备考2025届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合命题点3概率与独立性检验综合

命题点3概率与独立性检验综合例3[2024全国卷甲]一项试验旨在探讨臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只支配到试验组，另外20只支配到比照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，比照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.（1）设X表示指定的两只小白鼠中支配到比照组的只数，求X的分布列和数学期望.（2）试验结果如下：比照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.635.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：＜m≥m比照组试验组（ii）依据（i）中的列联表，能否有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析（1）X的全部可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝C20×（1－12）×（1－12）＝14，P（X＝1）＝C21×12×（1－12）＝12，P（X＝2）＝C22×12×12＝14，（另解：两只小白鼠分在两个组，每只小白鼠都各有两种支配方案，总的支配方案为4种，两只小白鼠全部支配到试验组有1种状况，有一只支配所以X的分布列为X012P111E（X）＝0×14＋1×12＋2×1（2）（i）依据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数m＝23.2+23列联表如下：＜m≥m比照组614试验组146（ii）依据（i）中结果可得K2＝40×（6×6所以有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.方法技巧概率与独立性检验综合问题的解题思路（1）收集数据列出2×2列联表，并依据公式求得2的值后进行比较并推断；（2）依据随机变量满意的概率模型求解.训练3[2024新高考卷Ⅰ]一医疗团队为探讨某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为比照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060比照组1090（1）能否有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事务“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事务“选到的人患有该疾病”，P（B｜A）（i）证明：R＝P（A｜（ii）利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜B）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.附：K2＝n（P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析（1）K2＝200×（40×90－60×（2）（i）R＝P（B｜由题意知，证明P（B｜左边＝P（AB）右边＝P（AB）左边＝右边，故R＝P（A｜（ii）由调查数据可知