2024年高考数学第一轮复习讲义第四章4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念(学生版+解析)

§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为、、,按终边位置不同分为和轴线角.))(3)相反角：我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于________________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝________rad；1rad＝________________弧长公式l＝________扇形面积公式S＝________＝________3.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__________，cosα＝__________，tanα＝________(x≠0)．(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．()(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－eq\f(3,5).()(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．()(4)若圆心角为eq\f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq\f(3π,2).()教材改编题1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝________.题型一角及其表示例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究若α是第一象限角，则eq\f(α,2)是第几象限角？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．思维升华确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．跟踪训练1(1)“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2021·北京)若点P(cosθ，sinθ)与点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.题型二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．跟踪训练2某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数表达式；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三三角函数的概念例3(1)设点P是以原点O为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(0,1)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角eq\f(π,3)到达点P2，若点P2的纵坐标是－eq\f(1,2)，则点P1的坐标是________．(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋eq\f(3,cosα)的值为()A．－6eq\r(10) B．6eq\r(10)C．0 D．－3eq\r(10)(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，则实数a的值为________．§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．常用结论1．象限角2．轴线角思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．(×)(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－eq\f(3,5).(√)(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(×)(4)若圆心角为eq\f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq\f(3π,2).(√)教材改编题1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad答案C解析－660°＝－660×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(11,3)πrad.2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．答案－4π解析某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝________.答案－eq\f(3\r(13),13)－eq\f(3,2)解析因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝eq\r(22＋－32)＝eq\r(13).则sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3,\r(13))＝－eq\f(3\r(13),13)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,2).题型一角及其表示例1(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上答案D解析因为α是第二象限角，可得eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－eq\f(π,2)－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；对于B，可得eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)位于第一象限；当k为奇数时，eq\f(α,2)位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(5π,2)＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<eq\f(3π,2)＋α<eq\f(π,2)＋2(k＋1)π，k∈Z，所以eq\f(3π,2)＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．延伸探究若α是第一象限角，则eq\f(α,2)是第几象限角？解因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角，当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．答案－675°和－315°解析所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置．跟踪训练1(1)“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当α是第四象限角时，eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，则eq\f(3π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<π＋kπ，k∈Z，即eq\f(α,2)是第二或第四象限角．当eq\f(α,2)＝eq\f(3π,4)为第二象限角时，α＝eq\f(3π,2)不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的充分不必要条件．(2)(2021·北京)若点P(cosθ，sinθ)与点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.答案eq\f(5π,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(满足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))解析∵P(cosθ，sinθ)与Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，即θ，θ＋eq\f(π,6)关于y轴对称，θ＋eq\f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为eq\f(5π,12).题型二弧度制及其应用例2已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．解(1)α＝35°＝35×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7,36)πrad，扇形的弧长l＝αr＝eq\f(7,36)π×8＝eq\f(14,9)π(cm)．(2)方法一由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，则S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝eq\f(l,r)＝2，∴S的最大值是16cm2，此时扇形的半径是4cm，圆心角α＝2rad.方法二S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝16，当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．跟踪训练2某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．解(1)根据题意，可算得＝θx，＝10θ.因为AB＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，所以θ＝eq\f(2x＋10,x＋10)(0<x<10)．(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝eq\f(1,2)θ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102－x2))＝eq\f(1,2)×eq\f(2x＋5102－x2,x＋10)＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\f(225,4)，当x＝eq\f(5,2)时，ymax＝eq\f(225,4).综上所述，当x＝eq\f(5,2)时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为eq\f(225,4).题型三三角函数的概念例3(1)设点P是以原点O为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(0,1)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角eq\f(π,3)到达点P2，若点P2的纵坐标是－eq\f(1,2)，则点P1的坐标是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析初始位置P0(0,1)在角eq\f(π,2)的终边上，射线OP1对应的角为eq\f(π,2)－θ，射线OP2对应的角为eq\f(π,6)－θ，由题意可知，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－eq\f(1,2)，又eq\f(π,6)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，则eq\f(π,6)－θ＝－eq\f(π,6)，解得θ＝eq\f(π,3)，所以射线OP1对应的角为eq\f(π,2)－θ＝eq\f(π,6)，由任意角的三角函数的定义可知，点P1的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(π,6)，sin

