高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (23)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（23）

一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1.己知P—ABC是正四面体，E是棱PA上的中点，F是线段8c的

动点,EF与直线A8所成的角为a,EF与平面A8C所成的角为0,二

面角E-BC-4的平面角为y,则（）

A.a<^,/3<y

B.a<p，Y<P

C.04a,。4y

D.p<a,y<p

2.在三棱锥P—ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且4B=2，PA=PC=后PB

与底面ABC所成的角的余弦值为了，则三棱锥P-4BC的外接球的体积为（）

A.?B.幽幽C.97rD.华

262

3.如图，点P,。分别是正方体ABC。一公&口。1的面对角线BD

的中点，则异面直线P。和BG所成的角为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4.如图所示，正四面体4BCO中，E是棱AD的中点，P是棱4c上一动点,

8P+PE的最小值为旧，则该正四面体的外接球表面积是（）

A.12兀

B.32兀

C.87r

D.24?r

二、多项选择题（本大题共9小题，共36.0分）

5.（多选）对于四面体ABCD以下命题中正确的是（）.

A.若AB=AC=AD,则AB,AC,AD与底面所成的角相等

B.若ABLCD,AC1BD,则点A在底面BCD内的射影是/BCD的内心

C.四面体A8C£＞的四个面中最多有四个直角三角形

D.若四面体ABCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为E

O

6.已知四棱锥P-4BCD的底面为矩形，侧面PCD，平面ABCD,BC=2,CD=PC=PD=2次,

若点”为尸C的中点，则下列说法正确的是（）

A.BM，平面PCD

B.PA〃平面MBD

C.四棱锥M—ABCD的体积为2遍

D.线段PB上存在点T,使得471BD

7.己知边长为2的等边44BC,点。、E分别是边AC、AB上的点，满足DE〃8c且桀=

MAC（0,1）,翘/WE沿直线OE折到/40E的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）

A.在边AE上存在点凡使得在翻折过程中，满足BF〃平面AC。

B.存在;le（0，），使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABCJ•平面BCDE

C.若当二面角4'一DE-B等于60。时，|AB|=?

D.在翻折过程中，四棱锥A-BCDE积的最大值记为的最大值为公

9

8.如图，棱长为的正方体ABCn-ABiGDi中，尸为线段上的动点（不含端点），则下列结论正

确的是（）

D,

A.直线DiP与AC所成的角可能是，

B.平面Di&P_L平面&4P

C.三棱锥5-CDP的体积为定值

D.平面APDi截正方体所得的截面可能是直角三角形

9.已知球0的直径SC=4,4、B、C是球。表面上的三个不同的点,

NASD=/BSD=NCSD=30。，则（）

A.AB1SD

B.线段AB的最长长度为2百

C.三棱锥S-4BC的体积最大值为3

D.过SA作球的截面中，球心。到截面距离的最大值为1

10.如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线OE相交于G,已知/4'ED是A4DE绕QE旋转过程

中的一个图形，下列命题中，正确的是（）

A.动点力'在平面ABC上的射影在线段A尸上

B.恒有平面4'GF1平面BCDE

C.三棱锥&-EF。的体积有最大值

D.旋转过程中二面角4-DE-C的平面角始终为乙4'GF

11.如图，已知平行四边形ABC。中，z_BAD=60°,AB=2AD,E为边AB的中点，将△力DE沿

直线。£翻折成AAiDE.若M为线段&C的中点，则在△4DE翻折的过程中，下列命题正确的有

4

AEB

A.异面直线。E与&C所成的角可以为90。

B.二面角D—&E—C可以为90。

C.直线MB与平面4DE所成的角为定值

D.线段的长为定值

12.在四棱锥P—4BCD中，底面ABC。是正方形，P41底面ABC。，PA=AB,截面8DE与直线

PC平行，与私交于点E,则下列判断正确的是()

A.E为PA的中点

B.PB与CC所成的角为g

C.BD1平面PAC

D.三棱锥C一BDE与四棱锥P-力BCD的体积之比等于1:4

13.折纸艺术起源于中国，是深受大众喜爱的手工艺,如图，有一张矩形

卡纸ABC。，M为BC的中点，将AABM沿直线AM翻折成AABiM,

连结&D,N为当。的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是

()

