高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 四 1 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积学案-人教版高三全册数学学案

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积

居搞图册

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

空间几何体的三视图及侧面展

卷I开问题•T7

空间几何体的截面问题•T12

20181.“立体几何”在高考中一般会以

卷II圆锥的侧面积•T16

“两小一大”或“一小一大”的命

三视图的识别・丁3三棱锥的体

卷III题形式出现，这“两小”或“一

积及外接球问题•Tio

小”主要考查三视图，几何体的表

空间几何体的三视图与直观图、

卷I面积与体积，空间点、线、面的位

面积的计算•T7

置关系（特别是平行与垂直）.

空间几何体的三视图及组合体

2017卷II2.考查一个小题时，此小题一般会

体积的计算•T4

出现在第4~8题的位置上，难度一

球的内接圆柱、圆柱的体积的计

卷UI般；考查两个小题时，其中一个小

算

题难度一般，另一个小题难度稍高，

有关球的三视图及表面积的计

卷I一般会出现在第10~16题的位置

算F

上，此小题虽然难度稍高，主要体

空间几何体的三视图及组合体

卷II现在计算量上，但仍是对基础知识、

2016表面积的计算•Te

基本公式的考查.

空间几何体的三视图及组合体

卷m表面积的计算•T9

直三棱柱的体积最值问题•Tio

空间几何体的三视图（基础型）

n一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）

视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平

齐、宽相等”.

»由三视图还原到直观图的三个步骤

（1）根据俯视图确定几何体的底面.

（2）根据正（主）视图或侧（左）视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所

对应的棱、面的位置.

（3）确定几何体的直观图形状.

［注意］在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线.

［考法全练］

1.（2018•高考全国卷III）中国古建筑借助柳卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫

桦头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是梯头.若如图摆放的木构件与某一带

卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

俯

视

方

响

P

l

解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，桦头看不见，所

以是虚线，结合梯头的位置知选A.

2.（2018•高考全国卷I）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面

上的点〃在正视图上的对应点为4圆柱表面上的点”在左视图上的对应点为8,则在此圆

柱侧面上，从〃到"的路径中，最短路径的长度为（）

A.2版B.2^/5

C.3D.2

解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2,底面周长

为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接网则超=2,SN=4,则从〃到"的

路径中，最短路径的长度为1懵+商=^2?+42=2m.故选B.

图①图②

3.把边长为1的正方形切沿对角线曲折起，使得平面制让平面CBD,形成的三棱

锥G4初的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）

1

-

2

AC.

虚1

4D.4-

、历

解析:选D.由三棱锥G/初的正视图、俯视图得三棱锥G/切的侧视图为直角边长是个

的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥G/劭的侧视图的面积为；故选D.

4.（2018•长春质量监测（二））如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线条画出的是

一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（）

C.2小D.3

解析：选D.如图，三棱锥46驾即为所求几何体，根据题设

条件，知辅助的正方体棱长为2,CD=\,BD=2®BC=y[i,AC

=2,AB=3,AD=y[5,则最长棱为48长度为3.

5.（2018•石家庄质量检测（一））如图，网格纸上的小正方形

的边长为1,粗线表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中，最小面的面积是

（）

A.2小

C.2D.小

解析：选C.在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥24%所

示，其中正方体的棱长为2,则以腕=2,S^BC=2y［2,%»=2镜，SA.=2小,故该三棱

锥的四个面中，最小面的面积是2,选C.

考点㊁

空间几何体的表面积和体积（综合型）

a柱体、锥体、台体的侧面积公式

⑴S柱恻=M（c为底面周长，力为高）.

,

（2）Sww=|cA（c为底面周长，ti为斜高）.

（3）Sg=；（c+c'）"（c’，c分别为上下底面的周长，H为斜高）.

a柱体、锥体、台体的体积公式

⑴心体=仍（5为底面面积，分为高）.

⑵唳体=＜防（S为底面面积，分为高）.

（3）%=g（s+qh+S,）%（S,S'分别为上下底面面积，分为高）（不要求记忆）.

［典型例题］

II命题角度一空间几何体的表面积

m（1）（2018•潍坊模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（）

A.4+2#B.4+472

C.6+2/D.6+472

（2）（2018•合肥第一次质量检测）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是

某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

C.8JI+6D.10JI+6

【解析】（1）由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知6a

平面以C,又比t平面以G所以又AP=AC=BC=2,所以

2y[2,以.=%r=/x2X2=2,所以该几何体的表面积为4+4第.

（2）由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为

121,1

2X-X4JiXT+2X-XJIX12+2X3+-X2JiX1X3=8"+6.

【答案】⑴B⑵C

网倒法胆

求几何体的表面积的方法

（1）求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面

化，这是解决立体几何的主要出发点.

（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求

这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积.

