高中数学高三高三数学中档训练题及解答1620-高中数学

高三数学中档题训练16

班级姓名

1.已知函数/(x)=sin2x+2V3sinxcosx+3cos2x.

(I)求函数/(x)的单调增区间；

(II)已知/(a)=3,且ae(0,冗),求a的值.

2.已知数列｛/(〃)｝的前n项和为S“，且=1+2〃.

(I)求数列｛/(〃)｝通项公式；

(II)若％=_/•⑴，a,川=/(%)(〃wN*),求证数列｛a“+l｝是等比数列，并求

数列｛凡｝的前〃项和..

3.在四棱锥P—ABC。中，ZABC=ZACD=90°,ZBAC=ZCAD=&0°,%_L平面ABC。，E为

P。的中点，RA=2AB=2.

(I)求四棱锥P-ABCD的体积U；k

B

C

（II）若F为PC的中点，求证PCJ_平面AEF；

（HI）求证CE〃平面PAB.

4.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为

时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80—2t（件），价格近似满足"）=20-，f-10|

（元）.（I）试写出该种商品的II销售额y与时间t（0WtW20）的函数表达式；（II）求该

种商品的日销售额y的最大值与最小值.

高三数学中档题训练17

班级姓名

1、为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前7

次考试的数学成绩X、物理成绩y进行分析.下面是该生7次考试的成绩.

数学888311792108100112

物理949110896104101106

（I）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

（II）己知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分,

清你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在

学习数学、物理上的合理建议.

2、在△ABC中，已知AB，AC=9,sin3=cosAsinC,面积S凶命=6.

（1）求△ABC的三边的长；（2）设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AC、BC、

AB的距离分别为x,y和z,求x+y+z的取值范围.

3、已知圆。：/+》2=8交了轴于4,8两点，曲线。是以43为长轴，直线/:x=-4为

准线的椭圆.（I）求椭圆的标准方程；（II）若M是直线/上的任

意一点，以。/为直径的圆K与圆。相交于P,。两点，求证：直

线尸。必过定点E,并求出点E的坐标；

（III）如图所示，若直线尸0与椭圆C交于G,”两点，且

EG=3HE,试求此时弦P。的长.

4.已知函数/(x)=lnx+2x,g(x)=。(犬+x).

(I)若a=；,求尸(x)=/(x)—g(x)的单调区间;

(II)若〃x)«g(x)恒成立，求a的取值范围.

高三数学中档题训练18

班级姓名

1.由于卫生的要求游泳池要经常换水(进一些干净的水同时放掉一些脏水)，游泳池的水

深经常变化，已知泰州某浴场的水深y(米)是时间r(04r«24),(单位小时)的函数,

记作y=/«),下表是某日各时的水深数据

t(时)03691215182124

y(米)2.52,01.52.02.4921511.992.5

经长期观测的曲线y=/«)可近似地看成函数y=Acoscot+h

(1)根据以上数据，求出函数》=Acos创+6的最小正周期兀振幅A及函数表达

式；(II)依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据(1)的结论，

判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动.

2.已知函数/(x)=-(其中a>0且。。1,。为实数常数).

ax

(1)若/(x)=2,求x的值(用a表示)；⑵若a>1,且a'/(2f)+时(。20对于fG[1,2]

恒成立，求实数m的取值范围(用a表示).

3、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-4B|G2中，E、尸分别为。08的

中点.(1)求证：EF〃平面ABCQi；(2)求证：EF±B,C；

(3)求三棱锥％_EFC的体积•

4.已知数列｛a“｝是公差为“(4工0)的等差数列，数列也,｝是公比为q的(HR)的等比数

列,若函数，(x)=x2,Ka,=f(d-V),a5=f(2d-r),

仇=/(q—2)也=f(q),⑴求数列｛a“｝和也“｝的通项公式；(2)设数列｛%｝的前〃项和

为SK,对一切〃eN",都有」---I-----1——=ci)&yL,求S”

，++i，

"瓦2b2nbn"

高三数学中档题训练19

班级姓名

1、如图，公园有一块边长为2的等边4ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成

面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

(1)设AD=x(x>0),ED=y,求用x表示y的函数关系式；

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE

是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？清予证明

2.已知等腰梯形切O中(如图1),⑶=3,DC=1,PB=B(=41,/为阳边上一点，且用=1,

将4必〃沿折起，使面

处〃上面ABCD(如图2)。

(1)证明：平面PADJ.PC。；

(2)试在棱阳上确定一点也使截面4小

把几何体分成的两部分心W-2山

(3)在M满足(II)的情况下，判断直线4V

是否平行面PCD.

