江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

绝密★启用前萍乡市2023—2024学年度第二学期期末考试高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A.2 B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知，，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.把函数的图象按向量平移后，得到新图象的解析式为（）A. B.C. D.5.在中，为的中点，为的中点，设，，则（）A. B. C. D.6.的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（）A. B. C.或 D.7.如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（）A. B. C. D.8.锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是A.若向量，，满足，，则B.240°化成弧度数为C.若向量，满足，，，则D.在4:30时刻，时针与分针所夹的锐角为，则10.已知复数，，则（）A. B.在复平面内对应的点位于第一象限C. D.为纯虚数11.在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（）A.若点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为B.若点为线段上的动点（含端点），则的最小值为C.若点为线段的中点，则平面与正方形的交线长为D.若点在正方形内（含边界），且，则的轨迹长度为第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的高为______.13.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点，，处测得古树顶点的仰角分别为45°，45°，30°，若米，则该古树的高度为______米.14.已知函数（，）的图象如图所示，则______；上两点的横坐标分别为，，则______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在平面四边形中，，，，.（1）求的值；（2）若，求.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数（，）在区间上单调递增，，且______.从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上，再解答.①；②，在区间上至少有2个零点.（1）求函数的解析式；（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】18.（本小题满分17分）如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（，在上，，在半圆上，为圆心），已知全长.（1）求枫叶林面积的最大值；（2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）.19.（本小题满分17分）设有维向量，，称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合.（1）若，存在，使得，写出所有满足条件的；（2）令，若，证明：为偶数；（3）若表示能从中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测的值，并给出一个实例.

萍乡市2023—2024学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案及评分标准一、单项选择题（）ADBAD；CDC.【7解析】由旋转滑梯高为知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是，当时，初相为，且游客一直滑到底部，则最后的相位为，故整个运动过程中，相位的变化量为，解得.【8解析】由题知，，当且仅当时取等号；又因为三角形是锐角三角形，所以，即，解得，即，又，设，，，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以的取值范围为.二、多项选择题（）BD；ABC；ACD.三、填空题（）12.；13.28；14.3，.四、解答题（共77分）15.（1）在中，由正弦定理得，代入数值并解得，又因为，所以，即为锐角，所以；（2）在中，由余弦定理得，，所以.16.（1）证明：连接交于点，则是中点，连接，因为是的中点，所以，又平面，平面，故平面；（2）由题知，，因为平面，平面，所以，，所以平面，平面，故，即是二面角的平面角，在中，，，则，在中，，则，则，则，即二面角的余弦值为.17（1）【选条件①】由题知，的最大值为2，在上单调递增，，，则，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以；【选条件②】因为，在区间上至少有2个零点，所以，又因为在上单调递增，所以，即，所以，，所以，又，所以，又，所以，所以；（2）因为，所以，则，令，则在内恒成立，即在内恒成立，令，，由基本不等式可知，在处取得最小值，任取，有，，，即，故在上单调递减；同理可得在上单调递增，则，故只需，所以实数的取值范围为.18.（1）设，则，且，，所以，当，即时，矩形枫树林面积取得最大值，为；（2）因为，所以，记，由正弦定理有，则，则，，其中，，且，当时，取得最大值，所以修建观景木质栈道所需的费用最多为元.19.（1）由定义，只需满足，故所有满足条件的有6个，为：，，，，，；（2）由题知，存在，与，，，使，当时，；当时，，.若有个，则有个，则，所以为