《微积分（第4版）》 课件 2.1 数列的极限

1线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础中国人民大学出版社第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性

第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则问题导言——极限思想方法的历史渊源第一节数列的极限

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.

极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.

古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.

公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy一、数列的概念定义按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称为数列的第一项,为第二项，将第n项称为通项或一般项.数列可以简记为.例数列可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.例定义在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.

定义对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.例为有界数列.在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间[－M，M]之内,表示无界数列的点列,无论区间[－M，M]多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列

1.割圆术我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正边形的面积二、数列极限问题引例2.截丈问题我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.(3)当n无限增大时，没有确定的变化趋势.

(2)当n无限增大时，无限接近于0.(1)当n无限增大时，无限接近于1.数列的变化趋势(4)当n无限增大时，无限增大.

定义设数列,若当n无限地增大时,

无限趋近于某一确定常数A,则称常数A为数列在n趋于无穷大时的极限.记为观察几何图形可知下述数列的极限四、收敛数列的性质定理(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.定理

(有界性)

收敛数列必有界.

例数列是有界的,而是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.定理

（单调有界原理）

单调有界数列必有极限.例

设

观察数列的极限

由数据和图形观察数列的变化趋势123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，当时，数列变化的大致趋势是单调递增，且，可以证明

数e是一个无理数18线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础中国人民大学出版社第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性

第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则问题导言——极限思想方法的历史渊源第一节数列的极限

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.

极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.

古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.

公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy一、数列的概念定义按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称为数列的第一项,为第二项，将第n项称为通项或一般项.数列可以简记为.例数列可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.例定义在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.

定义对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.例为有界数列.在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间[－M，M]之内,表示无界数列的点列,无论区间[－M，M]多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列

1.割圆术我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正边形的面积二、数列极限问题引例2.截丈问题我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.(3)当n无限增大时，没有确定的变化趋势.

(2)当n无限增大时，无限接近于0.(1)当n无限增大时，无限接近于1.数列的变化趋势(4)当n无限增大时，无限增大.

定义设数列,若当n无限地增大时,

无限趋近于某一确定常数A,则称常数A为数列在n趋于无穷大时的极限.记为观察几何图形可知下述数列的极限数列极限定义的精确化数列极限定义用逻辑语言表述为：注：正数具有任意性和给定性，它是用于衡量与A接近程度的.极限定义的几何意义当时，所有点全部落在区间内，只有有限多个（最多N个）点落在区间之外.当n无限增大时，区间向点A无限收缩，介于区间

内的点就向A无限趋近.例

证明分析

因为对于任意给定，要使，只要即即可.证明对于任意给定，取所以例

证明证明由于所以因此，要使只要即，于是对于任意给定，取四、收敛数列的性质定理(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.定理

(有界性)

收敛数列必有界.

例数列是有界的,而是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.定理

（单调有界原理）

单调有界数列必有极限.单调有界准则

单调有界数列必有极限.准则的几何解释:在数轴上,对应于单调数列的点列只能从开始向一个方向排列,所以只有两种可能情况：或者点列沿数轴移向无穷远处(此时发散)；或者点列无限趋近