BMC

A.存在某个位置，使得CN_L4Bi

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM1BXD

D.若4B=BM=1,当三棱锥&-AMD的体积最大时，三棱锥电-AMO的外接球的表面积是

47r

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

14.设如”是两条不同的直线，a,B，y是三个不同的平面.在下列命题中，正确的是（写

出所有正确命题的序号）

①若m〃n,n//a,则m//a或mua；

②若m〃a,n//a,mu。,nu0,则。〃£；

③若Q1y,A，y,贝ija〃0；

④若a〃氏0〃y,mLa,则m_Ly

15.如图，在棱长为2的正方体ABC。-4B1GD1中，E,F分别是棱

CB,CG的中点，P是侧面BCCiBi内一点，若&P〃平面AEF,则

线段&P长度的取值范围是.

16.如图：正方体4BCD-4B1GD1的棱长为2,M,N分别为棱AB,BC的中点，则二面角/-MN-B

的余弦值为—；若点尸为线段为N上的动点（不包括端点），设异面直线GP与MN所成角为巴

则cos。的取值范围是.

17.如图，矩形ABC。中，BC=2AB=2,N为边BC的中点，将4ABN绕直线AN翻折到△48剂,

M为线段的中点，则在44BN翻折过程中，

①与平面A&N垂直的直线必与直线CM垂直；

②线段C例的长恒为今

③异面直线CM与NBi所成角的正切值为产；

④当三棱锥&-AND的体积最大时，三棱锥S-AND外接球的体积是3小

上面说法正确的所有序号是.

18.在三棱锥S-ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，S4=V3-SB=2遮，若此三棱

锥外接球的表面积为21兀，则二面角S-AB-C的余弦值为一.

19.己知半径为旧的球面上有三点力、B、C,4B=2汽,球心为0,二面角C-AB一。的大小为60。,

当直线0C与平面048所成角最大时，三棱锥0-ABC的体积为一.

20.如图，在棱长为2的正方体力BCD-4/GD1中，点E，尸分别是棱4Di，___________Ci

A

力iBi的中点,P是侧面正方形BCQBi内一点（含边界），若FP〃平面AEC,

则线段FP长度的取值范围是.

21.如图，在梯形ABCO中，AB1AD,AD//BC,AD=2AB=2BC=2,AE1_平

面ABC。，CF_L平面ABCD.AE=2,CF=3,则点尸到平面CDE的距离为

22.如图，矩形4BC。中，BC=2AB=2,N为边BC的中点，将因力BN绕直线AN翻折到△ABiN,

例为线段为D的中点，则在国ABN翻折过程中，

51

D

①与平面ABiN垂直的直线必与直线CM垂直；

②线段CM的长恒为手；

③异面直线CM与N/所成角的正切值为.；

④当三棱锥&-ANO的体积最大时，三棱锥&-AND外接球的体积是:.

上面说法正确的所有序号是.

四、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

23.如图，四棱锥P-4BC0的底面ABC。是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2,BC=a,

PC=y/6.E、，分别为PA、48的中点.

(1)求证：PH1AC；

(2)求点尸到平面OEH的距离.

24.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA1平面ABCD,

PA=AD=4,AB=2,若M、N分别为棱PD,PC上的点，。为AC中点，且AC=20M=20N.

(1)求证：平面1平面PCD；

(2)求直线CO与平面ACM所成角的正弦值;

(3)求点N到平面ACM的距离.

25.如图，在正三棱锥4-BC。中，E、尸分别是48、BC的中点，EF1DE,S.BC=1,

⑴求点A到平面EFD的距离;

(2)设80的中点为M,空间中的点Q,G满足诙=2祠=而，点P是线段CQ上的动点，若

二面角P—AB-D的大小为a,二面角P-BG—D的大小为0,求cos(a+3)的最大值.

26.已知四棱锥P-4BC0,底面ABC。为菱形，PD=PB,H为PC上的点，过A”的平面分别交

PB,PD于点、M,N,且BD//平面AMHV.

(1)证明：MN1PC；

(2)当”为尸C的中点，P4=PC=PA与平面ABC。所成的角为60。,求二面角P-4M-N

的余弦值.

27.已知四棱锥S-力BCD的底面为平行四边形，且SD1平面ABCD,AB=2AD=2SD,乙DCB=60°,

M、N分别为SB、SC的中点，过MN作平面MNP。分别与线段CZXA8相交于点P、。,且慈=AAB.