3、已知数列｛%｝,｛2｝中，%=f(f>0且"1),出="，且x=.是函数

/(X)=；(%_］-(%-%+Jx的一个极值点.(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若点P”的坐标为(1,2)(nGN*),过函数g(x)=历(1+/)图像上的点(明送(%))

的切线始终与。匕平行(。为原点)，求证：当;<f<2,且时，不等式

111

—I---h...4---<2"—22对任意neN都成5Z.

瓦b2bn

4、已知函数/(%)=%+£。>0)和点/5(1,0),过点P作曲线y=/(x)的两条切线PM、

X

PN,切点分别为M、N.(1)设|MN|=g(f),试求函数g(f)的表达式；

(2)是否存在t,使得V、N与A(0,l)三点共线.若存在，求出，的值；若不存在，请

64

说明理由；(3)在(1)的条件下，若对任意的正整数〃，在区间［2,n+—］内总存在〃2+1

n

个实数外,电,…,%,，。将，使得不等式g3)+g(%)+…+8(怎,)<8(。")成立，求团的

最大值.

高三数学中档题训练20

班级姓名

L已知正方形的外接圆方程为x2+y2_24x+a=0,/、B、C、〃按逆时针方向排列,

正方形一边切所在直线的方向向量为(3,1).

(1)求正方形对角线〃1与劭所在直线的方程；(2)若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物

线后经过正方形在x轴上方的两个顶点4B,求抛物线方的方程.

2.已知数列｛4｝,其前〃项和S满足S„+1=2ASn+1(2是大于0的常数)，且为=1,a3=4.

(1)求几的值；(2)求数列｛4｝的通项公式品；(3)设数列｛〃怎｝的前〃项和为T”,

试比较”•与S,的大小.

2

3.已知二次函数/(x)=a/+bx+c,(a,仇cwR)满足：对任意实数%都有/(x)Nx,且

当xw(1,3)时,有/(x)«L(x+2)2成立。(1)证明："2)=2;

8

IT!

(2)若/(一2)=0,/(乃的表达式；(3)设g(x)=/(x)—5元,xG[0,+oo),若g(x)

图上的点都位于直线y=L的上方，求实数m的取值范围。

4.已知定义在7?上的函数/(x)=/(这一3),其中a为常数.

(1)若户1是函数/(%)的一个极值点，求a的值；

(2)若函数/(x)在区间(—1,0)上是增函数，求a的取值范围；

(3)若函数g(x)=/(x)+/'(x),xe[02]，在产0处取得最大值，求正蓼a的取值范围.

高三数学中档题训练16

1.解：(I)/(x)=V3sin2x4-cos2%+2=2sin(2x+-^)+2...............4分

由----—W—F2%兀，得----------------FZTCWXW—ku.

26236

...函数/(x)的单调增区间为［一二+攵兀，三+左兀］(AeZ)...............7分

36

(II)由〃a)=3,得2sin(2a+^)+2=3.

/.sin(2a+看)=；・............................................................

10分

7C571

2aH—=—F2k、Tt,或2a-\—=-----F2后兀(占，k?EZ),

6666

71

eZ

即a=&兀或a=§+k2n(占,/：2)-

兀

**a£(0,兀),**•cc=・14分

2.解：(I)n22时，f(n)=Sll-Sll12n+1.4分

c=l时，/(I)=S,=3,适合上式，

二f(n)=Sn—S“_|=2〃+1(〃eN*)...............5分

(II)a,=/(I)=3,an+1=2an+1eN*)...............8分

即%+1=2(%+1).

