线性代数与概率统计 课件 5.1点估计+5.3区间估计

第五章参数估计主讲教师：王佳新点估计第一节定义1设θ为总体X的待估计参数，用样本X1

,

X

2

,X

3,

…Xn的一个统计量

ˆ

ˆ(

X1,

X

2

,X

3,…

Xn

)来估计

，则称

ˆ

ˆ(

X1,

X

2

,X

3,…

Xn

)为

的点估计量.对应于样本观测值x1,

x2

,

X

3,

…xn，称

ˆ(x1,

x2

,

,

xn

)为

的点估计值.对于点估计问题，关键是找一个合适的统计量，既有合理性，又有计算上的方便性.

常用方法:

矩估计法和极大似然估计法矩估计法一用样本矩去替换相应的总体矩；用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数.替换原则常指：英国统计学家

卡尔·皮尔逊(Karl

Pearson)提出替换原则，后来称之为矩估计法.定义2设总体X的分布函数为F(x;

1,

2,…

r)，其中

1,

2,…

r为待估计的r个未知参数，若总体X的k

阶原点矩都存在，即

X

kkk

12r

E

μ

,

,…

(k

1,2,…,

r).取样本的k阶原点矩

nikX

kAn

i

1

1(k

1,2,…,

r).矩估计法一作为总体的k阶原点矩的估计量，得方程组niX

k1

k

1

,

2，

3,…

r

n

i

1(k

1,2,…,

r).k

ˆ

ˆ

X

,

X

,X

…,

X

k

1 23

n解得称

ˆk

为

k

的矩法估计量，简称矩估计.极大似然估计二极大似然原理在随机试验中，许多事件都有可能发生，概率大的事件发生的可能性也大.

若在一次试验中，某事件A

发生了，则有理由认为事件A比其他事件发生的概率大，这就是所谓的极大似然原理。极大似然估计法就是依据这一原理得到的一种参数估计方法。(1)

若总体X为离散型：其分布律为极大似然估计二P{X

x}

p

x;

1,

2,…

r

，其中(

1,

2

,

3

,…

r

)

为待估参数.·设X1,

X

2

,X

3,

…Xn是X

的样本，其观测值为x1,

x2

,x3,

…xn

.

记A

X1

x1,X2

x2,

,Xn

xn

·事件A发生的概率记为··

rn nIi

i

1

23i

1

i

1P{X

x

}

P(

A)

p

x;

,

,

,…

1

2

3r

L

,

,

,…

·称

L

1,

2

,

3

…,

r

为样本的似然函数.(1)

若总体X为连续型：其概率密度为极大似然估计二f

(x;

1,

2

,

,

r

).则样本的似然函数定义为···称

L

1,

2

,

3

,…

r

为样本的似然函数.n

i

1f

xi

;

1

,

2

,

,

r

L

1

,

2

,

,

r

定义2ˆk1

23nL

1

,

2

,

,

r

在

(x

,

x

,x…x)若样本的似然函数

(k

1,2,3,…

r)处达到最大值,

则称

ˆ

(x

,

x,x

,

x

)为参数

k

1

23

n

k

k

(k

1,2,

,

r)

的极大似然估计量.极大似然估计二

为参数(k

1,2,3,…

r)的极大似然估计值.

称

ˆ

X,

X ,X…

X

k

1

23n

1 23rk

解似然方程组：

ln

L(

,

,

,…

)

0

;求参数的极大似然估计问题，就是求似然函数的最大值点的问题.

一般步骤如下：求出似然函数

L(

1,

2

,

3,…

r

)取对数ln

L(

1,

2

,

3,…

r

);123极大似然估计二即得参数

k

(k

1,2,…,

r)的极大似然估计值.区间估计第三节定义1统计量.

对给定的

(0,

1)，若对参数

的任何值都有区间估计问题一则称随机区间

为参数

的置信度为1

的置信区间.分别称为

的双侧置信区间的置信下限和置信上限.设总体X

的分布中含有未知参数

，

(X1,X2,X3,…Xn

)和

(

X1

,

X

2

,X

3,

…Xn

)是由样本X1

,

X

2

,X

3,

…Xn

确定的两个P{

}

1

,(1)区间估计方法二设总体X

~

N

(

,

2

),

2

已知,

未知,

X1,

X2,X3,

…Xn是来自总体X

的样本,

求

的置信度为1－

的置信区间例1因为E(

X

)

，故可从X

出发构造

的置信区间由于解

2X

)

U

~

N

(0,

1),n

nX

~

N

(

,—所以

/

2

1

.

u

X

P

/

n即

/

2

/

2

u

1

.

X

nnP

X

u—求未知参数θ的置信区间的具体方法：即是

的置信水平为1－

的置信区间.对给定的置信水平1－

，选取两个常数a和b，使对一切

，有P{a

G(X1,X2,X3,Xn；

)

b}