（旧知复习）第3讲 长方体和正方体的表面积和体积（教师版）-2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版）

2024年人教版数学五升六暑假衔接培优精讲练过关讲义（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）第3讲长方体和正方体的表面积和体积知识点01：长方体表面积的计算方法方法一：长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2方法二：长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S=2ab+2ah+2bh或S=2(ab+ah+bh)。知识点02：正方体表面积的计算方法正方体的表面积=棱长×棱长×6如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S=6a²。知识点03：表面积公式的实际应用题型基础计算题：给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。给出正方体的棱长，要求计算其表面积。生活应用题：例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。拼组题型：将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。切割题型：将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。优化问题：例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。错误识别与改正：题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。知识点04：长方体体积的计算方法长方体体积的计算公式为：体积=长×宽×高。如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则体积公式可以表示为：V=a×b×h。知识点05：正方体体积的计算方法正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。正方体体积的计算公式为：体积=边长×边长×边长，或简写为体积=边长³。如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V=a³。知识点06：体积公式的实际应用题型基础计算题：给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。给出正方体的边长，要求计算其体积。生活应用题：例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。比较和判断题：比较不同长方体或正方体体积的大小。判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。优化问题：例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。综合应用题：结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。错误识别与改正：题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。单位换算问题：在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。易错点知识点01：单位换算

易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。

易错题目：

一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。

错误答案：

直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。

正确答案：

首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积：

表面积

=

2

×

(5dm

×

3dm

+

5dm

×

4dm

+

3dm

×

4dm)

=

94dm²

易错点知识点02：表面积与体积的混淆

易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。

易错题目：

一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。

错误答案：

将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。

正确答案：

表面积

=

6

×

6cm

×

6cm

=

216cm²

体积

=

6cm

×

6cm

×

6cm

=

216cm³

易错点知识点03：公式应用错误

易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。

易错题目：

一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。

错误答案：

只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。

正确答案：

表面积

=

2

×

(10cm

×

8cm

+

10cm

×

5cm

+

8cm

×

5cm)

=

460cm²

易错点知识点04：忽略实际情况

易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。

易错题目：

一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。

错误答案：

直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。

正确答案：

由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积：

表面积=

80cm

×

40cm

+

2

×

(80cm

×

50cm

+

40cm

×

50cm)

=

13600cm²检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：47（较难）一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分)1．（2分）（2024五下·陆川期中）将两个完全一样的长方体拼成一个大长方体，下列说法正确的（）。A．表面积增加，体积不变B．表面积减少，体积不变C．表面积和体积都增加答案：B详细规范解答：解：将两个完全一样的长方体拼成一个大长方体，表面积减少，体积不变。

故答案为：B。

试题思路分析：将两个完全一样的长方体拼成一个大长方体，因为小长方体的大小没有改变，所以大长方体的体积等于原两个小长方体的体积之和，即体积不变；但是因为拼成一个长方体后，原小长方体有两个面粘合到一起了，即少了两个面的面积，所以表面积减少了。据此可以判断。2．（2分）（2024五下·龙岗期中）用一根长48cm的铁丝制作棱长都是整厘米数的长方体框架，这个长方体框架的长、宽、高可能是（）。A．7cm2cm1cm B．20cm18cm10cmC．5cm5cm6cm D．5cm4cm3cm答案：D详细规范解答：48÷4=12（cm）

选项A，7+2+1=10（cm），与题意不符；

选项B，20+18+10=48（cm），与题意不符；

选项C，5+5+6=16（cm），与题意不符；

选项D，5+4+3=12（cm），与题意相符。

故答案为：D。

试题思路分析：根据题意可知，这根铁丝的长度是长方体的棱长总和，已知长方体的棱长总和，可以求出长方体的长、宽、高的和，长方体的棱长总和÷4=长+宽+高，分别求出各选项的数据之和，然后对比即可。3．（2分）（2024五下·腾冲期中）下列不是正方体表面展开图的是（）。A． B． C． D．答案：D详细规范解答：解：图四不是正方体的展开图。

故答案为：D。试题思路分析：A、B是正方体“1＋4＋1”式的展开图，C是正方体“2＋3＋1”式的展开图，D不是正方体的展开图。4．（2分）（2024五下·龙岗期中）将一个长方体的高截去5cm就变成了正方体(如图)，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60cm2，原长方体的体积是()立方厘米。A．27 B．36 C．64 D．72答案：D详细规范解答：解：60÷4÷5

=15÷5

=3（厘米）

3×3×（3＋5）

=9×8

=72（立方厘米）。

故答案为：D。

试题思路分析：原长方体的体积=长×宽×高；其中，长=宽=减少的表面积÷减少面的个数÷减少的高，原长方体的高=减少的高＋长。5．（2分）（2024五下·北仑期中）李阿姨在雕刻时先对材料进行了处理。她把一块长7dm、宽6dm、高5dm的长方体木块削成一个最大的正方体，在剩下部分中再削一个正方体，则这个正方体的的体积是（）dm3。A．1 B．2 C．4 D．8答案：D详细规范解答：解：7-5=2（分米）

