高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第二册 数学归纳法

4.4数学归纳法专项训练B

一.选择题(共8小题)

1.利用数学归纳法证明/(〃)=l+2+3+...+(3〃+l)(〃eN*)时，第一步应证明(

)

A.f(2)=1+2B.f(1)=1C.f(1)=1+2+3D.f(1)

=l+2+3+4

2.用数学归纳法证明：5+l)("+2)…5+")=2"13…・(2”—.从用eM)到

%+l,若设//)=伏+1)伏+2)...伏+6，则fOl+1)等于()

%+1〃+]

A..+[23万B../W-t2(2,+1)]C..+,D.川,

3.用数学归纳法证明—!_+」_+...+」_..[(〃0由〃=&到〃="1时，不等

〃+1n+2〃+〃24

式左边应添加的项是（）

2伏+1)

11-11D.，+_L__L

2攵+1--2k+2k+\2k+\2k+2k+\Z+2

4.现用数学归纳法证明“空间中〃个平面，最多将空间分成？、5〃+6个区域，,

6

过程中由〃必到〃"+1时，应证明区域个数增加了（）

A公+A+2R,27cok~+knk~+1

A.----------B.k+k+2C.--------D.-------

266

5.若用数学归纳法证明等式i+2+3+4+5+...+3〃=叱主网，则〃=左+1时的等式

2

左端应在〃=々的基础上加上（）

A.3k+1B.3(女+1)

9(Z+l)2+3(k+l)

Lr/•D.(3k+1)+(3攵+2)+3(攵+1)

2

6.用数学归纳法证明不等式i+g+g+...+击＞女”€“)，第二步由2到4+1时不

等式左边需增加()

2*-1+1+F

1_]11__11

1+1+D.+t-l

2*-+12*-+2?2*-'+l2+2+…+环

7.用数学归纳法证明不等式_L+_L_+...+」_＞』(〃＞l,〃eN*)的过程中，从

724-1〃+2n+n2

到〃=%+1时左边需增加的代数式是()

A.B.-......-C.-^―+―1-D.—'―

2k+22k+l2k+22k+12k+22k+l

8.已知/(〃)=，+_!_+……+—L,用数学归纳法证明：对于任意的〃eM,

1+〃2+〃n+n

f(n)<—,由"=A的归纳假设证明〃=左+1,若f(k+l)=f(k)+g(k),则g(Q=(

14

)

A.，B.C.-J---LD.-J

2k+22k+\2k+22k+2k+\2k+12k+2

二.填空题(共4小题)

9.用数学归纳法证明"当〃eN*时，/(〃)=5"+2X3"T+1能被8整除"时，第二

步“假设当〃=k(keN*)时，/(k)=5*+2x3i+l能被8整除,证明当〃=%+1时

/(A+1)也能被8整除”的过程中，得到f(k+1)=5i+l+2x+1=/(6+A,贝I」A的

表达式为—.

10.在数学归纳法的递推性证明中，由假设〃“成立推导1成立时,

/⑺，渭+…+“增加的项的个数是一(用人表示)

11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设〃=々时成立推导〃=左+1时成立时,

仆)=1+_1+,+...+-!—增加的项数是

232〃-1----

12.已知/(”)=i+g+g+；+...+g(〃eN*),用数学归纳法证明/(〃)>〃时，有

/代+1)T(Q=.

三.解答题(共4小题)

13.若数列｛”“｝对任意连续三项4,aM942,均有(4一a,+2)(%—4+i)>0，则称

该数列为“跳跃数列”.

(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列：

①等差数列：1,2,3,4,5,...；

②等比数列：1,一!，

24816

(2)若数列｛“J满足对任何正整数〃,均有4”=4%(q>0).证明：数列｛〃“｝是

跳跃数列的充分必要条件是0<4<1.

(3)跳跃数列｛4｝满足对任意正整数〃均有4向=三4，求首项4的取值范围.

14.已知数列｛4｝的前几项和为5”,且S“=2%£N*).

(1)求4，%,生，的值，猜想数列｛q｝的通项公式并加以证明；

(2)求4+%++…+〃2“+35€N*).

Qr_1

15.设数列｛x“｝中，A,e(-l,l),王川=(一1)"+1」一，nwN*.