；•数列｛a“+l｝是首项为4、公比为2的等比数列...............10分

n+1n+,

«„+1=(a,+1)-2"-'=2,Aan=2-1(〃eN*).............12分

23n+1+2

Tn=(2+2+---+2)-n=2"-4-n.14分3.解：（I）

在虫△/»8c中，AB=1,

N847=60。，.,.BC=73,AC=2.

在RtZVICD中，AC=2,NCAD=60°,

:.CD=26,AD=4.

：.SD=-ABBC+-ACCD

ABC22

=1X1XV3+-X2X2V3=->/3.............3分

222

贝ljV='X*VJX2=3\/J.............5分

323

(II)'：PA=CA,F为PC的中点，

：.AFA.PC.............7分

平面ABC。，：.PA±CD.

'：ACYCD,PAQAC^A,

，CD_L平面力C..'.CD±PC.

•.•E为PD中点，F为PC中点，

J.EF//CD.则£F_LPC......9分

"：AFHEF^F,，PCJ_平面AEF....10分

(III)证法一：

取AO中点M,连E7W,CM.则EM〃%.

"：EM<Z平面%B,%U平面PAB,

〃平面R48..12分

在RtZsACD中，ZCAD=60°,AC=AM=2,

：.ZACM=60°.而/8AC=60°,J.MC//AB.

VMC(Z平面R4B,ABU平面以8,

二/WC〃平面力8...........14分

"：EMHMC=M,

二平面EMC〃平面PAB.

YECU平面EMC,

，EC〃平面R4B............15分

证法二：

延长DC、AB,设它们交于点N,连PN.

'：ZNAC=ZDAC=60°,ACLCD,

，C为N。的中点....12分

,:E为PD中点，EC//PN.........14分

VECa平面以8,PNU平面以8,

；.EC〃平面R4B............15分

4.解：(I)y=^(/)./(/)=(80-2z)-(20-y|/-10|)=(40-/)(40-|z-10|).......4分

J(30+r)(40-0,(0Wf<10),

1(40-r)(50-f),(10W/W20).8分

(II)当0Wt<10时，y的取值范围是口200,1225],

在t=5时，y取得最大值为1225；................................11分

当10Wt<20时，y的取值范围是[600,1200],

在t=20时,y取得最小值为600.................................14分

(答)总之，第5天，II销售额y取得最大为1225元；

第20天，日销售额y取得最小为600元.................15分

高三数学中档题训练17

g-i-12-17+17-8+8+12…

1.解：(zTI)x=100+-----------------------------------=100；

7

-6-9+8-4+4+1+6...

y=100+---------------------------------=100；4分

7

S廿等=142,.』理=一

从而S£学〉除理，所以物理成绩更稳定。8分

(II)由于x与y之间具有线性相关关系，

〜497

：.b=--=0.5,a=100—0.5x100=50,11分

994

.♦.线性回归方程为y=0.5x+50。当y=115时，x=130。13分

建议：

进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高。15

分

2、解：设48=c,AC=b,BC=a

becosA=943

(1)sinA=—,cosA=-,he=\5,

hesinA=12355

c—15”3

S^n-cosA=>—=—,由vn<，用余弦定理得Q=4

sinCc5-=7c=5

c5i

121

(2)2s△ABC3x+4y+5z=12x+y+z=+—(2x+y)

-3x+4y<12,

设f=2x+y,Jx>0,由线性规划得

y>0,

12

—<x+y+z<4

5

3.解：（I）设椭圆的标准方程为「+2r=l（a>b>0）,则:

ab-

。=28

22

«=272vV

不,从而:,故人=2,所以椭圆的标准方程为二+乙=1。4分

—=4c=284

m2+4

（II）设则圆K方程为（x+2『+尸§i46分

与圆。：》2+y2=8联立消去》2/2得p。的方程为4x-加y+8=0,

过定点E（-2,0）。9分

x：+2y：=8

（III）解法一：设6（冷弘）,〃仇,必），则，①

%2+2y；=8

X]=-8—3々

:EG=3HE,，（玉+2,必）=3（—2-尤2，一丁2），即：<

Ji=-3%

_8

X2

代入①解得：（舍去正值）,12分

y2+2

一3

1,所以PQ:x—y+2=0,

PQ

1

从而圆心。（0,0）到直线PQ的距离d=42,

从而尸正_瓜

0=21=15分

解法二：过点G,“分别作直线/的垂线，垂足分别为设尸。的倾斜角为a,则:

