人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何章末复习

章末复习

(满分：150分时间：120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.空间直角坐标系中，点4-3,4,0)与点B(2,—1,6)的距离是()

A.2A/43B.2y[2\C.9D.强

2.在空间四边形ABC。中，若向量6=(—3,5,2),丘)=(-7,-1,—4),点E,尸分别为

线段BC,A。的中点，则正的坐标为()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

f3f1f1f

3.A,B,C不共线，对空间内任意一点。，若0P=w04+w0B+g0C,则P,4,B,C四

点()

A.不共面B.共面

C.不一定共面D.无法判断是否共面

4.已知平面a的一个法向量为"=(1,-1,0),则y轴与平面a所成的角的大小为()

71c兀一兀e兀

A.4B.WC・§D.2

5.长方体ABCD-AiBC。中AB=AA]=2,AD=hE为CC】的中点,则异面直线8G与4E

所成角的余弦值为()

迎我会D啦

A.jQU.jQL.jQU.10

6.空间直角坐标系中A(l,2,3),8(—1,0,5),C(3,0,4),0(4,1,3),则直线AB与CZ)的位置关

系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.无法确定

7.如图是一平行六面体A8C£>-Ai8iCQ,£为8C延长线一点，BC=2CE,则。行=（）

柒________C.

/、、、、、区/

A.AB+AD+AA]B.AB+/D—A4]

-1-*~

C.AB+AD-AA}D.AB+^AD-AA1

8.如图所示，ABC0-4BCQ1是棱长为6的正方体，E,尸分别是棱AB,8c上的动点，且

AE=BF.当4，E,F,Ci四点共面时，平面4OE与平面C。尸所成夹角的余弦值为（）

2乖

■5

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分）

9.已知正方体ABCD-ABiG。的中心为。，则下列结论中正确的有（）

A.五+访与而|+是一对相反向量

B.而一元与后1一防।是一对相反向量

C.H+&+左+后>与方i+茄|+公1+防|是一对相反向量

D.々1一&与左一63是一对相反向量

10.在以下命题中，不正确的命题有（）

A.⑷一|例=|"+"是a,〃共线的充要条件

B.若则存在唯一的实数人使。=劝

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若防=2方-2防一文，则P,A,B,

C四点共面

D.若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛a+6,b+c,c+a｝构成空间的另一个基底

11.在正方体中，若E为AiG的中点，则与直线CE不垂直的有()

A.ACB.BDC.A\DD.A\A

12.如图，已知E是棱长为2的正方体A8CEM/©A的棱BC的中点，尸是棱8所的中点，

设点D到面AEDx的距离为d,直线DE与面AEDt所成的角为6,面AED｝与面AED的夹

a,则()

A.DFliEjAEDi

C.sin，=铅

D.cos3

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.把K答案》填在题中的横线上)

13.己知向量ei，62,©3是三个不共面的非零向量，且a=2ei—©2+03,b=-e\+4e2—2ej,

c=llei+5e2+M3，若向量a，b,c共面，则;1=.

14.如图，在长方体ABCO-A13CQ1中,AB=BC=2,啦,E,1分别是面4囱©。1、

面8CGS的中心，则E、尸两点间的距离为.

15.已知正四棱台ABCQ-AiSGOi中，上底面AiBGOi边长为1,下底面ABCD边长为2,

侧棱与底面所成的角为60。，则异面直线AA与BC所成角的余弦值为.

16.己知向量a=(l,-3,2),6=(—2,1,1),点A(—3,一1,4),8(-2,-2,2).则|2a+“=

；在直线AB上，存在一点E,使得则点E的坐标为.(第一空2

分，第二空3分)

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知a=(x,4,l),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a//b,b±c,

求:

(l)a,b,c；

(2)a+c与b+c夹角的余弦值.

18.(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCZX4B1GO1，底面ABCQ

是正方形，CG=3,CO=2,且NGCB=NGCO=60。.

(1)设C£)=mCB=b,CG=c,试用a,b,c表示AC；

(2)已知O为四棱柱ABC£>-4B|CQi的中心，求CO的长.

19.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABC»4BiGd中，已知4B=2,A4=5,E、F

分别为。1£>、B山上的点，且OE=B/=L

(1)求证：BE,平面ACF；

⑵求点E到平面ACF的距离.

20.体小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCQ-AbC。的对角线B。，上，APDA

=60°.

D'

(1)求QP与CC所成角的大小;

(2)求DP与平面AA'D'D所成角的大小.

21.(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCO所在的平面垂直于矩形ABC。所在的

平面，8c=2啦，M为8c的中点.

(1)证明：AM±PM；

(2)求平面以M与平面DAM的夹角的大小;

(3)求点D到平面AMP的距离.

