高中数学课堂讲义-直线与平面平行

高中数学课堂讲义一直线与平面平行

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点直线与平面平行.....................................................1

3.练习........................................................................2

4.探究点一直线与平面平行的判定............................................3

5.探究点二直线与平面平行性质的应用........................................4

6.探究点三直线与平面平行的判定、性质定理的综合应用.......................7

7.课堂作业....................................................................8

8.课时作业（二十七）直线与平面平行...........................................9

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能从教材实例中归纳出直线与平面平行的判定定

1.从定义和基本事实出发，借助理、性质定理.（数学抽象）

水平

长方体，通过直观感知，了解空2.能证明直线与平面平行的判定定理.（逻辑推理）

间中直线与平面的关系.3.能借助具体的几何体判定空间中直线与平面的平

2.归纳出直线与平面平行的判行关系.（直观想象）

定定理和性质定理，并加以证能利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平

水平

明.面平行，能利用直线与平面平行的性质定理解决相

关的问题.（逻辑推理）

2.知识点直线与平面平行

位置

定理符号表示图形表示

关系

如果平面外一条直线与allba

判此平面内的一条直线平

线aQa〃

定行，那么该直线与此平"0aa

面

面平行bea.

平

行一条直线与一个平面平alia

性行，如果过该直线的平

aup〃

质面与此平面相交，那么>=abVzX

b

该直线与交线平行aAp=b.

［点拨］直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理经常交

替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平

行，有如下示意图:

在平面内作经过直线作或找平

线线平行乱找一直或线面平行而与平面蔽线线平行

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3.练习

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平

行.()

(2)若直线/上有两点到平面a的距离相等，则/〃平面a.()

(3)若直线/与平面a平行，则/与平面a内的任意一条直线平行.()

(4)若直线a〃平面a,直线a〃直线。，则直线平面a.()

(5)若直线a〃平面a,则直线a与平面a内任意一条直线都无公共点.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.能保证直线a与平面a平行的条件是()

A.bUa,a//b

B.bUa,c//a,a//b,a//c

C.bUa,A,B^a,C,DGb,且AC〃3O

D.a(la,bUa,a//b

D[由线面平行的判定定理可知，D正确.]

3.如图，四棱锥P-A8CD中，M,N分别为AC,PC上的点,

且MN〃平面孙。，则()

A.MN//PDB.MN//PA

C.MN//ADD.以上均有可能

B〃平面用。，MNU平面R1C,平面%0n平面如。=巩，

//PA,故选B.]

4.若在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为平行四边形，E

是SA上的一点，当点E满足条件时,SC〃平面EBD.

解析：当E为SA的中点时，连接AC,

设AC与B。的交点为0,连接E0.

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因为四边形ABC。是平行四边形，

所以点。是AC的中点.

又E是SA的中点，

所以0E是△SAC的中位线.

所以OE〃SC

因为SCV平面EBD,OEU平面EBD,

所以SC〃平面EBD.

答案：E为SA的中点

4.探究点一直线与平面平行的判定

例如图，四边形ABC。是平行四边形，P是平面ABC。

外一点，M,N分别是AB,PC的中点.

求证：MN〃平面附D

证明：如图，取尸。的中点G,连接GA,GN.

\'G,N分别是△POC的边PO,PC的中点,

J.GN//DC,GN=3DC.

'：M为平行四边形ABCD的边A3的中

：.AM=^DC,AM//DC,

J.AM//GN,AM=GN,

二四边形AMNG为平行四边形,

：.MN//AG.

又•.♦MNC平面如。，AGU平面出

...MN〃平面PAD.

方法技巧

应用判定定理证明线面平行的步骤

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［对点训练］

如图所示，在三棱柱ABC-AliG中，点。是AB的中点.

求证：AC〃平面CD3.

证明：连接交于点E,连接。E,

又因为四边形BCG8为平行四边形,

所以£是BG的中点,

因为。是A3的中点，所以。E〃AG，

因为OEU平面CDBi,AC4平面CDBi,

所以AG〃平面CDBi.

5.探究点二直线与平面平行性质的应用

角度一证明问题

例即*如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,

M是PC的中点，在。M上取一点G,过点G和AP作平面,

交平面8QM于GH.求证：AP//GH.

证明：如图，连接AC交8D于点。，连接M0.

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因为四边形A3CD是平行四边形，

所以点。是AC的中点.

又因为点M是PC的中点，

所以A尸〃。M.

