充分条件与必要条件 高一上学期数学人教A版（2019）必修1

1.4充分条件与必要条件新课程标准解读核心素养1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系数学抽象、逻辑推理2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系数学抽象、逻辑推理3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系数学抽象、逻辑推理

情

境

导

入王昌龄：盛唐著名边塞诗人，被誉为“七绝圣手”其《从军行》传颂至今。青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还。最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系？知识点一

命题1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断______的________叫做命题.真假陈述句2.分类：判断为____的语句是真命题；判断为____的语句是假命题.真假3.结构形式：“若p，则q”“如果p

，那么q

”等形式的命题中，其中___称为命题的条件，___称为命题的结论.pq提醒

(1)并非任何语句都是命题,只有能判断真假的陈述句才是命题;(2)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题.知识点二充分条件与必要条件命题真假“若

p，则

q”为真命题“若

p，则

q

”为假命题推出关系p__qp___

q

条件关系p是q

的______条件；q是p的______条件

p不是

q的______条件；

q不是p

的______条件⇒⇏充分必要充分必要题型一充分条件的判断例1

下列命题中,p是否是q的充分条件?(1)p:a＋b＝0,q:a2＋b2＝0;解

(1)∵a＝1,b＝-1时,a＋b＝0,但a2＋b2＝2,∴a＋b＝0⁠

a2＋b2＝0.∴p不是q的充分条件.⇏(2)p:x＝1,q:x2-4x＋3＝0;解

(3)当x＝1时,x2-4x＋3＝0,∴x＝1⇒x2-4x＋3＝0.∴p是q的充分条件.(3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;解

∵等腰梯形的对角线相等,∴四边形的对角线相等

四边形是矩形.∴p不是q的充分条件.⇏(4)p:m＜-1,q:x2-x-m＝0无实根.充分条件的两种判断方法(1)定义法:第一步第二步第三步确定谁是条件，谁是结论尝试由条件推结论若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件(2)命题判断法:如果命题“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;如果命题“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.题型二必要条件的判断例2

指出下列哪些命题中q是p的必要条件?(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;解

(1)因为矩形的对角线相等,所以q是p的必要条件.(2)p:A⊆B,q:A∩B＝A;解

(2)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.(3)p:a＞1,q:2a＞1.解

(3)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.必要条件的两种判断方法(1)定义法:第一步第二步第三步确定谁是条件，谁是结论尝试由条件推结论若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件(2)命题判断法:如果命题“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;如果命题“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.两种句型①是的__________条件什么什么pq②使成立_________条件是

什么什么pq题型三根据充分(必要)条件求参数例3已知集合P＝{x｜-2＜x＜4},Q＝{x｜3m-2≤x≤5m＋2,m∈R}.若P的充分条件为Q,求实数m的取值范围.由已知P的充分条件为Q,则Q是P的子集.当3m-2＞5m＋2,即m＜-2时,Q＝⌀,满足题意;已知P＝{x｜a-4＜x＜a＋4},Q＝{x｜1＜x＜3},若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是

⁠.

解析:因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以1.若p:a∈(M∪N),q:a∈M,则p是q的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.无法判断解析:B

由a∈(M∪N)⁠

a∈M,但a∈M⇒a∈(M∪N),故p是q的必要不充分条件.⇏.“x2＝2x”是“x＝0”的

⁠条件,“x＝0”是“x2＝2x”的

⁠条件(用“充分”“必要”填空).

解析:由于x＝0⇒x2＝2x,所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件,“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.3.已知M＝{x｜a-1＜x＜a＋1},N＝{x｜-3＜x＜8},若N是M的必要条件,求实数a的取值范围.因为N是M的必要条件,所以M⊆N.于是从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为{a｜-2≤a≤7}.4.(多选)使ab＞0成立的充分条件是(

)A.a＞0,b＞0B.a＋b＞0C.a＜0,b＜0D.a＞1,b＞1因为a＞0,b＞0⇒ab＞0;a＜0,b＜0⇒ab＞0;a＞1,b＞1⇒ab＞0,所以选项A,C,D都是使ab＞0成立的充分条件,当a＝2,b＝-1时,a＋b＞0,ab＜0,故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件..设命题p:k＞5,b＜5,命题q:一次函数y＝(k-4)x＋b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,则p是q的

⁠条件;q是p的

⁠条件.(用“充分”或“必要”填空)

解析:当k＞5,b＜5时,函数y＝(k-4)x＋b-5的图象如图所示,此时一次函数y＝(k-4)x＋b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,所以p是q的充分条件,q是

p的必要条件.

xyo6.集合A＝{x｜-1＜x＜1},B＝{x｜-a＜x-b＜a}.若“a＝1”是“A∩B≠⌀”的充分条件,则实数b的取值范围是(

)A.{b｜-2≤b＜0}B.{b｜0＜b≤2}C.{b｜-2＜b＜2}D.{b｜-2≤b≤2