高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)5.4函数的奇偶性(原卷版+解析)

5.4函数的奇偶性TOC\o"1-4"\h\z\u5.4函数的奇偶性 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1奇函数与偶函数的概念 3知识点2奇、偶函数的图象性质 4二、典型题型 4题型1函数奇偶性的判断 6题型2奇偶函数的图象问题 7题型3利用函数的奇偶性求解析式 9三、难点题型 9题型1奇偶函数的单调性 11题型2由奇偶性求参数 13题型3由奇偶性解不等式 15四、活学活用培优训练 32一．基础知识点知识点1奇函数与偶函数的概念(1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．例1下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．，例2（多选题）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数例3判断函数的奇偶性.知识点2奇、偶函数的图象性质：(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．例1在定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B．C． D．例2（多选题）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（

）A．当时B．函数在上单调递减C．D．函数在上单调递增例3已知函数．(1)当时，求值；(2)若是偶函数，求的最大值．二．典型题型题型1函数奇偶性的判断解题技巧：判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．例1设函数，则下列函数中为偶函数的是（

）A． B． C． D．例2（多选题）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数例3已知函数，点，是图象上的两点.(1)求a，b的值；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)判断函数在上的单调性，并说明理由.题型2奇偶函数的图象问题解题技巧：巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．例1函数的图象大致为（

）A． B．C． D．例2（多选题）函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（

）A．B．的定义域为C．为偶函数D．若在上单调递增，则的最小值为1例3已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函数f(x)在R上的解析式.题型3利用函数的奇偶性求解析式解题技巧：利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．例1若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（

）A．的最小值为 B．在上单调递减C．的解集为 D．存在实数满足例3已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.(1)求时的解析式；(2)求函数的值域.三．难点题型题型1奇偶函数的单调性解题技巧：奇函数单调性一致，偶函数单调性相反；例1已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例2（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（

）A． B．当时，单调递减C．当时， D．，例3已知函数是上的奇函数，当时，.(1)当时，求解析式；(2)若，求实数的取值范围.题型2由奇偶性求参数解题技巧：例1若是奇函数，则（

）A． B．C． D．例2（多选题）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（

）A． B．在区间单调递增C．的最小值为 D．的最大值为2例3二次函数满足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函数为偶函数，求的值;(4)求在上的最小值.题型3由奇偶性解不等式解题技巧：利用单调性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．例1已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．例2（多选题）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（

）A．在上单调递减B．C．的图象与轴只有2个交点D．不等式的解集为例3若奇函数在定义域上是减函数，若时，，(1)求的解析式；(2)求满足的实数m的取值范围四．活学活用培优训练一、单选题1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．3．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和5．已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．已知是上的奇函数，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知为偶函数，且为奇函数，若，则（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，是奇函数，则使得成立的充分条件是（