，命题角度二空间几何体的体积

丽（1）（2018•武汉调研）某几何体的三视图如图所示，则

该几何体的体积为（）

侧视图

俯视图

c亚

J3

（2）（2018•高考全国卷II）已知圆锥的顶点为S,母线玄，阳互相垂直，以与圆锥底面

所成角为30°.若△弘8的面积为8,则该圆锥的体积为.

【解析】（1）由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截

去一个三棱柱44"-微G和一个三棱锥G8G2后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥

»ABC、D\,四棱锥"的〃的底面积为S四边…4=2义隹=2/，高力=坐其体积四

边形侬也力=；义2y[2X乎=,•故选D.

(2)由题意画出图形，如图，设/C是底面圆。的直径，连接SO,

则SO是圆锥的高.设圆锥的母线长为则由必，劭，△%8的面积

为8,得;7=8,得7=4.在RtZi/S〃中，由题意知/必A30°,所以

SO=|v=2,AO=^^-J=2y［3.

故该圆锥的体积，=:兀XAdXSO=^X(2击尸*2=8兀.

Oo

【答案】(DD⑵8n

网管法明

求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，

或是求出一些体积比等.

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体

积的几何体.

［对点训练］

1.(2018•洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长

均为2,则该几何体的体积为()

正视图侧视图

俯视图

解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体

是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1,高为1的圆

12兀

锥后剩余的部分，其体积为父一2义金义兀XYXI=8—F-.故选A.

J0

2.（2018•唐山模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线

画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

解析：选B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几

何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2,体积为4,切去的三棱锥的体积为］故该几何

体的体积「=4—<=?.故选B.

多面体与球（综合型）

［典型例题］

13命题角度一外接球

题13］（2018•南宁模拟）三棱锥2力及？中，△26C为等边三角形，PA=PB=PC=3,PA

VPB,三棱锥P/8C的外接球的体积为（）

27m

2

C.27小aD.27JI

【解析】因为三棱锥6c中，△/笈为等边三角形，PA=PB

=PC=3,所以△以侬△如百△以C因为PALPB,所以PALPC,PC卜

LPB.以PA,PB,/T为过同一顶点的三条棱作正方体（如图所示），则

正方体的外接球同时也是三棱锥2/回的外接球.因为正方体的体对角线长为噂阡3阡片=

3事,所以其外接球半径火=平.因此三棱锥的外接球的体积眸等义［¥；=

27m痂40

—2口,故选B.

【答案】B

融倒法商

解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确

定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他

顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心

位置.

,命题角度二内切球

圆H已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球。（重量忽略不计），现从该三

7

棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的不时，小球与该三

O

棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于（）

7兀4兀

AB.-T-

-vO

2兀JI

C.~~r~D.—

0

7

【解析】当注入水的体积是该三棱锥体积的d时，设水面上方的小三棱锥的棱长为

O

x（各棱长都相等），依题意，得x=2.易得小三棱锥的高为半，设小球半径为T,

贝4S底面•"^=4・J•S底面•r,得r=^~,故小球的表面积5=4兀r=^~.故选C.

33363

【答案】C

物管前附

求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底

面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径.

口命题角度三与球有关的最值问题

懒国（2018•高考全国卷III）设4B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△

力回为等边三角形且其面积为9/，则三棱锥3/6C体积的最大值为（）

A.1273B.18A/3

C.2473D.54-73

【解析】如图，£是/。中点，〃是△/8C的重心，。为球心，连接BE,OM,OD,BO.

因为8城=匕4=94，所以四=6,BM=/E=0四一AE=2/.易知加平面ABC,所

以在RtZktW中，0M=70E—B就=2,所以当〃0,〃三点共线且圾’=①+励时，三棱锥

24回的体积取得最大值，且最大值*=《义城义（4+«^）=1x973X6=1873.故选B.

J0

【答案】B

网倒法胆

多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二

是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面

的最值问题.

［对点训练］

1.（2018•福州模拟）已知圆锥的高为3,底面半径为十，若该圆锥的顶点与底面的圆

周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）

832

A.-JiB.—n

C.16JiD.32Ji

解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为此依题意得，#=（3—而2+（线）2,解得〃=2,

4432

所以所求球的体积「=§口）X23=yn,故选B.

2.（2018•洛阳第一次联考）己知球。与棱长为4的正四面体的各棱均相切，则球。的

体积为（）

A•坐B.手

D.呼”

解析：选A.将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正

四面体的棱长为4,所以正

方体的棱长为2^2.因为球〃与正四面体的各棱都相切，所以球。为正方体的内切球,

即球0的直径为正方体的棱长2^2,则球0的体积JI4=乎m,故选A.

3.已知四棱锥①的所有顶点在同一球面上，底面/8口是正方形且球心。在此平

面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+16线，则球。的体积等于（）

4小nn16g

A.B.3

3

32注五64旧

L3以3

解析：选D.

由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱

锥.因为该四棱锥的表面积等于16+16斓，设球。的半径为兄则

AC=2R,SgR,如图，所以该四棱锥的底面边长期=隹£则有（小

^2+4X1X^/27?X\(位面2—悸"=16+16镉，解得仁

2^2,所以球。的体积是：口4=乎4故选D.