22.(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边

长的观倍，P为侧棱SQ上的点.

⑴求证：AC_LSO；

(2)若SO_L平面PAC,求平面FC与平面ACD的夹角大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE〃平面以C.若存在，求SE：EC的

值；若不存在，试说明理由.

■■■参*考*答*案■■■

(满分：150分时间：120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.DK由条件知n=(5,-5,6),.,.局|=4由+件+36=强.故选D-

2.BK取4c中点M,连接ME,MF(图略)，

所以Eb=MF—ME=(—2,—3,—3),故选B.D

311

3.BK由于彳+&+&=1,工。、A、B、C四点共面.故选B.R

^400

4.BRy轴的一个方向向量s=(0』,0),cos<n,s')=温左=一亭，即y轴与平面。所成

角的正弦值是坐，故其所成的角的大小是会故选B4

5.BK建立坐标系如图所示.

B

则A(1,O,O),£(0,2,1),3(120)，Ci(0,2,2),BCi=(-1,0,2),AE=(—1,2』).

/了据―访病

cos\BC\yAE)——s.

ff10

|AE|.|BCi|

所以异面直线BG与AE所成角的余弦值为噜.故选B.2

6.A空间直角坐标系中，6(1,2,3),5(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,l,3),；丸=(一2,一

2,2),日)=(1,1,-1),.,.薪=一2心，.•.直线48与CO平行.故选A.》

7BK取BC的中点尸，连接4F(图略)，则所以四边形4AEF是平行四边

形，所以AiF=^D|E,所以^又篇『/G+6+赤=一元|+兀+荻)，所以黄£•=

AB+^AD-AAi，故选B.』

8.BK以。为原点，DA.DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时,4、E、F、G共面，设平面46E的法向量为〃i=(a,h,c),

DEn\:=6a+3h=0

依题意得＜

—►

•川=6。+6c=0

可取〃i=(—1,2,1),同理可得平面G。尸的一个法向量为〃2=(2,-1,1),

故平面4OE与平面GOF的夹角的余弦值为睛=3.故选B.1

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.ACD1•.•0为正方体的中心，；.。4=-0。，00=-08|,故。4+0。=-(081+0。),

同理可得OB+OC=-(O4+OA),故04+。8+0。+0。=一(。4+08|+0。+0。|),

.".AC正确；'：OB-OC^CB,OA\-OD\=D^A\,而一左与々「oBi是两个相等的向

量，；.B不正确；一'=北”文一元尸3^=一点1，=一(元一元I)，

.••D正确

10.ABCRA.|a|-C=|a+bQa与寸共线,但a与占共线时⑷一向=|a+b|不一定成立，

故不正确；B.白需为非零向量，故不正确；C.因为2—2—1W1,由共面向量定理知，不正确；

D.由基底的定义知正确

11.ACDK建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.

贝1JA(1,O,O),B(l』,0),C(0,l,0),D(0,0,0),Ai(l,0,l),Ci(0,l,l),1),

：.CE=\^,-1,I),启=(-1,1,0),晶=(-1,-1,0),

AiD=(-l,O,-1),A]A=(O,O,-1).

ff11ff]]

CEAC=-^一/。二—1WO,CEBD=-2+]+O=O,

ff13ff

CEA\D=-2+O-1=一尹0,CEAiA=O+O—1=—1WO.

...与CE不垂直的有AC、A\D.A\A,故选ACD.』

12.BCD[以A为坐标原点，AB,AD,的方向为尤，y,z轴的正方向，建立空间直角

坐标系(图略)，则4(0,0,0),£(2,1,0),£>(0,2,0),5(0,2,2),4(0,0,2),尸(2,0,1),所以蓝=(2,1,0),

ADi=(0,2,2),法=(2,—1,0),防=(2,-2,1).设平面AEQ的法向量为机=(x,y,z),

―►

m-AE=0[2x+y=0

则由彳，得彳,'令x=L则y=—2,z=2,故机=(1,—2,2).

f2y+2z=0,

[m-AD\=0

VDF=(2,-2,1),不存在2使/n=2DF,即。F与机不共线，,二。尸与面AE。1不垂直

—►

故A不正确；又丁。£)]=(0,0,2),：.d=।：—=]।X[4故B正确；

M41+4+4J

乂DE=(2,-1,0).Asin^lcos〈DE,m)\=-j=-^=-^.