）A．在上单调 B．为偶函数C．为偶函数 D．9．已知函数，下列判断正确的是（

）A．是偶函数B．若，则当时，取得最小值C．当时，的值域是D．当时，在上单调递增三、填空题10．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.11．函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．12．已知函数的定义域是，对任意，都有：，且当时，．给出结论：①是偶函数；②是奇函数；③在上是增函数；④在上是减函数．则正确结论的序号是________．四、解答题13．已知是定义在R上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)当时，写出函数的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）；14．已知是奇函数，且.(1)求实数的值．(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．(3)求的最大值．15．函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）5.4函数的奇偶性TOC\o"1-4"\h\z\u5.4函数的奇偶性 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1奇函数与偶函数的概念 3知识点2奇、偶函数的图象性质 4二、典型题型 4题型1函数奇偶性的判断 6题型2奇偶函数的图象问题 7题型3利用函数的奇偶性求解析式 9三、难点题型 9题型1奇偶函数的单调性 11题型2由奇偶性求参数 13题型3由奇偶性解不等式 15四、活学活用培优训练 32一．基础知识点知识点1奇函数与偶函数的概念(1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．例1下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．，【答案】B【分析】由偶函数的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，的定义域为，所以，所以是奇函数，所以A不正确；对于B，的定义域为，所以，所以是偶函数，所以B正确；对于C，的定义域为，所以，所以不是偶函数，所以C不正确；对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，所以D不正确；故选：B.例2（多选题）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】AD【分析】根据奇偶函数的定义可得，，则分别判别四个选项，可得答案.【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，．易得，故是奇函数，A正确；，故是偶函数，B错误；，故是奇函数，C错误；，故是偶函数，D正确．故选：AD．例3判断函数的奇偶性.【答案】非奇非偶函数【分析】判断函数奇偶性，先判断定义域是否关于原点对称，由于定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】因为有意义，则满足，所以，所以的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．知识点2奇、偶函数的图象性质：(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．例1在定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】函数性质，奇函数满足，在定义域下单调递减，可以根据函数图像，确定单调性.【详解】选项A反比例函数，是奇函数，但在定义域下不是单调递减的；选项B“对号”函数奇函数，在递减，在递增，不是单调递减函数;选项C中，，是奇函数，也满足单调递减，所以正确；选项D中，分段函数，是奇函数，但不满足单调递减，因为在衔接处不递减；故选：C.例2（多选题）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（

）A．当时B．函数在上单调递减C．D．函数在上单调递增【答案】ABD【分析】结合的图象，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.【详解】根据图象可知：时，，A选项正确.在递减，在上递增，由于是奇函数，所以在递减，在上递增，所以B选项正确，D选项正确.由于在上递增，所以，所以C选项错误.故选：ABD例3已知函数．(1)当时，求值；(2)若是偶函数，求的最大值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）先得到函数，再求值；（2）先利用函数是偶函数，求得，再求最值.(1)解：当时，，所以；(2)因为是偶函数，所以成立，即成立，所以，则，所以的最大值为2．二．典型题型题型1函数奇偶性的判断解题技巧：判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．例1设函数，则下列函数中为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据偶函数的定义逐个分析判断即可.【详解】对于A，由于，所以，令，因为，所以此函数不是偶函数，所以A错误，对于B，由于，所以，令，因为，所以此函数不是偶函数，所以B错误，对于C，由于，所以，令，因为，所以此函数不是偶函数，所以C错误，对于D，由于，所以，令，因为，所以此函数为偶函数，所以D正确，故选：D例2（多选题）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数【答案】BC【分析】判断函数的奇偶性应先求函数的定义域，若定义域不关于“0”对称，则函数非奇非偶；若定义域关于“0”对称，再看与是相等还是互为相反数，确定函数的奇偶性.【详解】对于A，由且，得，则的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A错误;对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，，当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;对于C，由且，得，即，的定义域关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;对于D，由且，得且x≠0，的定义域关于原点对称，因为，，所以函数为奇函数，故D错误.故选:BC.例3已知函数，点，是图象上的两点.(1)求a，b的值；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)判断函数在上的单调性，并说明理由.【答案】(1)(2)函数为奇函数(3)函数在上单调递增【分析】（1）将函数图象上的点的坐标代入函数解析式得到关于a，b的方程组，解方程组得到a，b的值；（2）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；（3）根据函数单调性的定义，利用作差法比较函数值大小，进而判断函数的单调性.（1）因为点，是图象上的两点，所以，解得.（2）函数为奇函数，理由如下：由（1）得，易得函数的定义域为，且对任意，有，所以函数为奇函数.（3）设，则，因为，所以，则，即，所以函数因为在上单调递增.题型2奇偶函数的图象问题解题技巧：巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．例1函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题意得到为奇函数，排除C，D，再根据，排除B，即可得到答案.【详解】，定义域为，，所以函数为奇函数，排除C，D．因为，排除B，故选：A例2（多选题）函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（

