暑假作业04 平方根与立方根类型题精练（知识梳理+四大题型专练+能力拓展练）-2024年七年级数学暑假分层作业（人教版）（解析版）

第第页试卷第=page1616页，共=sectionpages2020页限时练习：40min完成时间：月日天气：作业04平方根与立方根类型题精练知识点1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．知识点2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．知识点3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．知识点4．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．知识点5．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．题型一：算术平方根的非负性1．已知x，y满足，则()A． B．1 C．5 D．【答案】A【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故选：A．2．若，为实数，且，则（

）A．1 B． C． D．2023【答案】B【详解】解：，，，，，，故选：．3．若则等于（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】B【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故选：B．题型二：平方根的估算问题4．估计的值应在（

）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【答案】C【详解】解：，，故选：C．5．若，则满足条件的可能是（

）A．8 B．9 C．15 D．18【答案】C【详解】解：∵，∴，∴，即选项C符合题意．故选C．6．根据下列表格，估计的大小（

）x1.611.621.631.641.652.59212.62442.65692.68962.7225A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间【答案】B【详解】解：∵∴由表格数据可知：在之间故选：B7．有一款计算器，显示屏最多能显示14位（包括小数点）的数，例如：计算时，显示于显示屏．现在，想利用这款计算器知道中3的下一位数字是什么，可以用这款计算器计算下面（

）的值．A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，有14位，不符合题意；，有13位，符合题意；，有14位，不符合题意；，有14位，不符合题意；故选B8．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【详解】解：根据表格中的信息知：，故①正确；根据表格中的信息知：，∴正整数或或的算术平方根在，∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确；∵由题意设且，由，，∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确；故选：D9．若，则正整数x的值为．【答案】1，2，3【详解】解：∵，∴，∴∴正整数x的值为1，2，3．故答案为：1，2，3．10．已知，，则．【答案】【详解】解：∵，∴，故答案为：．11．已知是的整数部分，，则的平方根是．【答案】【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∴9的平方根是；故答案为．12．已知的整数部分是，小数部分是，则，．【答案】【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，，∴，，故答案为：，．13．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．解：（1）甲：面积______；边长______．（2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．【答案】（1）10；；（2）；2；【详解】解：（1）面积为，边长为：；故答案为：10；；（2）正方形如图所示，面积为，边长为：；，该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为．故答案为：；2；题型三：求平方根14．的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，故选：D．15．若，，则的平方根等于（

）A．6 B．13 C．36 D．【答案】D【详解】解：∵，，∴，，∴，∴的平方根等于；故选D题型四：平方根与立方根的综合问题16．下列说法不正确的是（

）A．0的算术平方根是0B．的平方根是2C．正数的平方根互为相反数D．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数【答案】B【详解】解：∵0的算术平方根是0，∴选项A不符合题意；∵，4的算术平方根是∴的平方根是，∴选项B符合题意；∵正数的平方根互为相反数，∴选项C不符合题意；∵一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数，∴选项D不符合题意，故选：B．17．已知的立方根为3，的算术平方根为4，求的平方根．【答案】【详解】解：由题意得，，解得：，，则，∵∴的平方根是．18．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．【答案】【详解】解：∵是的算术平方根，∴∵是的立方根，∴由①②得：∴∴的平方根为19．已知的算术平方根是，的立方根是．(1)求与的值；(2)求的立方根．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：的算术平方根是，，解得：，的立方根是，，解得：；（2）由(1)知，，，的立方根为．题型五：利用平方根、立方根的性质解方程20．求下列各式中的的值：(1)；(2)；【答案】(1)(2)或【详解】（1）解：，∴，∴；（2），∴，∴，∴或，∴或．21．求下列各题中的的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由得：，解得：；（2）由得：，解得：．题型六：平方根、立方根的应用问题22．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（