—=e=—=e=—,从而GG'=6GE,HH'=6HE,11分

GG'2HH'2

,V7；o77^ZH£•/、Trjr-GG'—HH'V2,,71

由EG=3"E得：EG-3HE,cosa------------=—,故a=一,

GE+EH24

由此直线P。的方程为x-y+2=0,以下同解法一。15分

解法三：将P。：4x-"zy+8=0与椭圆方程二+匕=1联立成方程组消去x得：

84

（疗+32）/-16,町-64=0,设G&,>）,"（&,%）,则X+%=⑹;=一一分

\7"+32m+32

•.•尼=3而，.・.（玉+2,弘）=3（—2—々，―必），所以,=—3%代入韦达定理得：

8/7?2_64

力苏+32'%一/+32

消去当得：团2=16,m=±4,由图得：m=4,13分

所以PQ:x—y+2=0,以下同解法一。15分

4.解：（I）/（x）=Inx+Zx-gx?-3工，其定义域是（o,_|_oo）

/3」+2--=-（2川）（1）

x22x

令尸（x）=0,得尤=2,x=~~2（舍去）。3

分

当0<x<2时，F\x）>0,函数单调递增；

当x>2时，F\x）<0,函数单调递减；

即函数F（x）的单调区间为（0,2）,（2,+oo）o

6分

(II)设F(x)=f(x)-g(x),贝Ij.3=_(2-1)缶一、,

2x

8分

当Q40时，F\x)>0,/(x)单调递增，尸(尢)(0不可能恒成立，10

分

当。〉0时，令尸'(x)=0,得了=,，x=~-(舍去)。

a2

当0<x<,时，F'(x)>0,函数单调递增；

a

当x>-时，F'(x)<0,函数单调递减；

a

13分

故F(x)在(0,+。。)上的最大值是F(-)，依题意F(-)<0恒成立，

aa

即ln'+"1■-140,

aa

又g(a)=lnL+‘—1单调递减，且g(l)=0,

aa

故In'+L—lWO成立的充要条件是,

aa

所以a的取值范围是[l,+oo)。

16分

高三数学中档题训练18

247T

1.解；(1)由表中数据，知T=12,co=.由f=0,y=2.5得4+8=2.5

由f=3,y=2,得b=2.

11JI

所以,A=0.51=2振幅6一，・••片一cos—£+2................8分

226

1TT7T

⑵由题总知，当y>2时，才可对冲浪者开放,/.—cos—r+2>2,cos—t>0.

266

兀冗兀

：.-2k7T--<-t<2k7T+-,

262

即有一12攵万一3<，<12%乃+3,

由0WfW24,故可令k=0,1,2,得04，<3或9<「<15或214，424........1.4分

・••在规定时间内有.6个小时可供游泳爱好者运动即上午9；00至下午15：00........15分2、

【解】(1)当x<0时/(x)=0,当x20时,/(x)=a*—4...................2分

ax

由条件可知，/--5-=2,即。2*一2-。*一1=0解得。、=1±五.....6分

ax

ax>0,.,.x=log„(1+72)...........8分

(2)当fG[,2]时，优(0__L)+W(fl-_X)>0.......10分

aa1

即m(a2r-l)>-(a4r-l)

va>\,te[1,2]

/.a2t-1>0,/.m>-(a2t4-1)........13分

tG[1,2],.*.6Z2Z+1G\a2+1,6Z4+1]

~(a2'+l)e[-l-a4,-1-a2]

故m的取值范围是[—1—a?,+8).......16分

3、证明：(1)连结B。，在中，E、尸分别为RD,£>8的中点，则

EFHD、B

DRu平面ABCQJ=>EF//平面A8GD

EFZ平面A8G2

(2)

B1C1AB

B£1Bq

AB.gCu平面ABC.