\f(π,6)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋eq\f(3,cosα)的值为()A．－6eq\r(10) B．6eq\r(10)C．0 D．－3eq\r(10)答案C解析由题意知，cosα≠0，设角α终边上一点的坐标为(a，－3a)(a≠0)，则r＝eq\r(a2＋9a2)＝eq\r(10)|a|.当a>0时，r＝eq\r(10)a，sinα＝eq\f(－3a,\r(10)a)＝－eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(a,\r(10)a)＝eq\f(\r(10),10)，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.当a<0时，r＝－eq\r(10)a，sinα＝eq\f(－3a,－\r(10)a)＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(a,－\r(10)a)＝－eq\f(\r(10),10)，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，则角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案B解析由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，由eq\f(cosα,tanα)>0，知α是第一象限或第二象限角，所以角α是第二象限角．思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．跟踪训练3(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)答案D解析由题意得，r＝eq\r(a2＋2a2)＝eq\r(5)|a|，当a>0时，r＝eq\r(5)a，cosα＝eq\f(a,r)＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2a,r)＝eq\f(2\r(5),5)，∴2sinα－cosα＝eq\f(3\r(5),5)；当a<0时，r＝－eq\r(5)a，∴cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴2sinα－cosα＝－eq\f(3\r(5),5)，综上，2sinα－cosα＝±eq\f(3\r(5),5).(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，则实数a的值为________．答案eq\r(11)解析根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝eq\r(1＋a2)，所以sinθ＝eq\f(a,\r(a2＋1))＝eq\f(\r(33),6)>0，即a>0且a2＝11，所以a＝eq\r(11).课时精练1．与－2023°终边相同的最小正角是()A．137°B．133°C．57°D．43°答案A解析因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2．(2023·西安模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，则cosθ等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)答案D解析由角θ的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，所以cosθ＝eq\f(－\f(1,2),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)))＝－eq\f(\r(2),2).3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D.eq\f(π,16)答案C解析由图可知，α＝eq\f(1,8)×2π＝eq\f(π,4)，所以该扇形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(π,4)×12＝eq\f(π,8).4．设α是第一象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))＝cos

eq\f(α,2)，则eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析因为α是第一象限角，所以2kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，即eq\f(α,2)为第一象限角或第三象限角，又因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos

\f(α,2)))＝cos

eq\f(α,2)，即cos

eq\f(α,2)≥0，所以eq\f(α,2)所在的象限是第一象限．5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转eq\f(π,3)弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)()A．1069千米 B．1119千米C．2138千米 D．2238千米答案D解析嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1738＝2138(千米)，所以嫦娥五号绕月每旋转eq\f(π,3)弧度，飞过的路程约为l＝αr＝eq\f(π,3)×2138≈eq\f(3.14,3)×2138≈2238(千米)．6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为()A．2.58m2B．2.68m2C．2.78m2D．2.88m2答案D解析设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R－r＝1.2(m)，由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝eq\f(1,2)α(R2－r2)＝eq\f(1,2)α(R＋r)(R－r)＝eq\f(1,2)×4.8×1.2＝2.88(m2)．7．(2023·宁夏模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos

\f(5π,6)))，则角α的最小正值为________．答案eq\f(5π,3)解析因为sineq\f(5π,6)>0，cos

eq\f(5π,6)<0，所以角α的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sinα＝cos

eq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故角α的最小正值为α＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．答案2π－2eq\r(3)解析由条件可知，弧长＝＝＝eq\f(2π,3)，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝eq\f(\f(2π,3),\f(π,3))＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2＝eq\f(2π,3)，中间等边△ABC的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).所以莱洛三角形的面积是3×eq\f(2π,3)－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3).9．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．解(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(m,|OM|)＝eq\f(－\f(4,5),1)＝－eq\f(4,5).10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－eq\f(1,2)，求sinα的值和与角α终边相同的角β的集合；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)解(1)由题意知，若点B的横坐标为－eq\f(1,2)，可得B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，于是α＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，与角α终边相同的角β的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))).(2)△AOB的高为1×cos

eq\f(α,2)，AB＝2sin

eq\f(α,2)，故S△AOB＝eq\f(1,2)×2sin

eq\f(α,2)×cos

eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)sinα，故弓形AB的面积S＝eq\f(1,2)·α·12－eq\f(1,2)sinα＝eq\f(1,2)(α－sinα)，α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为()A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)答案D解析∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．12．如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，以AB为边作一个等边△ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为()A.eq\f(56π,3) B．14πC．24π D．10π答案B解析由题意得，扇形ABD的半径为1，圆心角为eq\f(2π,3)，所以弧AD的长l1＝eq\f(2π,3)×1，同理可得之后的各段弧长分