2×2×2=8（立方分米）。

故答案为：D。

试题思路分析：第一次削去正方体的棱长是5分米，第二次削去正方体的棱长是2分米，这个正方体的体积=棱长×棱长×棱长。二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)6．（2分）（2024五下·汉川期中）表面积相等的两个长方体，它们的体积也一定相等。（）答案：错误详细规范解答：表面积相等的两个长方体，它们的体积不一定相等，原题说法错误。

故答案为：错误。试题思路分析：长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2，长方体的体积=长×宽×高，表面积相等的两个长方体，长、宽、高无法确定是否相等，则体积也无法确定是否相等，据此判断。7．（2分）（2024五下·陆丰期中）当正方体的棱长是6cm时，它的表面积和体积相等。（）答案：错误详细规范解答：解：当正方体的棱长是6cm时，它的表面积和体积不相等。

故答案为：错误。

试题思路分析：表面积的单位是面积单位，体积的单位是体积单位，所以它们不相等。8．（2分）（2024五下·驻马店月考）一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，表面积和体积都扩大到原来的16倍。（）答案：错误详细规范解答：一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，表面积扩大到原来的16倍，体积扩大到原来的64倍。原题说法错误。

故答案为：错误。

试题思路分析：正方体表面积=棱长×棱长×6，正方体体积=棱长×棱长×棱长，正方体表面积扩大的倍数是棱长扩大倍数的平方倍，体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方倍。9．（2分）（2024五下·辰溪期中）2个棱长1cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是12cm2（）答案：错误详细规范解答：长方体的长为2cm，宽为1cm，高为1cm，

长方体的表面积=（2×1+2×1+1×1）×2

=5×2

=10（cm2）。

所以原题说法错误。

故答案为：错误。

试题思路分析：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，代入数值计算即可；也可根据2个正方体拼成1个长方体，则减少了正方体的2个面的面积。10．（2分）（2024五下·邯郸期中）把28L水倒入一个从里面量长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽中，这时水面距水槽口28cm。（）答案：错误详细规范解答：解：28升=28000立方厘米

40-28000÷（40×25）

=40-28000÷1000

=40-28

=12（厘米）。

故答案为：错误。

试题思路分析：先单位换算28升=28000立方厘米，这时水面距水槽口的高度=长方体玻璃水槽的高-倒入水的体积÷（长方体玻璃水槽的长×宽）。三、仔细想，认真填(共8题；共18分)11．（2分）（2024五下·陆川期中）把一块棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是0.05平方米的长方体钢材，锻成的钢材有米长。答案：2.5详细规范解答：解：0.5×0.5×0.5=0.125（立方米）

0.125÷0.05=2.5（米）

故答案为：2.5。

试题思路分析：把正方体锻成长方体钢材说明体积不变，即长方体的体积等于正方体的体积。正方体的体积=棱长×棱长×棱长，长方体的体积÷横截面面积=长。据此可以解答。12．（2分）（2024五下·龙岗期中）李华有两根一样长的铁丝，将一根铁丝刚好折成一个长7dm、宽2dm、高6dm的长方体框架。若将另一根折成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长是dm。(接口处忽略不计)答案：5详细规范解答：解：（7＋2＋6）×4÷12

=60÷12

=5（分米）。

故答案为：5。

试题思路分析：这个正方体框架的棱长=这个正方体框架的棱长和÷4；其中，这个正方体框架的棱长和=长方体框架的棱长和=（长＋宽＋高）×4。13．（2分）（2024五下·兰溪期中）一个长方体的长是10分米，8分米，高6分米，它的棱长总和是分米，表面积是平方分米。答案：96；376详细规范解答：解：（10＋8＋6）×4

=24×4

=96（分米）

（10×8＋10×6＋8×6）×2

=（80＋60＋48）×2

=188×2

=376（平方分米）。

故答案为：96；376。

试题思路分析：长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×4；长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。14．（2分）（2024五下·汉川期中）下图是一个正方体表面的展开图，每面都标有数字。在正方体中，数字“3”对面的数字是，相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最小是。答案：2；7详细规范解答：解：数字“3”对面的数字是2，数字1对面的数字是5，数字4对面的数字是6。

相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最小是：1、2、4相交于一个顶点，和是1+2+4=7。

故答案为：2；7。

试题思路分析：正方体展开图的规律：中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。

相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最小，即是找出两两相邻的三个面上的数字最小的面，即1、2、4，计算即可。15．（2分）（2024五下·苍南期中）如图，把一段长20dm且横截面是正方形的长方体木料截成3段，表面积增加了64dm2。原来这段木料的体积是dm3。答案：320详细规范解答：解：64÷4=16（平方分米）