AB[}BCX=B=

BC_L平面ABGR

B"u平面ABG2

B£±BD]

EF//BDlJnEF工BC

(3)•••CT，平面

：.CF±平面EF&且CF=BF=O

122

EF=；BD[=4i,BtF=yjBF+BB；=7(V2)+2=76

B}E=a篇+巧=J「+(2何=3

:.EF?+BF=BE即NEFBI=90°

••VB「EFC~K?-B,£F=§'SAB]EF，CF=—xyEF-BXF-CF

=1x|xV3xV6xV2=14.解：(1)数列{%}是公差为4(d#0)的等差数列

f(x)=x2,且q=/(d—l),%=/(2d—l)

.♦.(d-l)2+4d=(2d-1)2:.d=2

%=1an=2〃-1.................4分

数列标｝是公比为q的(qGR)的等比数列

f(x)=x2,且，仇=/(q-2)也=/(q)

*=q2(q-2yq=3

5=1瓦,=3"i.................8分

n=1—=aG=3,S,=3.................10分

仇2

〃»2*=a“+]—a“=2

血

c“=2〃3”|.................12分

H

Sn=G+，2+,,，+%=3+2・2・3+2,3・3-+,•,2•H•3

=2(l-30+2-3'+3-32+---n-3n-')+l

设x=l-3°+20i+302+…+〃-3"T

3・x=1-31+2-32+…+(〃-1>3"T+n-3n

2x="-3"—(3"T+3"2+…3。)

13

.■.Sll=(n--)-3"+-....................14分

13

综上S.=(〃一一)-3"+—,〃wN*................16分

"22

高三数学中档题训练19

1>(1)在4ADE中，y2=x2+AE2-2x-AE・cos60o=>y2=x2+AE2-x-AE,①

［,x/3］

又SAADE=—SAABC=a?=—x，AE，sin60°^^x，AE=2.②

222

②代入①得y2=x?+(2)2—2(y>0)，.二y=J/+：-2(l<x<2).6分

XvX

(2)如果DE是水管y=卜+*一2小2・2-2=0,

当且仅当x2=W，即x=J5时“=”成立，故DE〃BC,且DE=JL

X

4

如果DE是参观线路，记f(x)=x12+—,可知

X

函数在［1,J5］上递减，在［及，2］上递增，

故f(x)max=f(1)=f(2)=5.Aymax=V5-2=73.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.。。。。。。。。。。。8分

2.(I)证明：依题意知：CO_LAO.又•.•面PAO_L面A8CO

0cl.平面P4D

又DCc=面PC。二平面PAO±平面PCD

(II)由(I)知PA_L平面/风力

二平面以A1平面ABCD.

在阳上取一点必作网比四，则网工平面///,

设.册h

则ABC=-^AA-h=-x-x2x\xh=-

V!”*i-Atf(-3AZiBoC323

VPA„cn=-5^-PA=-x-^t2xlxl

r-ADI^U3ZJADC32

1hh1

要使%OM：=2:1,即(/--)：-=2:1,解得〃=-

即M为必的中点.

(III)以｛为原点，49、AB./P所在直线为方y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系

贝(0,0,0),B(0,2,0),

C(1,1,0),DC,0,0),

P(0,0,1),"(0,1,-)

2D

由(I)知平面PAD±平面PCO,作A。±PD,则

AQ1平面PDC,则4Q为平面PCO的法向量。

又APAD为等腰RfA

.•.Q为PD的中点，即Q(；,O,g)

因为而.而=(g,0,1)(0,1,；)=；关0,所以互不垂直而

所以4/与平面AN不平行.3、解：(1)由

尸(〃)=。得(。“+1一%)=一«„-!)(»N2)

a-a

2

=t,：.也用一an｝是首项为t-t,公比为f的等比数列

氏一%-1

+]

当fol时，an+]-a„=t"-t",

所以a„=f"«Rl)

⑵由b-得/”=哉=盖金=V+少

.•.^-<|(2"+/)(作差证明)

：+=+_+；<y[(2+22+...+2n)+(-1++-^-)]

"2”〃乙乙乙乙

=2"—」(1+2-")<2"---2yll-2-"=2,,-2^

22

1111_2

综上所述当一<，<2时,不等式一+—+...+—<2"—22对任意〃eN*都成立.4.

