备考2025届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破3利用导数证明不等式命题点3放缩法证明不等式

命题点3放缩法证明不等式例3[2024成都七中校考模拟预料]已知函数f（x）＝cosx＋a2x2－1，a∈（1）若x＝0是函数f（x）唯一的微小值点，求实数a的取值范围；（2）证明：sin312＋sin324＋sin解析（1）f'（x）＝－sinx＋ax，且f'（0）＝0，令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝－cosx＋a.①当a≥1时，g'（x）≥0且g'（x）不恒为0，则g（x）单调递增，当x＞0时，g（x）＝f'（x）＞g（0）＝0，当x＜0时，g（x）＝f'（x）＜g（0）＝0，即当x＞0时，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）单调递减，此时x＝0是函数f（x）唯一的微小值点.②当a＜1时，g'（0）＝－1＋a＜0，所以存在δ＞0使得当x∈（0，δ）时，g（x）＝f'（x）在（0，δ）上单调递减，即当x∈（0，δ）时，f'（x）＜f'（0）＝0，所以f（x）在（0，δ）上单调递减，与x＝0是函数f（x）唯一的微小值点冲突.综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）.（2）由（1）可知，当a＝1且x＞0时，－sinx＋x＞0，即当x＞0时，x＞sinx，故当x＞0且x∈[2kπ，π＋2kπ]，k∈N时，sin3x＜x2，即sin3x＜故可得sin312＋sin324＋sin338＋…＋sin32023令S＝12＋24＋38＋…则12S＝14＋28＋316＋…＋202322024，两式相减可得12S＝12＋14＋18＋…＋122023－202322024，化简可得S＝故sin312＋sin324＋sin方法技巧1.利用放缩法证明不等式的思路一是会放缩，即从所求证的不等式入手，利用分析法，进行转化，找寻可放大或缩小的条件；二是会构造函数，即通过构造帮助函数，把所求证的不等式进行转化；三是借用导数，即会利用导数的工具性，探讨新构造函数的性质，进而求解.2.常见放缩公式（1）ex≥x＋1（当且仅当x＝0时取等号）；（2）ln（x＋1）≤x（x＞－1）（当且仅当x＝0时取等号）；（3）sinx≤x≤tanx（0≤x＜π2）（当且仅当x＝0（4）sinx≥x≥tanx（－π2＜x≤0）（当且仅当x＝0时取等号）训练3[2024南通部分学校联考]已知函数f（x）＝lnx＋ax，a∈R.（1）探讨函数f（x）的单调性；（2）当a＝34时，证明：x3＞f（x）解析（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x＋a＝ax+1x，当a≥0时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＜－1a，可知f（x）在（0，－1令f'（x）＜0，得x＞－1a，可知f（x）在（－1a，＋∞综上，当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，－1a）上单调递增，在（－1a，＋∞（2）当a＝34时，x3＞f（x），即x3＞lnx＋34令h（x）＝x－1－lnx，则h'（x）＝1－1x＝x－1x，令h'（x）＞0，则x＞1；令h'（x）＜0，则0＜x＜1.所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）＝0，即x－1≥lnx（等号成立的条件是x欲证x3＞lnx＋34x，只需证x3＞x－1＋34x＝74x－1（x＞设g（x）＝x3－74x＋1（x＞0），则g'（x）＝3x2－74（x＞0令g'（x）＝0，求得x＝216当x∈（0，216）时，g'（x）＜0，可知g（x）在（0，21当x∈（216，＋∞）时，g'（x）＞0，可知g（x）在（216，＋∞所以g（x）≥g（216）＝72172－72124＋1＝1即x3＞x－1＋34x（x＞0所以x3＞lnx＋34x，即x3＞f（x）思维帮·提升思维快速解题凹凸反转在不等式证明问题中的应用假如要证明的不等式由指数函数、对数函数、多项式函数组合而成，往往进行指对分别，转化为证明g（x）≥h（x）恒成立，分别求g（x）min，h（x）max进行证明，由于两个函数图象的凹凸性正好相反，所以这种证明不等式的方法称为凹凸反转.