■■专题强化训练■■

一、选择题

1.（2018•长沙模拟）如图是一个正方体，A,B,C为三个顶点，D

是棱的中点，则三棱锥48切的正视图、俯视图是（注：选项中的上图为

正视图，下图为俯视图）（)

ARcn

解析：选A.正视图和俯视图中棱4?和初均看不见，故为虚线，易知选A.

2.（2018•高考北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角

形的个数为（）

H-2--1

正（主）视图侧（左）视图

解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂

直的四棱锥，如图所示.

易知，BC//AD,BC=\,A0=A8=PA=2,

ABVAD,⑸，平面48切，故XPAD,△为8为直角三角形，/j\

因为为，平面/比比t平面485，B匕~~

所以序_L8G又BC1AB,且为CA?=4

所以a'_L平面为6,又必t平面序6,所以6aL%，

所以△呐为直角三角形，容易求得尸C=3,CD=乖,PD=2y[2,

故△枚不是直角三角形，故选C.

3.（2018•沈阳教学质量监测（一））如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出

的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2,高为2,则其体积

11,4m上…

2

r=-X-XJIX2X2=—,故选A.

LttJJ

4.（2018•西安八校联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

主视图左视图

俯视图

解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1,高为

915JI

2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积XT+-JTX12X2=-故选B.

5.（2018•长春质量检测（一））已知矩形加切的顶点都在球心为0,半径为7?的球面上,

AB=6,BC=2季,且四棱锥⑦463的体积为队用，则印等于（）

A.4B.273

C芈D.J13

yv

解析：选A.如图，设矩形力及力的中心为£,连接必，EC,由球的\

性质可得。吐平面所以％的=；•如・S矩形血=*神乂6*24\P\

小嬴，

二8季,所以施=2,在矩形46（力中可得用=24，则"=、/组+£/=飞丁三方'

^4+12=4,故选A.

6.（2018•南昌调研）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是

某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

24

A.~B."

00

8

C.2D-i

解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2

A

的正方体中，如图中三棱锥所示，故该几何体的体积，=：义^义1

/月、

2

X2X2=-

7.（2018•辽宁五校协作体联考）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及

粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是（）

解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥灰7/7

所示，且长方体的长、宽、高分别为6,2,4,是直角三角形，P一一—一

I】Qr-O

ABLBC,AB=2,BC=6,三棱锥足/回的高为4,故其体积为§X]X

6X2X4=8,故选A.

8.将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的

最大体积为（）

Jl8兀

A-27B•万

JI2兀

D-

解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r,高为x,

r2—x

题意可得,=丁，所以x=2—2r,所以圆柱的体积上

2Ji(r-?)(0<Xl),设V{r)=2n(?-/)(0<z<l),则V

2

—3r2）,由2兀（2下一3/）=0得_r=§,所以圆柱的最大体积匕ax=

8兀

万F

9.（2018•福州模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的

三视图，则该多面体的表面积为（）

A.14B.10+472

C.y+4-72

解析：选D.由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小

三棱锥后剩余的几何体，如图所示.所以该多面体的表面积5=

2X02—；XlXl)+gx(22-I2)+1X22+2X2^/2+1X

当x(m)

肛岁+4低故选D.

10.（2018•太原模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）

A.3小B.276

C.^/21

解析：选B.由三视图得，该几何体是四棱锥P/比〃如图所示,

力皿为矩形，AB=2,BC=3,平面用〃1平面ABCD,过点产作PELAD,

则PE=4,庞=2,所以CE=2®所以最长的棱PC=«P必+宓=2#,

故选B.

11.（2018•南昌调研）已知三棱锥34%的所有顶点都在球。的球面上，△/回满足46

=24，ZACB=90°,身为球。的直径且乃1=4,则点尸到底面/a1的距离为（）

A.72B.2y[2

C.y[3D.273

解析：选B.取的中点a,连接。a,如图，在中，AB=2y[2,ZACB=90°,

所以△力火所在小圆4是以26为直径的圆，所以。4=取,且au/a,又球。的直径用

=4,所以勿=2,所以00=7。#—。#=木,且。底面48C,所以点尸到平面/8C的距

离为2。。=2班.

12.（2018•高考全国卷I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的

角都相等，则。截此正方体所得截面面积的最大值为（）

R2^/3

邛B.3

4D.4-

解析：选A.记该正方体为/为B'CD',正方体的每条棱所在直线与平面a所

成的角都相等，即共点的三条棱H4A'B',A'D'与平面。所成的角都相等.如图，

连接/夕，AD',B'D',因为三棱锥2D'是正三棱锥，所以2A,A'B',A'

D'与平面/夕D'所成的角都相等.分别取CD',B'C,BB',AB,AD,加'的中点

E,F,G,H,I,J,连接峪