(1)当;1=9时，证明：平面MNPQ〃平面SAO；

(2)是否存在实数人使得二面角M-PQ-B为60。？若存在，求出;I的值；若不存在，请说明理

由.

28.如图所示的多面体A8CQP中，PA=PB=BC=CA=2,乙4PB=60°,平面R4BI5?®ABC,

CQ1平面ABC.

(1)求证：平面ABQ1平面PQC；

(2)若二面角4一PQ-B的大小为60。，求C。的长.

29.已知三棱柱ABC—%B1G中，〃、N分别是CQ与的中点，为等边三角形，C4=C4,

A^A=ArM=2BC.

(I)求证：MN〃平面ABC；

(H)(回)求证：BC1平面力BBiAi；

(助求二面角a-MN-B的正弦值.

30.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD1平面ABC。，PD=DC=BC=1,AB=2,AB//DC,

Z.BCD=90

(1)求证：PC1BC：

(2)求点A到平面PBC的距离.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查空间中的线线角、线面角、面面角的定义和求解方法，关键在于运用定义找出所各角所表

示的平面角，属于较难题.

作出图示，根据异面直线所成的角、线面角、面面角的定义，找出a,。,y所表示的平面角，再运用解

三角形的方法，求得各角的值或范围，从而得出其大小关系，可得选项.

解：作出图示如下图所示，设正四面体的棱长为2,取的中点D,连接ED,AD,EB,EC,作PH_L面

ABC于H,作EG，面ABC于G,

则EB—EC—AD-A/3>EDy/EB2—BD2V3）—l2=V2,

由正四面体的性质得：点”，点G在线段4。上，且4"=|4。,4G

2_t-

所以PH=>JPA2-AH2=="，EG=-PH=—^

323

J/_2工+：，

BF=x(0<x<2),在RtmGDF中，GF=\/GD-+DF2=

EF=yjEGi+GF2==y/j'2—2x+3'

过点尸作交AC于M,连接EM,贝”MFE（或其补角）就是EF与直线A8所成的角，又

MF=2—%,AM=x,

所以EA〃=AE2+AAP-2.4ExAMcon=x2-x+1,

所以3a==

(2—x)2+Q2—2x+3)-Q2—X+1)

2X(2-%)Xyjx2—2%4-3

x2—Sx+63—x

=|-------------,I=—,

2x(2—x)xV%2—2%4-32>/x2—2%+3

=-x；一蚁,

27X2-2X+3

令〃工)=26-^Q<0(，W2)，则/(J)=¥；22(。w工W2),

因为0Wx42,所以尸(%)WO,所以/(x)在［0,2］上单调递减，

所以当x=0时，f(x)取得最大值，cosa取得最大值，最大值为当；

当x=2时，f(x)取得最小值，cosa取得最小值，最大值为它.

6

所以cosa6恃，境.

连接GF,贝此GFE就是EF与平面A8C所成的角0,

我

所以向人警=广―，

EF一工2—2工+33"-2H+3

因为04%42,所以243-21+343，所以—<cos^S<—.

3333

因为。是8C的中点，所以ED_LBC,AD1BC,所以乙4DE就是二面角E—BC—4的平面角y,由图

示知y是锐角,

所以在UM中，c°sy=|餐料昔,

又、=cos》在(0,§上单调递减，所以了之£.

因为sin/?=.=>

13VX2-2X+3

匚匚1、］2cA69%2—18%+21

所以COS夕=1-9展二2工?)=9(0-2x+3)

_3642-72N+84

-36(X2-2X+3)*

-

因为cosa=3x

2VX2-2X+3,

9(3T)2

所以cos2a_9%2-54%+81

36(X2-2X+3)-36(%2-2X+3)*

29X2-54X+81

所以cos?/?—cos2a=36X-72X+84

36(X2-2X+3)36(X2-2X+3)

_27%2.18%+3_（3岳-6）>0

-36（X2-2X+3）-36（X2-2X+3）''

当且仅当X=1等号成立.

所以cos£>cosa.

又y=cosx在（0,9上单调递减,

所以。4a.

综上得：口《a,。4y.

故选：C.