）

A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米【答案】C【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，依题意得：，即∴解得：，（不符合题意，舍去），∴需要延长边长4米．故选：C23．（23-24七年级下·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米?【答案】另一块木板的边长为米【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则，即，∵，∴，答：另一块木板的边长为米．24．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：与细线长度（单位：之间满足关系，当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为

【答案】小重物来回摆动一次所用的时间是秒【详解】解：分米，（秒，答：小重物来回摆动一次所用的时间是秒25．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．

(1)求出这个铁块的棱长；(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．【答案】(1)8厘米(2)8厘米【详解】（1）解：（厘米）答：棱长为8厘米；（2）解：（厘米）答：正方形的边长为8厘米．26．王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）：然后引导同学们解决以下两个问题：(1)求的平方根；解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空）(2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）的平方根是±2；（2）∵一个正数的两个平方根互为相反数∴，∴，∵的立方根是，∴，∴，∴．27．下列说法正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是C．是27的立方根 D．的平方根是【答案】D【详解】解：A.的平方根是，故该选项错误，不符合题意；

B.的算术平方根是，故该选项错误，不符合题意；C.3是27的立方根，故该选项错误，不符合题意；

D.的平方根是，故该选项正确，符合题意．故选D．28．（23-24八年级下·四川泸州·期中）已知实数满足，则．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键．【详解】解：，又，，，．，．．故答案为：．29．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料；方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析【详解】解：方案一可行．∵正方形木板的面积为，正方形木板的边长为．如图所示，沿着裁剪，∵，只要使就满足条件；方案二不可行．理由如下：设所裁长方形装饰材料的长为、宽为，则，即，解得（负值已舍去），所裁长方形的长为，∵，所裁长方形的长大于正方形的边长，方案二不可行．30．如图，小华用两个面积为的小正方形拼成一个的正方形．(1)则大正方形的边长为__________．(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？(3)小华手中有一个面积为的圆、请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由．（取3.14）【答案】(1)20(2)能(3)可以，理由见详解【详解】（1）解：大正方形的边长是，故答案为：20；（2）解：设长方形纸片的长为，宽为，则，解得：，根据题意得，取正值，则，则，所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为；（3）解：这个圆可以以完全覆盖拼成的大正方形，理由：设圆的半径为，则，，圆的直径为，大正方形的对角线长为，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形．31．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出，得到正确答案．邻座乘客十分惊讶，忙问其中奥妙．华罗庚给出了如下的解题步骤：(1)由，因为，所以是________位数；(2)已知59319的个位上的数字是9，所以的个位上的数字是________；(3)如果划掉59319的后面三位319，得到59，而由，因为，所以的十位上的数字是________；(4)综上所述，________；已知，是整数的立方，请你仿照华罗庚的方法，计算：．【答案】(1)两(2)9(3)3(4)39；49【详解】（1）解：由题意得，，∴是两位数，故答案为：两；（2）解：∵的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，∴的个位数字是；（3）解：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是，故答案为：3．（4）解；由（1）（2）（3）可知；第一步：因为，，，所以．第二步：因为的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，∴的个位数字是9．第三步：如果划去后面的三位得到数，而，，∵，∴的十位数字是4，∴．故答案为：39；．32．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（

）（式子中的“”，“”依次相间）A．22 B． C．23 D．【答案】C【详解】，，与之间共有个数，，，与之间共有个数，，，与之间共有个数，，，，与之间共有个数，．故选C．33．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值为．【答案】0【详解】及且x、y、z是两两不等的实数，且，，，，与、均同号，或，又，，故、不同号，，，，故答案为0．34．（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；(2)81的四次方根为______；的五次方根为______；(3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______；(4)求的值：．【答案】(1)若，则叫的五次方根(2)(3)，为任意实数(4)或【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根；（2）解：；故答案为：；（3）解：∵是一个数的四次方，∴，∴；∴若有意义，则的取值范围是；∵中是一个数的五次方，∴为任意实数．故答案为：，为任意实数；（4）解：，∴，∴，∴，∴或，∴或．35．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N．设，，，其中x、y、z满足．(1)___________，___________，____