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第一节函数及其性质一、函数的概念二、函数的表示法三、函数的几种特性一、函数的概念1.常量与变量在某过程中不发生变化而保持一定数值的量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称为变量.常量通常用字母等表示,变量通常用字母等表示.2.函数的概念

定义1

设是两个变量,是一个给定的数集.如果有一个对应法则,使得对于每一个数值

,变量都有唯一确定的数值与之对应,则称变量是变量的函数,记为其中称为自变量,称为因变量.集合称为函数的定义域,记为.当自变量取数值时,与对应的的值称为函数在点处的函数值,记为或,函数值组成的数集称为函数的值域,记为.函数的两要素:定义域和对应法则.如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它们是相同的函数.例1

下列函数是否相同，为什么？解

⑴

与不是相同的函数,因为定义域不同.⑵

与是相同的函数,因为定义域与对应法则都相同.注

求函数定义域时应注意的一般规律开偶次方,根号内的表达式不小于零;

对数中的真数必须大于零;

分式中的分母不能为零;

反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能大于1;

分段函数的定义域是各段定义域的并集.二、函数的表示法1.解析法例2

作自由落体运动的物体下落时间为,下落的距离为,假定开始下落的时刻为,那么与之间的依赖关系由下式给出:当时间变化时,距离作相应的变化.有些函数在其定义域上的对应法则不能由一个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解析式表示,这成为分段函数.如符号函数如图1.图1时间（月）123456产量（吨）1032102410271038105710472.表格法例3

某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里的时间(月)和产量(吨)之间是两个相互依赖的变量.对每个月份,都有唯一一个与相应的产量.3.图像法例4

某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,如图2所示的曲线.图2根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情况.三、函数的几种特性1.函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称,对于任意的,若,则称为奇函数;若,则称为偶函数.注①奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;②一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数,

如函数.2.函数的周期性设函数的定义域为,如果存在一个常数,使得对任意有,且

,则称函数为周期函数,称为的周期.显然,若是周期函数的周期,则也是的周期,通常说的周期就是最小正周期.如函数和都是以为周期的周期函数.3.函数的单调性设函数在区间上有定义,对内的任意两点,当时,若有,则称在上是单调增加的;若有,则称在上是单调减少的.它们统称为单调函数.使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间

.如函数在内是单调增加的,函数在内是单调减少的.4.函数的有界性设函数在区间上有定义,如果存在正常数,使得对于区间内所有,恒有,则称函数在区间上有界.如果这样的不存在,则称在区间上无界.如函数

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