）A．B．的定义域为C．为偶函数D．若在上单调递增，则的最小值为1【答案】ACD【分析】由函数的图象，逐项判断.【详解】因为，，的坐标分别为，，，所以故A正确．因为的定义域为，所以的定义域为，故B错误．因为的图象向左平移一个单位长度后关于轴对称，所以为偶函数，故C正确．因为在上单调递减，在上单调递增，故D正确．故选：ACD例3已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函数f(x)在R上的解析式.【答案】(1)作图见解析；(2)单调递增区间为(－1,1)，值域R；(3)(－2,0)∪(2,＋∞)；(4).【分析】（1）根据奇函数的对称性画出y轴右侧图象即可.（2）（3）根据（1）所得函数图象确定增区间、值域及不等式的解集即可.（4）根据奇函数求上的函数解析式.(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：(2)由（1）所得函数图象知：单调递增区间为(－1,1)，值域R.(3)由（1）所得函数图象知：使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,＋∞).(4)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(x)＝－f(－x).当x>0时，-x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]=－x2+2x.综上，题型3利用函数的奇偶性求解析式解题技巧：利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．例1若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，因为，所以，当时，；因为当时，，所以所以.故选：D.例2（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（

）A．的最小值为 B．在上单调递减C．的解集为 D．存在实数满足【答案】ACD【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，设，则，所以，因为是偶函数，所以，所以，所以，函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；由，，即存在实数满足，故D正确；故选：ACD．例3已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.(1)求时的解析式；(2)求函数的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函数性质求的解析式；（2）由（1）得，应用基本不等式、函数单调性求在对应区间上的值域，即可得答案.（1）令，则，故，而，所以，则.（2）由（1）知：，当，，当且仅当时等号成立，此时；当，单调递增，则；综上，函数值域为.三．难点题型题型1奇偶函数的单调性解题技巧：奇函数单调性一致，偶函数单调性相反；例1已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，得到，且函数在上单调递减，作出函数的图像，把不等式转化为，或，结合图像，即可求解.【详解】因为奇函数在上单调递减，且，所以，且函数在上单调递减，则函数的对应的图像，如图所示，不等式等价于：①，即，解得；②，即，解得，综上可得，不等式的解集为.故选：B.例2（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（

）A． B．当时，单调递减C．当时， D．，【答案】ABD【分析】根据奇函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以，故A正确．因为当时，单调递减，所以当时，单调递减，所以，故B正确，C错误；当时，，所以，，D正确．故选：ABD例3已知函数是上的奇函数，当时，.(1)当时，求解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数性质求解即可；（2）先判断函数在上的增减性，再由奇函数性质得到，根据单调性解抽象不等式即可.(1)因为函数是上的奇函数，当时，，所以当时，，所以，因为，所以，故当时，.(2)由（1）知，，当时，，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，当时，也单调递增，所以函数是上的增函数，因为，所以，即，又因为函数是上的增函数，所以，解得.故实数的取值范围为：.题型2由奇偶性求参数解题技巧：例1若是奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.故选：C.例2（多选题）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（

）A． B．在区间单调递增C．的最小值为 D．的最大值为2【答案】AC【分析】利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.【详解】函数是奇函数，则，代入可得，故A正确；由，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B错误；由，所以，所以，故C正确、D错误.故选：AC例3二次函数满足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函数为偶函数，求的值;(4)求在上的最小值.【答案】(1)(2)在上的最小值为，最大值为(3)(4)时，；时，；时，【分析】（1）待定系数法求解解析式；（2）配方后得到函数单调性，进而求出最值；（3）根据函数奇偶性求出，从而求出的值；（4）结合对称轴，对分类讨论，求出不同情况下函数的最小值.（1）设，则，又因为，所以，解得：，又所以的解析式为.（2），所以当时，单调递减，在上单调递增，又，，，因为故在上的最小值为，最大值为.（3）因为，所以，因为为偶函数，所以，即，解得：，.（4），当，即时，在上单调递减，所以；当且,即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以；综上：时，；时，；时，.题型3由奇偶性解不等式解题技巧：利用单调性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．例1已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】探讨函数的性质，再借助性质求解不等式作答.【详解】函数的定义域为R，，则是R上的偶函数，当时，在上单调递减，而，于是得，则，解得或，所以不等式的解集是.故选：D例2（多选题）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（