类型1隔海相望如图所示，在g（x），h（x）图象之间有一个带型区域，所以我们把它形象地称为“隔海相望”.这时必有g（x）＞h（x）.例4[2024陕西省咸阳市模拟]已知函数f（x）＝x3－3lnx＋11.（1）推断函数f（x）的单调性；（2）证明：当x＞0时，f（x）＞－x3＋3x2＋（3－x）ex.解析（1）∵f（x）＝x3－3lnx＋11，∴函数f（x）的定义域为（0，＋∞）且f'（x）＝3x2－3x＝3（x令f'（x）＝0可得x＝1，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.（2）由（1）可得f（x）min＝f（1）＝12.令g（x）＝－x3＋3x2＋（3－x）ex（x＞0），则g'（x）＝－3x2＋6x－ex＋（3－x）ex＝（2－x）（ex＋3x），令g'（x）＝0，可得x＝2.当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，当x∈（2，＋∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减.∴g（x）max＝g（2）＝e2＋4，∴f（x）min＞g（x）max，则f（x）＞g（x），∴当x＞0时，f（x）＞－x3＋3x2＋（3－x）ex.类型2一线之隔构造的函数g（x），h（x），满意g（x）min＝h（x）max，如图所示，但由于g（x），h（x）不在同一处取到最值，所以必有g（x）＞h（x）.例5已知函数f（x）＝ex＋x2－x－1.（1）求f（x）的最小值；（2）证明：ex＋xlnx＋x2－2x＞0.解析（1）由题意可得f'（x）＝ex＋2x－1，则函数f'（x）在R上单调递增，且f'（0）＝0.由f'（x）＞0，得x＞0；由f'（x）＜0，得x＜0.则f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝f（0）＝0.（2）要证ex＋xlnx＋x2－2x＞0，即证ex＋x2－x－1＞－xlnx＋x－1.由（1）可知当x＞0时，f（x）＞0恒成立.设g（x）＝－xlnx＋x－1，x＞0，则g'（x）＝－lnx.由g'（x）＞0，得0＜x＜1；由g'（x）＜0，得x＞1.则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而g（x）≤g（1）＝0，当且仅当x＝1时，等号成立.故f（x）＞g（x），即ex＋xlnx＋x2－2x＞0.类型3密切无间构造函数g（x），h（x），满意g（x）min＝h（x）max，且g（x），h（x）在同一处取到最值，如图所示，这时g（x）≥h（x）.例6已知函数f（x）＝13x3＋12x2＋ax，g（x）＝xex－1＋xlnx，f'（x），g'（f（x），g（x）的导函数，且对随意的x1∈（0，1]，存在x2∈（0，1]，使f'（x1）≤g'（x2）－2.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：g（x）≥f'（x）.解析（1）因为f（x）＝13x3＋12x2＋ax，所以f'（x）＝x2＋x＋a＝（x＋12）2＋a所以f'（x）在区间（0，1]上单调递增，故f'（x）max＝f'（1）＝a＋2.因为g（x）＝xex－1＋xlnx，所以g'（x）＝ex－1＋xex－1＋lnx＋1＝（x＋1）ex－1＋lnx＋1.令h（x）＝（x＋1）ex－1＋lnx＋1，则h'（x）＝（x＋2）ex－1＋1x＞0，故g'（x）在区间（0，1]上单调递增，所以g'（x）max＝g'（1）＝又对随意的x1∈（0，1]，存在x2∈（0，1]，使f'（x1）≤g'（x2）－2，所以f'（x）max≤g'（x）max－2，即a＋2≤3－2，解得a≤－1，故实数a的取值范围为（－∞，－1].（2）要证g（x）≥f'（x），即证xex－1＋xlnx≥x2＋x＋a，由（1）知，a≤－1，故只需证xex－1＋xlnx≥x2＋x－1.因为x＞0，只需证ex－1＋lnx≥x－1x＋1即证ex－1－x≥－lnx－1x＋令s（x）＝ex－1－x，x＞0，则s'（x）＝ex－1－1.令s'（x）＝0，解得x＝1，则当x∈（0，1）时，s'（x）＜0，s（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，s'（x）＞0，s（x）