2.答案：A

解析：

本题考查了等腰三角形的性质、球的体积计算公式、余弦定理、线面面面垂直的判定与性质定理，

考查了推理能力与计算能力，属于较难题.

取AC的中点。，连接BO,PD,由BC=4C,PA=PC,利用等腰三角形的性质，线面垂直的判定定

理即可得出：

4C_L平面PBQ,进而得出：平面PB。_L平面A8C,可得4P8。为PB与底面A8C所成的角，其余弦

值为2.在APB。中，设PB=x,利用余弦定理可得：X.由PB=3,取PB的中点。，连接0。，利

3

用余弦定理可得0D,可得点。为三棱锥P-ABC的外接球的球

心，即可得出外接球的体积V.

解：如图所示，取4c的中点。，连接8。，PD.

•••BC=AC,PA=PC,

AC1BD,AC1PD.

：.AC_L平面PBD,又ACu平面ABC,

平面P8D1•平面ABC,

NPB。为PB与底面ABC所成的角，其余弦值为越.

3

AC=yj2AB=2&，PD=y/PA2—AD2=V3»

在APB。中，设PB=x,由余弦定理可得：C0S4PBD=巫=―+（'泛*（百）',

32V2X

解得％=3,即PB=3,取尸8的中点。，连接0力，则0"2=（立）2+（|）2—2x四x|x苧=；,

解得。。

•••0D2+DB2=0B2,■■■0D1DB,

可得点0为三棱锥P-4BC的外接球的球心，其外接球的半径r=|,体积V=yx（|）3=拳.

故选A.

3.答案：C

解析：

本题考查了正方体的性质、空间角、等边三角形的性质，考查了推理能力应用计算能力，属于中档

题.

如图所示，连接DiC,则PQ〃£）iC,4/〃。1仁则44/6是异面直线。。和3（71所成的角.

解：如图所示，

连接。1C则PQ〃OC

连接&G，&B,则△&GB是等边三角形,A[B〃D[C.

则NaBG是异面直线PQ和BG所成的角，为60°.

故选C.

4.答案：A

解析：

本题考查了棱锥的几何特征与表面积的计算，属于中档题.

将侧面展开，根据BP+PE的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出表面积.

解：将侧面△力BC和△4CD展成平面图形，如图所示：

设正四面体的棱长为。，

则BP+PE的最小值为BE=卜+?一2*川”120。=9a=E，

a=2\f2-

在正四面体力一BCD中，

作AM_L底面BCD,连接。M延长交BC于点F,

BD

C

由正四面体的特征知M为正三角形BCO的中心，尸为8c中点，

则4M=J（2V2）2-（2V2X^）2=竽，

设外接球的半径为R，

27

则（殍-R）+（不）…

解得R=V3.

外接球的体积U=4TTR2=127r.

故选A.

5.答案：ACD

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于A,根据线面角的定义即可判断；对于B,根据线面垂直的判定和性质可知，。是△BCD的垂心，

对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于。作出正四面体的

图形，找到球的球心位置，说明0E是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积.

对于A选项，因为4B=AC=4。，设点A在平面BC。内的射影是0,

因为。=—,。=—,sin^ADO=—,

sinaABABsin/ACACAD

所以sinz_4B。=sinZ-ACO=sinZ.ADO,

则A8,AC,AO与底面所成的角相等，故A正确；

对于B选项，设点A在平面8C。内的射影是0,

则4。，平面BCD,CDu平面BCD,

故AOJ.CD,又ABICD,

AOC\AB=A,AO,ABu平面ABO,

故CD!平面4B0,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正确；

如图：直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故C正确；

如图，。为正四面体ABC。的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

C

所以0E为内切球的半径，BF=AF=―，BE

23

所以AE=/1--=—9

733

因为8。2-0E2=BE2,所以（当一0E）2一0E2=（野，

所以0£=渔，所以球的表面积为4兀,。£2=±故。正确.

126

故选：ACD.

6.答案：BC

解析：

本题主要考查线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直判定，棱锥的体积.

由线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直判定，棱锥的体积对每个选项，分别判断，即可得.

解：如图所示：

p

因为底面ABC。为矩形，侧面PCD1平面A8CD,点M为PC的中点,

所以不垂直平面尸CQ,故A错误；

因为。为AC的中点，点M为PC的中点，

所以PA〃OM,

又因为OMu平面BMD,PA仁平面MBD,

所以PA〃平面故8正确；

因为BC=2^,CD=2V6.