）A．在上单调递减B．C．的图象与轴只有2个交点D．不等式的解集为【答案】ABD【分析】根据已知条件，可得在上单调递减，且，从而对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确；对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确；对C：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项C错误；对D：由选项A、C可得的解集为，故选项D正确.故选：ABD.例3若奇函数在定义域上是减函数，若时，，(1)求的解析式；(2)求满足的实数m的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数的性质直接求解；（2）根据奇函数的性质及单调性建立不等式组即可求解.(1)因为是定义域上的奇函数，所以对于任意，则，且.设，则，由已知得，而满足上式，所以.(2)由于在定义域上是减函数，且为奇函数，所以，即，所以有，所以m的取值范围为.四．活学活用培优训练一、单选题1．定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果.【详解】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.【详解】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，的图象关于点成中心对称，，图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，的图象关于直线成轴对称，由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，对称中心关于直线成轴对称的点为，即.故选：A.3．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再得到时的单调性，利用偶函数比大小的处理方式，转化为，即可求解.【详解】因为，所以是偶函数，当时，是增函数．又因为，所以可化为，可得到，解得．故选：A.4．函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C5．已知是R上的奇函数，且，当，，且时，，则当时，不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据区间单调性、对称性及奇函数性质，判断目标区间的单调性、函数值符号，进而求不等式的解集.【详解】由题意，在上单调递增，又是R上的奇函数，∴，且在上单调递增，∴当时，，当时，．∵，∴的图象关于直线x＝1对称，∴，且在上单调递减，∴在上单调递减，且．∴当时，不等式的解集为.故选：B6．已知是上的奇函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意求得函数是周期为4的周期函数，得到，结合，得到，进而求得的值，即可求解.【详解】由题意，函数为上的奇函数，可得，所以，所以是周期为4的周期函数，所以，因为，令，得，因为为上的奇函数，所以，所以.故选：A.二、多选题7．已知为偶函数，且为奇函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】A选项，根据题干条件得到，，利用赋值法得到，，，判断出AB选项，再推导出函数的周期为4，故C正确；代入特殊值，判断D错误.【详解】A选项，因为为偶函数，所以，因为为奇函数，所以，令得：，解得：，所以令得：，即，所以，故A正确；B选项，令得：，即，因为，则，所以，所以，故B正确；C选项，因为，所以，因为，所以，即，所以，，所以，即，所以，所以的周期为4，，故C正确；D选项，因为，所以令得：，解得：，令中得：，故D错误.故选：ABC8．已知函数的定义域为，是奇函数，则使得成立的充分条件是（

）A．在上单调 B．为偶函数C．为偶函数 D．【答案】BD【分析】利用奇函数的定义，求出关于点对称，得到，利用充分条件的定义结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及恒等式，运用赋值法对四个选项逐一分析判断即可.【详解】函数的定义域为，是奇函数，则，所以，故函数关于中心对称，所以，对于A，在上单调，由不能确定，故错误；对于B，为偶函数，又，所以，故正确；对于C，为偶函数，则，可知函数关于轴对称，不能确定，故错误；对于D，因为关于成中心对称，所以，令则，因为，令，则，解得，令则，解得，令，则，综上可得，所以是使得成立的充分条件.故选：BD9．已知函数，下列判断正确的是（

）A．是偶函数B．若，则当时，取得最小值C．当时，的值域是D．当时，在上单调递增【答案】ACD【分析】由奇偶性定义判断A，由基本不等式判断BC，按分类讨论判断D．【详解】，则定义域为，且，即，故函数为偶函数，故A正确；当时，，当且仅当时取到等号，故的值域是，故B不正确，C正确．当时，，当时，，在上单调递增；当时，时，，设，则，，，，单调递增；当，时，，首先在上单调递增，又由得（负值舍去），因此时，，所以是增函数，综上所述，当时，在上单调递增，故D正确．故选：ACD．三、填空题10．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.【答案】##【分析】由题知函数是周期为2的周期函数，进而根据周期性求解即可.【详解】解：因为是定义在上的奇函数，且，所以，，所以，即是周期