2瓦b2bn

解：(1)设用、N两点的横坐标分别为西、/，

:(幻=1—二，二切线PM的方程为：^-(x1+—)=(1—

X玉%!

又•.•切线PM过点尸(1,0),.♦.有0-(%,+—)=(1——'(I-X]),

为X,

即“+2%-/=0,..................................(1)

同理，由切线PN也过点P(l,0),得/2+2%—=0........(2)

由(1)、(2),可得王,々是方程/+2比一，=0的两根，

再+/=-2t,

.............(*)

x}•x2=-t.

22II2

M=ja-芍)2+(%!+--x2--)=-%2)[+(——)]

Vxxx2yx}x2

22

=J[U1+^)-4X1X2][1+(1---)]-

Vx/2

把(*)式代入,得|MN|=+20f,

因此，函数g(f)的表达式为g(f)=720/2+20r(/>0).....................6分

%1+--1X2+--1

(2)当点M、N与A共线时，kMA=kNA,——受一=——血—

%1-0x2-0

即项+；X1=々+；Z,化简，得(工2一匹)上(12+』)一九112]=0，

vxl^x2,:.t(x2+x})=x2x[.•••(3)把(*)式代入(3),解得/=；.

二存在f,使得点M、N与A三点共线，且t=~..............10分

2

64

(3)易知g(。在区间[2,〃+—]上为增函数,

n

64

・•・g(2)<g3”g(〃+一)(z=1,2,…,m+1),

n

64

则加-g(2)4g(%)+g(t/2)+…+g(a“J4m-g(〃+一)•

n

64

依题意，不等式加送(2)<8(〃+—)对一切的正整数〃恒成立，

n

i-----------------IAd64

M2。-22+20-2<J20(n+—)2+20(«+—),

i6464

即m<J-[(n+—尸+(n+—)]对一切的正整数〃恒成立,.

V6nn

64/1642z64112iz-n

〃+L】6,“刘r/+/+(〃+丁)]2七口rir6+16]=

由于〃2为正整数，...〃zW6.

又当〃?=6时，存在卬=g=3=2,4,“+]=16,对所有的〃满足条件.

因此，加的最大值为6.......................16分

高三数学中档题训练20

1.(1)由(x-12)2+/=144-a(a<144),

可知圆心M的坐标为(12,0),

依题意，AABM=^BAM=^~,kM=\,设刈、，监的斜率无

4o

则而=(1,；),砺=(1,左)且cos(而，砺)=与,

解得Mc=2，攵BD=—1•

所求初方程为x+2y-12=0,方程为2x-y-24=0.

(2)设/姒物的倾斜角分别为01,02,则tan0产2,tan。2=一，

设圆半径为r,则4(12+且r,拽r),B(12--r,—r),

5555

再设抛物线方程为〃=2外(p>0),由于4,6两点在抛物线上，

f(―r)2=2p(12-—r)

2V5256；•0小“

(----r)-Ip(12+——r)

I55

得抛物线方程为/=4您2.(I)解：由Sa=22S„+1得

2

S2—2/15]+1=2A6t1+I=2A+1,S3=2AS,+1=4A+22+1,

2

=S3—S2—4/1,tz3=4,a>0,.,.?1=1.

(II)由S„+1=2S„+1整理得S“M+1=2(5“+1),

•••数歹J{S“+1}是以$+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

/.S“+1=2-2'1,r.5„=2"-1,

••.a-I=2"T(〃N2),

当n=l时a尸1满足％=2"-',：.a„=2,,_|.

2

(Ill)Tn=l-2°+2-2'+3-2+…+(〃-1)-2"-2+〃N""，①

2n-1n

2Tn=l-2+2-2+…+(〃-2>2,-2+(n-l).2+n-2,②

①一②得一7