所以AC=BD=6,则OA=OB=OC=OD=3,

因为CD=PC=PD=2V6.

取CO的中点为N,则PN1CD,

所以PN=3y[2,

又因为侧面PCD_L平面ABCD,

所以PN1平面ABC。，

所以PA=y/PN2+DN2+AD2=6

所以OM=^PA=3,

所以四棱锥M-ABCD在以。为球心，半径为3的圆上，

所以。M1BD,

所以四棱锥M-ABCD的体积为U-S矩形ABCD■泗

=iX2V3X2V6X1X3V2=12,故C正确；

取尸8中点为。，48中点为G,连接G。，OG,MG,

则四边形OGQM为平行四边形，

所以。M〃GQ,

BD1GQ,

线段PB上存在点T,使得4T1BD,由线面垂直的判定定理得BD_L平面PA8,

由面面垂直判定定理可得平面ABC。_L平面P4B,与题干侧面PCOJ■平面ABC。，矛盾，

故。错误，

故选BC.

7.答案：CD

解析：

【试题解析】

本题考查了线面平行的判定和二面角，属于较难题.

对于4在边AE上点F,在4'0上取一点N,使得FN〃ED,在上取一点H,使得NH〃EF,作HG〃BE

交BC于点、G,即可判断出结论；对于8,),在翻折过程中，点A在底面8CQE的射影不可能在交

线BC上，即可判断出结论；对于C,取的中点M,8c的中点为N,可得|4阴=当，

\A'B\=yjA'N2+BN2,即可得出；对于。.在翻折过程中，取平面4ED_L平面BCDE,四棱锥4'-BCDE

体积/(Q=，SBCOE-6%=入一於，Ae(O,l),利用导数研究函数的单调性即可得出.

解：对于A,假设存在FC4E,使得B/7/平面ACD,

如图1所示，

因为BFu平面4BE,平面ABEn平面4CD=44故BF〃44,

但在平面ABE内，BF,AA是相交的，

故假设错误，即不存在F64E,使得BF〃平面4CD,故A错误.

对于B,如图2,

取BC,DE的中点分别为/,H,连接/H,A'l,A'H,Al,

因为△ABC为等边三角形，故4/1BC,

因为。E〃BC,故NA'OE=NAOE=NACB=60°,NA'EO=NAED=N.4BC=60°,

所以△4'DEQADE均为等边三角形，故4HIDE,AH1DE,

因为。E〃BC,Al1BC,AILDE，故4，,/共线，

所以/H_LDE,因为AHn/H=H,u平面A"/,

故DE_L平面

而DEu平面CBED,故平面4"/，平面CBED,

若某个位置，满足平面ABC_L平面8C0E,则4'在平面BCCE的射影在田上，也在BC上，故4’在

平面BCDE的射影为H,所以AH>IH,

此时"冷答=磊吟这与屣（。小矛盾，故B错误.

对于C,如图2（仍取BC,DE的中点分别为1,H,连接

A'

因为力'H1DE.IH1BC,所以44'用为二面角A-DE—/的平面角,

因为二面角4-DE-8等于60。，故乙*〃/6(},

又AH=HI=曰,则|47|=y,

因为BC//DE,所以BCIA'H,BC1HI,

因为AHCiHI=H,A'Hu平面4"/,Hlu平面AH/,

所以8cl平面4"/,因为47u平面47//,所以BCJL41,

则|AB|=y/A'I2+B12=J(y)2+1=y>因此C正确；

对于D,如图4(仍取BC,DE的中点分别为1,H,连接力,4如,4B仍取),

作4在底面CBED上的射影O,则。在/H上

因为靠=4,8C〃DE,所以等=4且半=九所以4"=8;I其。E=22.

又KV-CBED=9x：x(DE+CB)x/"xA'O

1l,

=-(2A+2)xV3(l-A)xA'O

6

<i(2A+2)xV3(l-A)xV3A=-A3+A,

令f(Q=-23+2,2G(0,1),则尸(Q=-3A2+1,

当；le(0,g)时，fU)>0；当；时，f(A)<0.

所以f(A)在(o,f)为增函数，在为减函数，

故/Wmax=f(f)=等.