16×20=320（立方分米）。

故答案为：320。

试题思路分析：原来这段木料的体积=增加的表面积÷增加面的个数×原来这段木料的高。16．（4分）（2024五下·万载期中）一个长方体的长6dm、宽5dm、高3dm，它的棱长之和是dm，它的表面积是，体积是。用两个这样的长方体拼成一个大长方体，拼成的大长方体的表面积最小是dm2。答案：56；126平方分米；90立方分米；192详细规范解答：解：（6＋5＋3）×4

=14×4

=56（分米）；

（6×5＋6×3＋5×3）×2

=（30＋18＋15）×2

=63×2

=126（平方分米）；

6×5×3

=30×3

=90（立方分米）；

3×2=6（分米）

（6×5＋6×6＋5×6）×2

=（30＋36＋30）×2

=192（平方分米）。

故答案为：56；126平方分米；90立方分米；192。

试题思路分析：长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×2；长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体的体积=长×宽×高；用两个这样的长方体拼成一个大长方体，拼成的大长方体的表面积最小时，把最大的面叠在一起，此时的长6分米，宽5分米，高=原来的高×2。17．（2分）（2024·礼嘉）一节长2米的通风管，它的横截面是边长4分米的正方形．做10节这样的通风管至少需要铁皮平方米。答案：32详细规范解答：4分米=0.4米；0.4×2×4×10=32（平方米）。

故答案为：32

试题思路分析：先算一节通风管的表面积，通风管由4个相等的长方形组成，一节通风管的面积=宽0.4×长2×4个面，十节通风管的面积=一节通风管的面积×10。18．（2分）（2024五下·黄冈月考）一根长方体的木料，正好可以锯成两个同样的正方体，这时表面积增加了50平方厘米，这根长方体木料原来的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。答案：250；250详细规范解答：解：一个正方形面的面积：50÷2=25（平方厘米），

长方体表面积：25×10=250（平方厘米）。

5×5=25，所以正方体棱长是5厘米，

长方体体积=5×5×5×2=250（立方厘米）。

故答案为：250；250。

试题思路分析：因为正好可以锯成两个同样的正方体，说明切面是正方形，表面积增加了两个正方形面的面积。长方体有两个正方形面，另外四个面的面积都相当于2个正方形面的面积，所以长方体的表面积相当于10个正方形面的面积。因此用表面积增加的部分除以2求出一个正方形面的面积，用一个正方形面的面积乘10即可求出长方体的表面积。根据正方形面积公式判断出正方形面的边长，也就是一个正方体的棱长，计算出一个正方体的体积，再乘2即可求出长方体的体积。四、看图列式计算(共2题；共8分)19．（4分）（2024五下·万载期中）计算如图表面积和体积（单位：cm）（1）（2分）（2）（2分）答案：（1）解：（5×3+5×2.5+2.5×3）×2＝35×2＝70（平方厘米）5×3×2.5

=15×2.5

＝37.5（立方厘米）答：图形的表面积是70平方厘米，体积是37.5立方厘米。（2）解：5×5×6+2×6×5+2×6×2＝150+60+24＝234（平方厘米）5×5×5+6×5×2＝125+60＝185（立方厘米）答：图形的表面积是234平方厘米，体积是185立方厘米。试题思路分析：（1）长方体的体积=长×宽×高；长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；

（2）图形的表面积=正方体的棱长×棱长×6＋长方体的长×高×2＋宽×长×2；

图形的体积=正方体的棱长×棱长×棱长＋长方体的长×宽×高。20．（4分）（2024五下·汝城期中）计算下图的表面积和体积。（单位：cm）答案：解：（5×4+5×2+4×2）×2+3×3×4

