工程力学 第2版 课件 第6章 刚体的平面运动

工程力学平动和转动与基点之间的关系

第六章刚体的平面运动§6.1

概述和运动分解刚体平面运动实例在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。刚体平面运动简化MNSA1A2A刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。过A点作一平面N与平面M平行,以平面N去截刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。

垂直于图形S的任一条直线A1A2必然做平动。A1A2的运动可用其与图形S的交点

A的运动来替代。刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。这就是平面图形的运动方程。SMO'yxOj

平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段O'M的位置来确定：

1)线段上任一点O'的位置；2)线段O'M与固定坐标轴Ox间的夹角j。平面图形的运动方程可由两部分组成：1)平面图形按点O'的运动方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移；

2)平面图形绕O'点转角为的转动。

对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O'，称为基点。在这一点假想地安上一个平移参考系O'x'y'；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy。于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。y'x'O'yxO刚体平面运动分解

平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点O'为原点取动参考系O'x'y'，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点O'的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子做平面运动时，可在轮心O'处固连一个平动参考系O'x'y'，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。y'x'O'y'x'O'O'M

平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。1.基点法

已知O'点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速度。§6.2求平面图形内各点速度的基点法wvMvO'vMO'vO'

同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是将等式两边同时向AB方向投影:ABwvBvAvBAvA例6-1椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的速度vA=10cm/s，求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块B和连杆中点M的速度。

解:AB做平面运动，以A为基点，分析B点的速度。由图中几何关系得：方向如图所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya例6-2用速度投影定理解例1中滑块B的速度。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°例6-3行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为ωO。求轮II的角速度ωII及其上B、C两点的速度。解:行星齿轮II做平面运动，求得A点的速度为vAwOODACBvAvDAwIIIII以A为基点，分析两轮接触点D的速度。由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA

＝wII·DA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点，分析点B的速度vBA与vA垂直且相等，点B速度大小以A为基点，分析点C的速度vCA与vA方向一致且相等，点C速度大小定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。§6.3瞬心法求平面图形内各点速度wS平面图形S角速度为w,点A的速度为vA在vA的垂线上取一点C(使vA到AC的转向与图形的转向一致)，则如果取AC＝vA/w

，则NCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA

图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。CAwvAvBBDvDwC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在两点速度垂线的交点上。

wABwOCvAABvB(2)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在AB连线与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。

ABvBvACABvBvAC(3)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等，如图所示，图形的速度瞬心在无穷远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等)wOvAAvBB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。(4)平面图形沿一固定表面做无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上做无滑动的滚动时。vC例6-4用速度瞬心法解例1。解：AB做平面运动AvAvBB30°CvMwM瞬心在C点例6-5已知轮子在地面上做纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1

各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。O45º90º90ºO1OBAD例6-6已知四连杆机构中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以ω绕O轴转动。求：(1)AB杆的角速度；(2)B和D点的速度。w解：AB做平面运动，OA和O1B都做定轴转动，C点是AB杆做平面运动的速度瞬心。vAvBvDCwAB例6-7直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以匀速向前滑动，圆柱半径，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求

时圆柱的角速度。解：圆柱做平面运动，其瞬心在点，设其角速度为。AB杆做平面运动，其瞬心在点，则即亦即故例6-8图示机构，已知曲柄OA的角速度为ω，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角α=β=60º，求滑块C的速度。解：AB和BC做平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：连杆AB做平面运动，瞬心在C1点，则例6-9曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r，以匀角速度ω转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C的速度。AOBDC30º30ºvAvBvCwC1wABC2wBC连杆BC做平面运动，瞬心在C2点，则例6-10曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2时，AB∥O1O2

，且AD与AO1在同一直线上，j=30º。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。解:运动分析——O1A和O2B做定轴转动；ABD做平面运动，其速度瞬心在点C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB如图所示，由牵连运动为平动的加速度合成定理，有而其中故由于牵连运动为平动，所以ae=aA，于是有§6.4基点法求平面图形内各点加速度BAaAaBaAaBAwa

平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这就是平面运动的加速度合成法，称为基点法。BAaAaBaAaBAwaABCDO100100vCvB45º45º例6-11平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆AB以等角速度w=1rad/s绕A轴转动，求C点的加速度。解：AB和CD做定轴转动，BC做平面运动，其B、C两点的运动轨迹已知为圆周，由此可知vB和vC的方向，分别作vB和vC两个速度矢量的垂线得交点O即为该瞬时BC的速度瞬心。由几何关系知wBCwABCDaB45ºaB80.54º取B为基点分析C点的加速度，有将C点的加速度向BC方向投影得：aC负值表明实际方向与假设方向相反。例6-12如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