，所以，所以，所以，又

，得，又，所以，当时，当且仅当或时，中的等号成立，所以a，b，c中最大的数的最小值为5，故选：．【点睛】此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，3．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.4．某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（

）A．2支红玫瑰贵 B．3支黄玫瑰贵 C．相同 D．不能确定【答案】A【分析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意得到的取值范围，利用待定系数法将表示为的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较的大小关系即可.【详解】解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别元，由题意可得：（*），令，则，解得：，，由（*）得,,,，因此．所以2枝红玫瑰的价格高．故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于中档题．将表示为的组合是关键，在利用不等式的基本性质求差的取值范围时，要化成同向不等式才能相加.5．设，则取得最小值时，的值为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．已知，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.【详解】令，等号在时取到．故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力7．已知，满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值【详解】由知：，而，∴，则∴故选：C【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值8．已知函数，则、、与1的大小关系为（

）A．没有一个小于1 B．至多有一个不小于1C．都不小于1 D．至少有一个不小于1【答案】D【分析】通过反例可排除；采用反证法，利用和，结合不等式的性质可证得，由此知正确.【详解】当，时，，则，，，可知错误；当时，，则，，，可知错误；假设，，，由得：，即…①，由得：，即…②，由①得：…③，由②③得：，，由③得：…④，由②④得：，，，，与矛盾，可知至少有一个不小于，正确.故选：.【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BCD【分析】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题.【详解】由，得，因为，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故，因为恒成立，所以，解得.故A错.故选：BCD.10．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.【详解】由题设，的解集为，∴，则，∴，，则A、D正确；原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，∴由图知：，，故B错误，C正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.11．已知，均为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为，均为正实数，且，对A,，当且仅当时取“=”，正确；对B，，当且仅当时取“=”，错误；对C，，当且仅当时取“=”，正确；对D，，设，则上式，当且仅当时取“=”，正确；故选：ACD.12．记，已知，则（

）A．的最大值为18 B．的最大值为12C．的最小值为 D．的最小值为8【答案】ACD【分析】根据已知条件：结合基本不等式有，应用换元思想可求的最大值，进而由知的最值情况；又，即得可求其最小值，而可确定最小值，进而判断各项的正误.【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，令，则，解得，即有，故A正确；而，故B错误；由知：当且仅当时等号成立，故C正确；，所以当时，其有最小值为8，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：由已知参数的等量关系，利用基本不等式、一元二次不等式、的性质，结合换元法及等量代换的应用，求代数式的最值.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数、满足，则的取值范围为___________.【答案】【分析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果．【详解】解：设，由于，所以，由于，(当且仅当时取等号)所以(当且仅当时取等号)，(当且仅当时取等号)，故，，所以，整理得：．故的取值范围为的取值范围．故答案为：．14．已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________【答案】3【分析】由题干条件得到，对变形，利用基本不等式进行求解.【详解】一元二次不等式对一切实数都成立，当时，不能保证恒成立，不符合题意；当时，要满足，由此，，，得：，则，即时，取等号，故答案为：3．15．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．【答案】．【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．【详解】不等式可化为，①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；③当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：；④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；⑤当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：，综合以上，可得：.故答案为：．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．16．已知，，不等式的解集为有下列四个命题：①；

②；③；

④其中，全部正确命题的序号为_______．【答案】①②【解析】首先根据不等式与方程的关系可知，方程的两个实数根是或，不等式变形为，①代入，判断是否满足不等式；②令，代入，判断选项；③利用根与系数的关系判断；④代特殊值判断选项.【详解】不等式变形为，①代入，得，即满足不等式，所以，①成立；②因为不等式的解集为，所以，代入，则，所以，②成立；③由条件可知分别是方程的两个实数根，，，则，故③不成立；④当时，此时不等式的解集是，即，此时，故④不成立.故答案为：①②【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，本题的关键是理解题意，理解不等式解集的端点值是方程的实数根，，以及，，这几个关键式子判断选项②③.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，且正数满足，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据去绝对值，对进行分类讨论，求出解集；（2）根据绝对值不等式求出最小值，再构造，利用均值不等式进行求解.（1）解:由题意知当时，，不等式不成立；当时，令，解得，所以；当时，，不等式恒成立.综上所述，不等式的解集为.（2）方法一：证明：由（1）知，所以.因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.故有.方法二：证明：由（1）知，所以.因为，当且仅当时取等号，又因为，当且仅当时取等号，所以.方法三：证明：由（1）知，所以.所以，当且仅当时取等号.【点睛】本题考查绝对值不等式，求绝对值不等式的最值，以及合理构造利用均值不等式进行求解，属于难题.18．已知不等式，其中x，k∈R．(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．【答案】(1)或或}(2)【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得，，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．(1)若x＝4，则不等式变形为即，解得或，所以或或，故不等式的解集为或或}；(2)令，则不等式对任意k∈R恒成立，等价于对任意t≥1恒成立，因为，当且仅当，即t＝时取等号，所以x≤，故x的最大值为．19．已知二次函数.(1)若的解集为，求不等式的解集；(2)若对任意，恒成立，求的最大值；(3)若对任意，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.(1)因为的解集（1，2），所有的根为1和2，且.所以，，故，，所以，即，，所以，即不等式的解集为.(2)因为对任意，恒成立，所以，即，又，所以，故，所以，当，时取“=”，所以的最大值为1.(3)令，则，所以，对任意，，恒成立，所以恒成立，所以，所以，此时，，当，，时取“=”，此时成立；故的最大值为.20．已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)解关于的不等式（其中．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得的取值范围；（2）将原不等式转化为，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.(1)不等式即为：，当，时，可变形为：，即，又，当且仅当，即时，等号成立，，即，实数的取值范围是：；(2)不等式，即，等价于，即，

①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，，②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解