故。正确.

故选：CD.

8.答案：BC

解析：

本题考查考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、动点截面等基础知识，考查运算求解能力，

考查数形结合思想，是较难题.也可利用空间坐标系利用向量来判断各选项的正误.

在A中，当p点位于B点时，.直线DiP与4c所成的角为;，当p点位于4点时，.直线ZAP与AC所

成的角为:，所以当P点位于4和8之间时，直线D】P与AC所成的角的范围为(：「)，故A错误；

在B中，•.•久久J_平面&4P,久久u平面Di&P,.•.平面。解针1平面&AP,故B正确；

在C中，-.-A1B//CD1,又418c平面％CO1,胃Cu平面8*5,

•••418〃平面3传。1，又P为线段上的动点，

P到平面&D1C的距离即为点B到平面B】DiC的距离，是定值，

又•••△DD1C的面积是定值，.••/LCDP=%-%为定值，故C正确；

在。中，延长AP交正方形于。点，当Q点位于之间时，截面为梯形，当。点与当重合

时，截面为等边三角形，当。点位于8遇1之间时，截面为三角形，但是乙4/。1(60。)<乙4(2。1<

444也(90。)，所以截面不可能为直角三角形，故。错误。

综上所述答案为BC

9.答案：ABD

解析：

本题考查球，正棱锥的结构特征，棱锥的体积公式，线面垂直的性质，球的截面问题，属于较难题.

根据题意，先得出SD_L平面ABC,且SO和平面ABC的交点为△ABC的外心，再逐一分析各选项即

可.

解：连接D4,DB,DC,

由题意，SD为球0的直径，所以NS/W=乙SBD=乙SCD=90°,

MASD=乙BSD=乙CSD=30°,

所以S4=SB=SC=SD-cos30°=2%，

所以SZ）和平面A8C的交点为△ABC的外心H,且SO_L平面A8C,连接A”，

可得4H=SA-sin30°=遮，即44BC外接圆半径为十，

"ABu平面ABC,

•.AB1SD,故A正确；

A8的最大值为圆H的直径2遍，故8正确；

可知SH=SA-cos30°=26x立=3,

2

在AABC中，若要使其面积最大，

则该三角形的高必然通过圆心，，此时^ABC为等腰三角形，

不妨记4B=AC=b,BC=2a,A到BC边上的高为x,则b<x<28，

所以△ABC的面积为S=ax,

可得+（“一V3）2=（百丁，可得a?=2V3x-X2.

所以S?=a2x2=2V3x3—%4,令/（x）=2A/3X3-%4,V3<%<2显,

则/'（%）=6痘x2—4x3=4/（2^一%）,

当8<x<然时，/。）>0,/（x）单调递增；

当苧<尤<26时,f（x）<0,f（x）单调递减;

故/（X）的最大值为/（竽）=（子JX（2V3—竽）=答，

所以三棱锥S—ABC的体积最大值为工x3x匡=吗故C错误；

37164

可知过SA作球的截面中，球心。到截面距离为。到SA的距离,

其大小为=（x4xsin30o=1,故。正确；

故选ABD.

10.答案：ABCD

解析：

本题考查空间线面垂直关系的判断以及体积、角的计算，属于较难题.

根据线面垂直关系的判定方法判断A,B；利用锥体体积的计算判断C,利用二面角的定义判断C.

解：•••A'D=4'E,44BC是正三角形，A'G1DE,GF1DE,DE1平面AGF,

因为DEu平面BCE£）,所以平面4GF1平面BCED,:.4在平面ABC上的射影在线段A尸上，故4

正确；

由A知，DE_L平面4'GF,DEu平面BCED,.•.恒有平面AGF_L平面BCED,故B正确；

三棱锥4-FED的底面积是定值,体积由高即*到底面的距离决定，故当平面ADE_L平面BCE。时，

三棱锥A-FED的体积有最大值，故C正确；

平面4DEn平面CDE=DE,且4G1DE,GF1OE,则二面角4'一DE-C的平面角为44'GF,故。

正确；

故选：ABCD.

11.答案：BCD

解析：

本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平

行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，属于较难题目.

根据翻折前后不变的数量关系和位置关系，对各选项逐项推理计算判断即可得到答案.

