直线与直线平行 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5空间直线、平面的平行第八章

立体几何初步8.5.1

直线与直线的平行一二三学习目标理解与掌握基本事实4理解等角定理通过实例，解决直线与直线平行的相关问题学习目标复习回顾两直线的位置关系

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点两条没有公共点的直线是什么位置关系？什么是平行直线？abOab新课导入在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理.类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容.本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质.

我们知道在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行.追问

在空间中，是否也有类似的结论？答案是肯定的！那我们该怎么在空间中体现呢？它又如何用符号语言表示？新知探究问题1

在长方体ABCD-A′B′C′D′中，DC//AB,A′B′//AB.

DC与A'B'平行吗?ACBA′C′B′DD′

观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？A'ABB'CC'教室中黑板边所在直线AA′和窗户框所在直线CC′都平行于墙的交线BB′,那么CC′//AA′。概念生成经过前面的讨论我们得到一个基本事实基本事实4平行于同一条直线的两条直线互相平行.abc符号语言：作用：它是判断空间两条直线平行的依据将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题基本事实4表达的性质通常叫做平行线的传递性.典例解析例1

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，就组成一个四边形，如果四个顶点不共面，那么这样的四边形叫做空间四边形。证明：BCAHDEGF解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。典例解析变式1

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AC=BD.

则四边形EFGH是__________.BCAHDEGF菱形分析：在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。变式2

如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，

G，H分别是

CD，DA的三等分点.

则四边形EFGH是__________.BCAHDEGF分析：证明一组对边平行，但不相等。梯形方法归纳证明空间两直线平行的方法：(1)定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)(2)基本事实4：空间问题转化为平面问题(3)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．

…练习

如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．证明：如图，取DD1的中点Q，连EQ、QC1.∵E是AA1的中点∴

EQ//A1D1

EQ=A1D1

又在矩形

A1B1C1D1中，B1C1//A1D1,B1C1//A1D1

，∴EQ//B1C1,EQ=B1C1

(平行公理）∴四边形EQB1C1为平行四边形∴B1E//C1Q，B1E=C1Q又∵Q、F是矩形DD1CC1的两边的中点，∴QD//C1F，QD=C1F

,∴四边形DQC1F是平行四边形Q∴DF//C1Q，DF=C1Q∵B1E//C1Q，B1E=C1Q∴B1E//DF，B1E=DF,∴四边形B1EDF是平行四边形跟踪练习新知探究问题4

在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中这一结论是否仍然成立呢？

与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置.相等或互补追问

如何证明这个结论呢?

(情形一)如图，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD=A'D'，AE=A'E'.连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'.证明：∴△ADE≌△A'D'E',∴∠BAC=∠B'A'C'.求证：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.DED′E′C’（情形二）

显然，当A'C'的方向与上述情形相反时，这时候∠BAC与∠B'A'C'互补．由此我们就得到了以下定理：概念生成等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两边方向均相同，两边方向一边相同，一边相反，则两角互补.两边都相反呢？则两角相等;或相反，巩固练习课本P1351.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？根据基本事实4，这些折痕互相平行.2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？3条，分别是BB′，CC′，DD′.巩固练习课本P135证明：3.如图，AA′，BB′，CC′不共面，且AA′

BB′，BB′CC′.求证：△ABC≌△

A′B′C′.∵AA′BB′，BB′CC′.AA′CC′，∴四边形ABB′A′，BCC′B′都是平行四边形.∴AB=A′B′，BC=B′C′，∴四边形ACC′A′是平行四边形.又由AA′BB′，BB′CC′可得

∴AC=A′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.解：4.如图，在四面体A-BCD′中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点.若EF//BC,FG//CD，则△EFG和△BCD有什么关系？为什么？∵EF//BC，FG//CD.又∠EFG和∠BCD的两边分别平行并且方向相同.

∴∠EFG=∠BCD.