=38×2+9×4

=76+36

=112（平方厘米）

3×3×3+5×4×2

=27+40

=67（立方厘米）

答：表面积是112平方厘米，体积是67立方厘米。试题思路分析：长方体的表面积+正方体4个面的面积=图形的表面积；正方体的体积+长方体的体积=图形的体积。五、解决问题(共10题；共54分)21．（5分）（2023五下·播州期末）乐乐、丽丽和琪琪3人学习了用排水法求不规则物体体积的方法后，他们尝试测量一个不规则物体的体积，进行了如下实验：①乐乐准备了一个长和宽都是12cm，高是16cm的长方体玻璃缸，并装满水。②丽丽把红薯用细线系好后，完全浸没在水中，有部分水溢出。③琪琪把红薯取出，这时水面高是14cm。根据以上信息，请你计算这个红薯的体积。答案：解：12×12×（16﹣14）＝144×2＝288（立方厘米）答：这个红薯的体积是288立方厘米。试题思路分析：因为长方体玻璃缸装满水，红薯完全放入水中，溢出的水的体积就是红薯的体积，用长×宽×水面下降的高度=红薯体积，据此列式解答。22．（5分）（2023五下·播州期末）如下图是一个长方体盒子的展开图，请根据图中信息求出长方体盒子的体积和表面积。​答案：解：（40﹣15×2）÷2＝（40﹣30）÷2＝10÷2＝5（cm）15×10×5＝150×5＝750（cm3）（15×10+15×5+10×5）×2＝（150+75+50）×2＝275×2＝550（cm2）答：长方体盒子的体积是750cm3，表面积是550cm2。试题思路分析：根据长方体的展开图的信息先求出长方体的高，即（40﹣15×2）÷2；知道长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式：体积=长×宽×高，表面积公式：表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，代入数值计算即可。23．（5分）（2024五下·陆川期中）一个长方体包装盒，从里面量长25cm，宽12cm，里面的体积为用它装一件长20cm、宽10cm、高8cm的玻璃器皿，能否装得进去?写出你的理由。答案：解：1800÷25÷12

=72÷12

=6（cm）

8>6，20>6，10>6

答：不能装进去。试题思路分析：长方体的体积÷长÷宽=高。因为玻璃器皿的长和宽都小于包装盒的长和宽，但是高比包装盒的高要高，所以不能装进去；通过尝试，不管怎么放包装盒的高都较矮，所以不能装进去。24．（5分）（2024五下·龙岗期中）一间教室长8米、宽5米、高4米，现在要粉刷教室的四周墙壁和天花板，门窗和黑板的面积共16平方米。如果每平方米需要涂料0.2千克，粉刷这间教室一共需要多少千克涂料？答案：解：8×5＋（8×4＋5×4）×2-16

=8×5＋104-16

=144-16

=128（平方米）

128×0.2=25.6（千克）

答：粉刷这间教室一共需要25.6千克涂料。试题思路分析：粉刷这间教室一共需要涂料的质量=粉刷的面积×平均每平方米需要涂料的质量；其中，粉刷的面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2-门窗的面积。25．（5分）（2024五下·游仙期中）如下图，一块长35厘米、宽25厘米的铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子的容积是多少升?答案：解：（35-5×2）×（25-5×2）×5

=25×15×5

=1875（立方厘米）

=1.875（升）

答：这个盒子的容积是1.875升。试题思路分析：铁皮的长-2个5厘米=盒子的长，铁皮的宽-2个5厘米=盒子的宽，盒子的长×盒子的宽×盒子的高=这个盒子的容积。26．（5分）（2024五下·游仙期中）有一个长5分米、宽4分米、深2分米的长方体玻璃缸，向缸中放入一个正方体铁块，然后注满水（此时水已淹没正方体铁块），当取出这个铁块后，水面下降了0.2分米，这个铁块的体积是多少?答案：解：5×4×0.2=4（立方分米）

答：这个铁块的体积是4立方分米。试题思路分析：长方体的长×宽×水面下降的高度=这个铁块的体积。27．（6分）（2024五下·安阳期中）王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6dm的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计）（1）（2分）如果要给这个正方体框架安装上玻璃隔板，已知每平方米玻璃隔板35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？（2）（2分）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计）（3）（2分）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8dm，宽3dm的长方体框架，这个长方体框架的高是多少分米？答案：（1）解：6×6×5＝36×5＝180（平方分米）180平方分米＝1.8平方米1.8×35＝63（元）答：制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要63元。（2）解：6×6×6＝36×6＝216（立方分米）216立方分米＝216升答：这个正方体玻璃箱的容积是216升。（3）解：（6×12﹣8×4﹣3×4）÷4＝（72﹣32﹣12）÷4＝28÷4＝7（分米）答：这个长方体框架的高是7分米。试题思路分析：（1）正方体的棱长×棱长=正方体一个面的面积，正方体一个面的面积×5=需要玻璃的面积，玻璃的面积×每平方米玻璃的钱数=一共需要的钱数；

（2）正方体的容积=正方体的棱长×棱长×棱长；

（3）正方体的棱长×12=钢材的长度，钢材的长度-4个长-4个宽=4个高，4个高÷4=长方体的高。28．（6分）（2024五下·万载期中）有一个长方体水缸，从里面量长50cm，宽40cm，水缸中完全浸没一块石头后，水缸中的水深30cm，把石头拿出来后水面下降了20cm。（1）（3分）这块石头的体积是多少立方分米？（2）（3分）水缸里的水有多少升？答案：（1）解：50cm＝5dm，40cm＝4dm，30cm＝3dm，20cm＝2dm。5×4×2＝20×2＝40（立方分米）答：这块石头的体积是40立方分米。（2）解：5×4×（3-2）