3-x“

(1)设%=g,写出数列｛%｝的前五项；

(2)猜想数列｛%｝的一个性质，并证明;

(3)求％的取值范围，使天..x〃对任意〃wN*都成立.

q।&4%&《3&•••&4〃

。21&q2&。23&…&a2n

16.(a3l&a32&%&…&。3〃)，口(九.5)个正数排成〉行〃列方阵，其中每一行从左

%&。〃2&。”3任一&。〃“

至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数与的等比数列.

口距5

匕矢口。］2=1，%4=2，fl55=—.

(1)设2=/，求数列电｝的通项公式；

(2)设S〃=a”+%+々31-----^4”，求证：S”<1(〃£N)；

⑶设<=%+%+&+…+*，请用数学归纳法证明：7；,=2-*(〃eM).

4.3数学归纳法专项训练B

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.【解答】解:由/(〃)=1+2+3+…+(3〃+l)(〃wN*),

可得/(1)=1+2+3+4,

由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明：f(1)=l+2+3+4.

故选：D.

2.【解答］解：由数学归纳法证明(〃+l)(〃+2)...(〃+〃)=2".1.3...(2〃-l)(〃eM)时,

从“左”到“大+1”的证明，左边需增添的一个因式是侬+1)俳+2)=

k+1

则/伙+1)=/(%)•［2(2%+1)］，

故选：B.

3.【解答】解：当"“时，有不等式£+/+-%*

当〃=k+]时，不等式为1F4--------1--------------1---------------------

Z+2攵+32k2Z+12左+2…24

将上面两式的左边相减可得,

由〃=%到〃=4+1时，不等式左边应添加的项是」-+」....-

2攵+12k+2k+1

故选：C.

4.【解答】解：当』时，V十,

当〃=k+l时，再添上第4+1个平面，因为它和前4个平面都相交，所以可得人条

互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这么条交线可以把第A+1

个平面划最多分成匕伏+1)2-/+1)+2］="2十八2个部分,每个部分把它所在的原

22

有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了公+-+2个个,

2

故选：A.

5.【解答］解：当〃=火时,等式的左端为1+2+3+4+…+3左，表不从1到31的累

加；

则当〃=人+1时，等式的左端应该表示从1到女+3的累加，

艮［11+2+3+4+...3斤+(3%+1)+(3女+2)+(3%+3),

故增力口的项为(3%+1)+(3%+2)+(3%+3).

故选：D.

6.【解答］解:用数学归纳法证明等式1+—+"+...+」_</(〃)(〃..2,"€N*)的过

232"-1

程中，

假设时不等式成立，左边=1+2+!+…+工，

23

贝"当”=A+1口寸，左边=1+1+!+…+—+...+\,

232"'2*-1+12U+1)-1

由〃=%递推到n=k+l时不等式左边增加了

1_111

2*-'+1+'"+2(*+z-2*-1+1+"+2*

故选：D.

7.【解答］解：当〃=4寸，左边的代数式为

攵+1k+2k+k

当i+M左边的代数式为出+力+4-----------H---------------1-------------

k+k2攵+12k+2

故用〃=4+1时左边的代数式减去〃=左时左边的代数式的结果为:

11111

-------------------=-------------.

2攵+12k+2k+\2k+\2k+2

故选：B.

8.【解答］解：由〃=人的归纳假设证明〃=&+1,/伏)=」-+」-+……+-!-

1+左2+kk+k

々，八11111

f(k+l)=--------+---------+....+------------+---------+-----------.

1+(攵+1)2+(k+1)攵-1+(4+1)攵+(攵+1)k+1+(攵+1)

got)=f(k+1)-f(k)=——-——+---------------—=---------.

%+(%+1)%+1+(%+1)1+&2k+l2k+2

故选：£>,

二.填空题(共4小题)

9.【解答】解：假设当〃=&(keN*)时,f⑹=5«+2X3*T+1能被8整除,

证明当〃=A+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,

得至U/(&+1)=5Al+2x3"玲T+1=f(Q+A,

可得A=5*+i+2x3gg+1-5*—2x3*-l-l=4(5*+3*-1),

故答案为：A=4(5"+3*T).

10.【解答］解：当〃=A时，f(k)=1+—+—+—,

232*-1

当〃=%+1时，/(jt+i)=i+-+-+...+—!—+4-+—J—,

232*-12k2*+12*+,-1

由/(%+1)-〃g=}+£+…+^71，

可得需增加的项的个数为2"-1-2«+1=2*,

故答案为：2匚

11.【解答】解：假设〃=无时成立，即/伏)=1+'+2+...+，一,

232*-1

则〃=4+1成立时，W/(^+1)=1+^4-^+...+—!—+^+...+—~i-~-，

2324-12k2*+2k-1

左边增加的项数是(2*+2*-1)-(2«-1)=2l

故答案为：2".