又因为APQ平面BDM,OMU平面BDM,

所以AP〃平面BDM.

因为平面B4HGC平面BDM=GH,

APU平面PAHG,所以AP//GH.

方法技巧

应用线面平行的性质定理解题的步骤

角度二计算问题

例明《如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABC。是菱形，点E是棱AD的

SF

中点，点F在棱SC上，且行=九SA〃平面求实数2的值.

解析：如图，连接AC,设ACHBE=G,连接FG,则平面SACD平面

EFB=FG.

：SA〃平面BEF,SAU平面SAC,平面SACA平面"3=fG,

J.SA//FG,

,/AE//BC,

:.XGEAsAGBC,

.AG_AE_j_

,,GC=BC=2

.SFAG=\_即5F=|SC,

,,FC-GC~2

一1

方法技巧

利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点

(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系；

(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关

线段的关系；

(3)利用所得关系计算求值.

［对点训练］

1.如图，用平行于四面体A8CO的一组对棱AB,CO的平面截此四面体.

求证：截面MNP。是平行四边形.

证明：'：AB//平面MNPQ,

平面A5CA平面MNPQ=MN,且ABU平面ABC,

,由线面平行的性质定理，知AB//MN.

同理可得PQ〃AB.

,由基本事实4可得MN//PQ.

同理可得MQ//NP.

,截面四边形MNPQ为平行四边形.

2.如图，在正方体ABCO-AiBCi。中，AB=2,点E为AO的中点，点产

在CO上，若Ef〃平面ABC,求线段EE的长度.

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解析：〃平面ABC,

又平面AOCA平面ABC=AC,EEU平面ADC,

J.EF//AC,是A。的中点，尸为CD的中点.

EF=^AC=；X2啦=巾.

6.探究点三直线与平面平行的判定、性质定理的综合应用

例❸*如图所示，AB是圆。的直径，点C是圆。上异于A,8的点，P为

平面ABC外一点，E,尸分别是用，PC的中点.记平面BEf与平面ABC的交

线为/.

求证：直线/〃平面公C.

证明：:E,产分别是孙，PC的中点，

J.EF//AC.

又EFQ平面ABC,ACC平面ABC,

.♦衣〃平面ABC.

而EFU平面BEF,且平面BEFA平面45。=/,

S.EF//1.

平面出C,EVU平面出C,

.•./〃平面PAC.

方法技巧

利用线面平行的判定定理和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相

互转化.转化思想是一种重要的数学思想,该转化过程可概括为

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线面平行线面线面平行

平行判定定理平行性质定理平行

［对点训练］

如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCO的一个截面，若截面为平行

四边形.

求证：AB〃平面EEG”.

证明：因为四边形EFG”为平行四边形，所以EF〃HG.

因为"GU平面AB。，EFQ平面A3。,

所以EF〃平面A8D

因为E"=平面ABC,平面ABDA平面ABC=A8,

所以EF//AB.

因为A8Q平面EFGH,EFU平面EFGH,

所以〃平面EFGH.

7.课堂作业

1.圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.在平面内D.不确定

A［圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行.故

选A.]

2.（多选）在梯形ABCD中，AB//CD,ABU平面a,CZM平面a,则直线

CO与平面a内的直线的位置关系可能是（)

A.平行B.异面

C.相交D.共面

AB［因为AB〃C。，ABU平面a,CZX平面a,所以CO〃平面a,所以直

线CO与平面a内的直线没有公共点，直线CO与平面a内的直线的位置关系可

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能平行，也可能异面，故选AB.]

3.已知m,n是平面a外的两条直线，给出下列三个论断：①加〃〃；②m〃a；

③〃〃a.以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个

解析：若机〃小m//a,则〃〃a.同样，若机〃〃，n//a,则机〃a.

答案:①②今③（或①③"②）

4.如图，四边形ABCD,ADEF都是正方形，M&BD,N&AE,且BM=

AN.求证：MN〃平面CED

证明：连接AM,并延长交于点G,连接GE.

.AM_BM.AM________BMAMBM

,MG^MD，''MG+AM^BM+MD，即而=丽,

.AM_AN

•.•BO=AE且AN=BM,''AG=AE':.MN〃EG.

又EGU平面CED,MNQ平面CED,

二.MN〃平面CED.