解：对于4由题意知AHOE为正三角形，即AanE为正三角形，假设存在某个位置，使DEJ.41C,

设48=2AO=2,由NB40=60。可求得OE=1,CE=V3.所以CE?+OE2=。。2,即CE，

因为4iCnCE=C,所以DEJL平面4ICE,因为u平面AiCE,所以DElAiE,与AADE为正三

角形，相矛盾，故A错误；

w

EB

对于B,设力B=24D=2,由NB40=60°可求得DE=1,CE=限,所以CE?+DE2=。以，即

CE1DE,

222

当△4DE沿直线DE翻折到&C=2时，CE+ArE=ArC,即CE14E,又DEn2iE=E,DE

和在平面ADE内，故CE1平面&CE,

CE在平面&CE内，故平面&CE_L平面&OE,即二面角D-4E-C可以为90。，3正确；

对于。，取OC的中点N,连接NM、N8,则MN〃&。，且MN=14。=定值,NB〃DE,且NB=DE=定

值，所以NMNB=4&DE=定

值，由余弦定理得，MB?=MN2+NB2-2MN•NBcos乙MNB,所以8例的长为定值，。正确；

对于C,MN"A[D,NBI/DE,且MNCNB=N,A^DCDE=D,所以面MNB〃面&DE,所以MB〃面

A.DE,即直线MB与平面4OE所成的角为定值，C正确.

故选BCD.

12.答案：ACD

解析：

本题考查命题真假的判断，考查了线面角的求法，棱锥体积的求法，考查了线面垂直的判定，考查

运算求解能力.

在A中，连结AC,交BD于点、F,连结EF,则平面P4Cn平面BDE=EF,推导出EF〃尸C,由四边

形A8CZ）是正方形，从而4F=FC,进而4E=EP；

在8中，由以）〃4B,得NPB4（或其补角）为P8与C。所成角，推导出P4J.AB,从而PB与C。所

成角为3

在C中，推导出4C1BD,PA1BD,由此能证明BD_L平面PAC；

在力中，设4B=PA=x,则/TBCD=泮，乙.BDE=专炉.由此能求出三棱锥c-BDE与四棱锥

P-4BCC的体积之比等于1：4.

解：在A中，连结AC,交80于点凡连结E凡

则平面PACn平面BDE=EF,

■:PC〃平面BDE,PCu平面PAC,

EF//PC,

•••四边形48CD是正方形，

.-.AF=FC,

：.AE=EP,即E为PA的中点，故A正确;

在B中，••,CD//4B,

二ZPB4（或其补角）为尸8与CD所成角,

vPA_L平面ABCD,ABu平面ABCD,

■■PAA.AB,

在RtAPAB中，PA=AB,

：.乙PBA=

4

・•.PB与C£＞所成角为三故8错误；

在。中，・・,四边形ABC。为正方形，

・•・AC1BD,

•••PA1平面ABCD,BDu平面ABCD,

PA1.BD,

PAOAC=A,PA,ACu平面PAC,

BD_L平面PAC,

故C正确；

在。中，设AB=PA=x,

则4-48CD=IXAB2xPA=|x2-x=jx3,

Vc-BDE=^E-BCD=/BCD-AE=|X|X2•|X=X3.

Vc-BDE：^P-ABCD=豆彳'：]%'=1:4.

故。正确.

故选：ACD.

13.答案：BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于难题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取4。的中点为E,连接CE交MO于点凡如图1,

图1

则NE〃ABi，NF“MB[

如果CN_L4B「则EN1CN,

由于ABilMBi，则ENINF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故A不正确；

对于B,如图1,由/NEC=

且NE=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos/NEC,也是定值,

故NC是定值，故2正确；

图2

取AM中点为0,"AB=BM,即AB1=&M,则4MIB1。

若4M±B]D,由于B]。nB[D=Br,

且Bi。,公。u平面0。/，

•••AM，平面ODu平面ODBi，

OD1AM,则AD=MD,

由于AOKMD,故4MlBi。不成立，故C不正确；

对于D,根据题意知，只有当平面/AML平面AMZ）时，

三棱锥品-力MD的体积最大，取AO的中点为E,

连接OE,B]E,ME,如图2

•■•AB=BM=1,贝ijABi=BiM=1,

且平面8送“CI平面AMO=

/.Bi。1AM,为。u平面EMM

Bi。1平面AMD,OEu平面AMD

J。10E,

则4M=VI，BIO="M=¥，

oy叫4M=争

从而即、囹+倒=】,

易知EA=ED=EM=1,

.••4。的中点E就是三棱锥当-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故。正确；

故答案为BD.