12.【解答】解：•.・假设〃=4时，f(Z)=l+；+g+；+...+/，

.•.当1《+1时'/伏+i)=i+；+g+；+・一+^r+^^+3+，‘

•■•/(A+i)-/(Q=/J不~«+-"+^+r•

4+14+2

故答案为：'+/一+...+、

4*+14"+24A+I

三.解答题(共4小题)

13.【解答】解：(1)①等差数列：1,2,3,4,5,…不是跳跃数列；

②等比数列：1,…是跳跃数列.

24816

(2)必要性：若4>1,则｛”"｝是单调递增数列，不是跳跃数列；

若4=1，｛%｝是常数列，不是跳跃数列.

充分性：下面用数学归纳法证明：

若Ovqvl,则对任何正整数九，均有a2n_t<a2n+l<a2n,02n>a2n+2>出〃+1成立,

1)当〃=1时，a2=〉a；=%,%=a^-<=a2,

2

*/a2=a?<1,z.a3=a^>=aA,/.a2>a3>a]9

*/g>4>4，­,-a：。<靖<<a4<a2,

:.n=\命题成立；

2）彳|时，a2k7v。2什1<a2k9a2k>a2k+2>Cl2k^\9

贝|J*<*2<.%k+l<%+3<外八2，4侬">*3>0*2,

二4人+2>a2k+4>a2M9「.当〃=k+1时命题也成立,

根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足（4-%2）（%2-厢）>0，

故｛%｝是跳跃数列.

（3）%+|-%=1（19一a；-5%）,〃〃+2-4+1=卷3；-5。“-19）（19一一5al，

1,

4+2~an=示（4-2）（4一3）（19—。〃一5。〃）,

[1]若%>%，则4+1>4+2>4,此时a“e（5二4,2）；

⑵若4+1<4，则/<%<4，此时为e（3,互型I）；

里,5-ViUTc、19-<z；”5+>/iUT、,〜c、

八〃〃w（-----------，2），刻a〃+i=—~—£（3,-----------）>w（-2,2）・

若凤€（3,5土浮）,贝lja=e（-2,2）,a.e（3,729）.

ll+l

4e（-2,2）U（3,同，

此时对任何正整数n，均有ane（-2,2）|J（3,>/29）.

14.【解答】解：（1）由S〃=2%-力，得5]=24-1,解得q=l,

S2=4+4=2/-2=1+4=24—2,解得出=3,

S3=q+a2+“3=2a3_3=4+/=2a3—3,解得a?=7,

归纳猜测a,,=2"-1.

下面利用数学归纳法证明：

①当〃=1时，4=21-1=1,结论成立，

②假设〃=%时结论成立，即4=2火-1,

贝！I当w=1+1时,由Sk+l=21-(左+1),

得4*i=\+i-\=24+I一(々+1)-2ak+k,

k+

即ak+l=2a,+1=2(2*-1)+1=2'-1,

当〃=k+1时结论成立.

综①②所述，对于任意“wN*,有a,=2"-l;

(2)由(1)得，a„=2"-\,

.*.4Z1+Cl^+%+•••+。2"+3=(2+2*+...+22w+3)-(n+2)

2(1-4-2)22n+5-3/7-8

=,,(〃+2)=〜

1-43

15•【解答】解：(1)x„+l=(-1)',ne/V*.

3-%

3xi-1।3xt-1j3x；_]]

又玉」，可得％=T-=-，占=----：-=—，X=------：-=

2-3-15.174al5

3------J—-

257

3x(-1)-l]

x5=----------=-;

3-(-？2

（2）由（1）可猜想数列｛x,J为周期为4的数列.

_3x„-l

证明：不妨设“为奇数，可得x用

3-x.

3.线二L]3色二2_]

3X“-53X“-1

则/+,=--Xn+3=

33x“-l3x„-535X“-3X„-3

3-x.3x,-5

3.%=1_]

x„-3

%=-不丁=小

七一3

综上可得，X,+4=X.

当〃为偶数，同理可得斗+4=x”,

故数列｛尤，,｝为周期为4的数列;

（3）令，=不€（—1,1）,由X,,”=（-1）向,nwN*，