8.课时作业（二十七）直线与平面平行

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

fA级基础达标]

1.已知直线。〃平面a,直线人U平面a,则（）

A.a//bB.〃与〃异面

C.。与b相交D.。与b无公共点

D[由题意可知直线〃与平面。无公共点，所以。与〃平行或异面，所以

两者无公共点.故选D.]

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2.如图，在正方体ABCD-AiSGOi中，己知£,F,G分别

是线段4G上的点，且4E=EF=FG=GG则下列直线与平面A

48。平行的是（）

A.CEB.CF

C.CGD.CCi

B[如图，连接AC,交8。于点。，连接40,CF,D,

在正方体ABCDAICQi中，由于4尸=；AC,0C=1AC,\r

所以A声触0C,即四边形40Cb为平行四边形，所以4。步、在1少。

条夹CE又40U平面48D,CFQ平面43。，所以CF〃平A8

面故选B.]

3.若平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面a平行的

棱有（）

A.0条B.1条

C.2条D.1条或2条

C[如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则A

EF〃GH「；EFQ平面BCD,G“u平面BCD,二七/〃平面/心弋

BCD.,：EFU平面AC。，平面BCDA平面ACD=CD,：.EF//

CD.EFU平面EFGH,CZX平面EFG",：.CD〃平面EFGH.

同理可得AB〃平面EFG”.故选C.]

4.如图，已知S为四边形ABC。外一点，G,H分别为SB,B。上的点，

若G”〃平面SCD,则（）

A.GH//SAB.GH//SD

C.GH//SCD.以上均有可能

B[因为GH〃平面SCD,GHU平面SBD,平面SBOC平面SCD=SD,所

以GH//SD,显然G”与SA,SC均不平行.故选B.]

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5.（多选）如图所示，尸为矩形A8CD所在平面外一点，矩形

对角线交点为0，M为的中点，下列四个结论正确的是（）

A.OM//PDB.0M〃平面PCO°C

C.0M〃平面PDAD.0M〃平面

ABC[由题意知，0M是△BP。的中位线，：.OM//PD,故A正确；PD

u平面PCD,0M4平面PCO,二。朋〃平面PCD,故B正确；同理可得：0M〃

平面PD4,故C正确；0M与平面P3A和平面PBC都相交，故D不正确.故

选ABC.]

6.a,[i,y是三个平面，a,h是两条直线，有下面三个条件：①a〃y,b

up；②a〃/b〃氏③aUy,b//（i.

命题"an夕=a,bj,且________,贝ija//b,f是真命题.（在横线处填写

条件）

解析：①中a〃了，bu0,yC0=b,得出a〃匕;③中au,,b//fi,buy,

aC夕=a,/iAy~ci>得出ci//b.

答案：①或③

7.如图，在正方体ABOA山iGOi中，M是AiOi的中点，则直线DM与

平面AiACG的位置关系是,直线DM与平面BCC向的位置关系是

解析：•.•M是AQi的中点，二直线0M与直线A4相交，...OM与平面

4ACG有一个公共点，...DM与平面AiACC相交.取5G中点连接MM”

MC（图略）C\D\//CD,CD."MM\=C\D\,C\D\=CD,

：.MM\=CD.：.四边形0MMic为平行四边形，

〃平面BCC\B\.

答案：相交平行

8.在直三棱柱ABC-AiBCi中，。为的中点，点P在侧面3CGB上

运动，当点P满足条件时，4P〃平面BCD（答案不唯一，填一个满足

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题意的条件即可）

解析：取CC的中点P,连接4P,因为在直三棱柱.一

A8C-Ai8G中，。为的中点，点P在侧面BCG田上运。怦/[”7'"

动，所以当点尸满足条件「是CG的中点时，4P〃CO,因因匚土"。

为4R平面BCDCOU平面BCD,所以当点「满足条件P

是棱CG的中点时，AiP〃平面BCD

答案：P是CG的中点

9.如图，在空间四边形ABC。中，M,N分别是线段AB,A。上的点.若

馈=怒，P为线段C。上的一点（P与C，。不重合），过M，N,P的平面与

直线8C交于点Q,求证：BD//PQ.

8又(-3--

AMAN

证明：•.•丽=而，:,MN〃BD.

'：BDQ平面MNPQ,MNU平面MNPQ,

平面MNPQ.

又•.OU平面BCD,平面MNPQA平面BCD=PQ,

S.BD//PQ.

10.如图，在四棱锥P-A8CO中，四边形ABC。是平行四边形，点E,