—►

・・.C正确；又A4=(0Q2)为平面AED的一个法向量，,cosa=巧词=三^=今故D正

\AA\\\m\

确，故应选B、C、D.2

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.把K答案》填在题中的横线上)

13.1K因为mb,c共面，所以存在实数相，〃，使得c=ma+〃"

贝ij114+5«2+263=(2加一〃)幻+(—zn+4〃)G2+(加一2〃)03，

2m—n=\\m=7

,解得上=3.3

则<一历+4〃=5

m-2〃=2A=1

14.坐R以。为坐标原点，分别以嬴左，由所在方向为X、＞、Z轴的正半轴，建立

空间直角坐标系(图略)，由条件知£(1,1,6,《1,2,乎)，，正=((),1,一曲,

:.E、F两点间的距离为|而70+1+3=乎.》

15.|R设上、下底面中心分别为。|、O,则。01，平面ABCQ,以。为原点，直线B。、

AC、。0|分别为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系.

：AB=2,A山i=l,：.AC=BD=2y[2,4Ci=BQi=g

;平面BCD山平面ABC。，二/8山。为侧棱与底面所成的角，.•.ZBiBO=60。,

设棱台高为h,・“当

**.A(0,-6,0),£>(_喙,0,堂,0,坐),C(0,也，0),

.•.启=(一半,近坐),靛=(—坐,也,一明，

_ADyBiC_1

Acos(AD\B\C)-,

|ADI|.|B1Cr4

故异面直线ADx与8C所成角的余弦值为;

K2a+b=(2,-6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),

故|2a+b|=^/02+(-5)2+52=5班.

又OE=OA+AE=OA+fA8=(-3,—1,4)+。(1,一1,-2)=(—3+3—1一a4一2。,

ff9

由。E_LZ>,则。E仍=0,所以一2(—3+"+(—1一。+(4—2。=0,解得，=亍

因此，此时点E的坐标为《一也-y,|).2

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.[[解X⑴因为“〃b,所以爸=?=」7,解得x=2,产一4,

-2y—1

则a=(2,4,l),b=(~2,-4,-1).

又分_Lc,所以"c=0,即-6+8—z=0,

解得z=2,于是c=(3,—2,2).

(2)由(1)得”+c=(5,2,3),b+c=(\,-6,1),

512~H32

设a+c与b+c夹角为仇因此cos6=q^^^=一访.

18.K解』(1)由C£>=a,CB=b,CG=c,

得C4i=a+》+c,所以AC=-a—b~c.

(2)0为四棱柱ABCDAiBiGQi的中心，即。为线段AC的中点.

由已知条件得间=|加=2,|c|=3,ab=O,〈。，c〉=60。，(b,c〉=60。.

由(1)得CAi=a+b+c,

贝小乙||2=占|2=(4+力+c)2=a2+b2+c2+2a.b+2"c+2a・c

=22+22+32+0+2X2X3XCOS600+2X2X3XCOS60°=29.

所以4c的长为寸药，所以CO的长为尊.

19.K解1(1)证明：以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x、y、z轴建立如图所

示空间直角坐标系,贝1|。(0,0,0)、42,0,0)、8(220)、C(0,2,0)、D,(0,0,5)>E(0,0,l)、尸(2,2,4).

；.AC=(-2,2,0)、A尸=(0,2,4)、BE={-2,一2,1)、AE=(-2,0,l).

'：BEAC=0,BEAF=0,：.BE±AC,BEVAF,

且4CCAF=A,：.BE±nACF.

(2)由(1)知，港为平面ACF的一个法向量，

/.点E到平面ACF的距离4=地手号.

\BE\

故点E到平面ACF的距离为/

20.[[解》(1)如图所示，以。为原点，DA,DC,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立

空间直角坐标系，设£>4=1.则D4=(l,0,0),CC=(0,0,l),连接BD,B'D'.

在平面BB'D'D中，延长。尸交所。于H.

设(加，机,1)(加＞0),由已知(DH,DA)=60°,

由a•防=|&||而|cos(DH,DA),可得2"==2〃尸+1.

解得根=乎，所以防=停，乎，1).

f一堂X0+乎X0+1X1历

因为cos{DH,CC'}-x[=2，

所以〈而，CC')=45。，即OP与CC所成的角为45。.

⑵平面AA'D'D的一个法向量是。C=(0,1,0),

.一乎xo+乎X1+1X0

因为cos{DH,DC)]X"^2=2,

所以〈防，DC)=60°,可得3P与平面AA77O所成的角为30。.

21.(解』(1)证明：以。为原点，分别以直线D4,OC为x轴、y轴,建立如图所示的空

间直角坐标系，依题意，可得。(0,0,0),尸(0,1,小)，C(0,2,0),A(2小,0,0),M(y[2,2,0).

俞=(小，1,一小)，嬴=(一小，2,0),

—►—►—►—►

：.PMAM=（y[2,1,一小）•（