14.答案：①④

解析：

本题考查线面、面面平行或垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中

线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题.

利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论，

解：①•若m〃n,且n〃a,分两种情况：，“不在a内或在a内，则zn〃a或mua故正确，

②若m〃a,n//a,me/?,nc/?,m,”相交，贝！la〃夕，故不正确，

③若a_Ly,£ly,则。〃0,此命题不正确，

因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确，

④由平行的传递性知若a〃S，Bl",则丫〃a,

因为mla,所以mly,故正确，

故答案为①④.

15.答案：［乎，得

解析：略

16•答案:右瞎竽

解析:

本题考查了二面角和异面直线所成的角，考查线面垂直的判定及性质，是较难题.

(1)先找出二面角的平面角，通过解三角形得出答案.

(2)根据空间直角坐标系，根据坐标公式来求出.

【解】

解：第一空：连接B。，因为MN〃AC,且4CJ.BD,所以BD1MN,设8。与MN相交于点。，连

接8。

因为BBi±¥ffiABCD,MNu平面A.BCD,所以1MN,

又因为BBiCBD=B,BBiu平面叫白。，BDu平面88必。，

所以MNJ_平面BB1DW，/。u平面BBiDiD,所以MN1&0,

所以NBiOB就是二面角当一MN-B的平面角，

2

因为BO=：BD=当，Br0=yjBBl+BO=」4+g=/,

亚

在Rt△BB］。中，cos乙B［OB=空'=等=士

BiO近3

1

所以二面角/一MN-B的余弦值为不

第二空：以。点为原点，分别以D4,DC,为x,»z轴建立空间直角坐标系，

则M(2,l,0),很(1,2,0),则而=(一1,1,0),因为当(2,2,2),N(1,2,0),B^N=(-1,0,-2).

因为BiP=AB［N,所以P(2—A,2,—2A+2)(0《入41),

所以于=(2—2,0,—24)，

加以cosB-|O||^p|-泥反FS

_("2)2_1

』。一2)*,2+8(2)2

■

/1%0,2)，

由题04a《l,当；1。0时，2+8⑶

、

当"。时,焉2先=:,

则cos。的取值范围是［噜,曰］.

故答案智信，外

17.答案：①②④

解析：

本题考查翻折过程中点、线、面的位置关系，相关角度，长度，球的表面积的计算，考查空间想象

能力与运算能力，属于中档题.

①CM〃平面Bp4N,则可判断；②通过线段相等CM=NE,可求出线段NE的长即可；③异面直线

CM与NB］所成角为ZENG，求出其tan/ENB］即可；④找出球心，求出半径即可.

解：取AB1的中点E,AO的中点/，连接EM,EN,FB「FN,

^\EM//AD,EM=^AD,又NC//AD,NC=^AD,

则EM〃NC,EM=NC,则四边形EMCN为平行四边形，

故CM“EN,

又CMC平面Bj/N,£77<3平面8遇7，

故CM〃平面&AN,

则与平面SAN垂直的直线必与直线CM垂直，故①正确；

CM=NE==与故②正确；

乙ENB］即为异面直线CM与NB］所成的角（或其补角），

tanNENBi=^=:，故③错误；

当平面8遇N_L平面AND时，三棱锥。一即当一4N0的体积最大,

•:AB】=NB1,取4N中点。，则B101AN,

•••平面BiANn平面AND=AN,&。u平面&4N,

则&。_L平面AND,FOu平面AND,

则GO±F0,计算得当。=F0=与,则F4=1,

此时凡4=FD=FN=FBi=1,显然F为三棱锥当一4N。外接球球心,

所以三棱锥/一AND外接球的半径R=FA=1,

所以三棱锥&-AND外接球体积是三，故④正确.

其中正确结论的序号是①②④.

故答案为①②④.

18.答案：一［

解析:

本题考查了几何体的外接球表面积的求法以及二面角的求解；关键是正确找出球心的位置，题目较

难.由题意得Si+4/=SB2,得到S4J.AB,取A2中点为。，S